Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Géométrie analitique, article 2

Solution d’un problème de géométrie ; par M. Gergonne.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 12, 1822 (p. 374-377).

Solution du premier des deux problèmes de géométrie
proposés à la page 232 de ce volume ;

Par M. Gergonne.

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PROBLÈME. Les directions de deux systèmes de diamètres conjugués d’une même ellipse étant données ; assigner les directions et le rapport de grandeur de ses deux diamètres principaux ?

Solution. Par le centre de l’ellipse, soit menée une droite arbitraire, et soit désigné par $z$ l’angle inconnu qu’elle fait avec l’un des diamètres principaux. Représentons par $2x$ la longueur de ce diamètre, et par $2y$ la longueur de l’autre. Soient enfin $\alpha ,\beta$ les angles connus que forment avec la droite indéfinie les deux diamètres du premier système, et $\alpha ',\beta '$ les angles que forment avec elle les deux diamètres du second ; ces mêmes diamètres formeront, avec le diamètre principal dont nous avons représenté la longueur par $2x$ des angles qui seront respectivement

${\begin{array}{ll}z+\alpha ,&z+\alpha ',\\z+\beta ,&z+\beta '\,;\end{array}}$

et, par une propriété connue de l’ellipse, on devra avoir les deux équations

$\left.{\begin{aligned}&y^{2}+x^{2}\operatorname {Tang} .(z+\alpha \ )\operatorname {Tang} .(z+\beta \ )=0,\\&y^{2}+x^{2}\operatorname {Tang} .(z+\alpha ')\operatorname {Tang} .(z+\beta ')=0\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(1)

desquelles il s’agit présentement de tirer la valeur de $z$ et le rapport de $x$ à $y.$

En faisant, pour abréger, $\operatorname {Tang} .z=\nu ,$ et posant en outre

${\begin{array}{ll}\operatorname {Tang} .\alpha =m,&\operatorname {Tang} .\alpha '=m',\\\operatorname {Tang} .\beta =n,&\operatorname {Tang} .\beta '=n',\end{array}}$

il vient

${\begin{array}{lll}\operatorname {Tang} .(z+\alpha )&={\frac {\operatorname {Tang} .z+\operatorname {Tang} .\alpha }{1-\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .z}}&={\frac {\nu +m}{1-m\nu }},\\\\\operatorname {Tang} .(z+\beta )&={\frac {\operatorname {Tang} .z+\operatorname {Tang} .\beta }{1-\operatorname {Tang} .\beta \operatorname {Tang} .z}}&={\frac {\nu +n}{1-n\nu }},\\\\\operatorname {Tang} .(z+\alpha ')&={\frac {\operatorname {Tang} .z+\operatorname {Tang} .\alpha '}{1-\operatorname {Tang} .\alpha '\operatorname {Tang} .z}}&={\frac {\nu +m'}{1-m'\nu }},\\\\\operatorname {Tang} .(z+\beta ')&={\frac {\operatorname {Tang} .z+\operatorname {Tang} .\beta '}{1-\operatorname {Tang} .\beta '\operatorname {Tang} .z}}&={\frac {\nu +n'}{1-n'\nu }},\,;\\\\\end{array}}$

substituant ces valeurs dans les équations du problème, et les dénominateurs, elles deviendront

$\left.{\begin{aligned}&(1-m\ \nu )(1-n\ \nu )y^{2}+(\nu +m\ )(\nu +n\ )x^{2}=0,\\&(1-m'\nu )(1-n'\nu )y^{2}+(\nu +m')(\nu +n')x^{2}=0.\end{aligned}}\right\}\quad$(2)

En éliminant l’une des deux inconnues $x$ et $y$ entre ces deux équations, l’autre disparaîtra aussi, et il viendra

$(\nu +m)(\nu +n)(m'\nu -1)(n'\nu -1)-(\nu +m')(\nu +n')(m\nu -1)(n\nu -1)=0,$

ou, en développant et ordonnant,

${\begin{array}{r|r|r}(mn-m'n')\nu ^{4}+(m'+n')(1+mn)&\nu ^{3}+(m'+n')(1+mn)&\nu -(mn-m'n')=0\\-(m+n)(1+m'n')&-(m+n)(1+m'n')&\end{array}}$

ou encore

$(mn-m'n')\left(\nu ^{4}-1\right)+\left\{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')\right\}\nu \left(\nu ^{2}+1\right)=0\,;$

supprimant donc le facteur $\nu ^{2}+1,$ qui ne saurait être nul, on parviendra à cette équation du second degré

$(mn-m'n')\nu ^{2}+\left\{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')\right\}\nu -\left(mn-m'n'\right)=0,$

qu’on peut encore mettre sous cette forme

${\frac {2\nu }{1-\nu ^{2}}}={\frac {2(mn-m'n')}{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')}}\,;$

mais

${\frac {2\nu }{1-\nu ^{2}}}={\frac {2\operatorname {Tang} .z}{1-\operatorname {Tang} .^{2}z}}=\operatorname {Tang} .2z\,;$

donc finalement

$\operatorname {Tang} .2z={\frac {2(mn-m'n')}{(m'+n')(1+mn)-(m+n)(1+m'n')}}\,;$

Or, on a

$mn-m'n'=\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta \operatorname {Tang} .\alpha '\operatorname {Tang} .\beta '$

$={\frac {\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '-\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\beta '}{\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '}}$

${\begin{array}{cll}m+n&=\operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Tang} .\beta &={\frac {\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )}{\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta }},\\m'+n'&=\operatorname {Tang} .\alpha '+\operatorname {Tang} .\beta '&={\frac {\operatorname {Sin} .(\alpha '+\beta ')}{\operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '}},\\1+mn&=1+\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta &={\frac {\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )}{\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta }},\\1+m'n'&=1+\operatorname {Tang} .\alpha '\operatorname {Tang} .\beta '&={\frac {\operatorname {Cos} .(\alpha '-\beta ')}{\operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '}}\,;\end{array}}$

il viendra donc, en substituant,

$\operatorname {Tang} .2z={\frac {2\left(\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '-\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\beta '\right)}{\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )\operatorname {Sin} .(\alpha '+\beta ')-\operatorname {Cos} .(\alpha '-\beta ')\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )}}\,;$

formule que l’on pourra encore écrire ainsi

$\operatorname {Tang} .2z={\frac {\operatorname {Cos} .(\alpha '+\beta ')\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )-\operatorname {Cos} .(\alpha +\beta )\operatorname {Cos} .(\alpha '-\beta ')}{\operatorname {Sin} .(\alpha '+\beta ')\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )-\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )\operatorname {Cos} .(\alpha '-\beta ')}}.$

L’angle $z$, que fait l’un des diamètres principaux avec notre droite indéfinie, étant connu par cette formule, le rapport de grandeur ${\frac {y}{x}}$ des deux diamètres principaux sera donné par l’une ou l’autre des équations (1), d’où l’on tire

${\frac {y}{x}}={\sqrt {-\operatorname {Tang} .(z+\alpha )\operatorname {Tang} .(z+\beta )}}={\sqrt {-\operatorname {Tang} .(z+\alpha ')\operatorname {Tang} .(z+\beta ')}}.$

Tout ce qui précède s’applique au surplus littéralement à l’hyperbole, pourvu que, dans les dernières formules, on change le signe $-$ en $+$ sous les radicaux.