Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Géométrie des courbes, article 1

Démonstration du Théorème de Newton sur les quadrilatères circonscrits à une même section conique ; par M. Poncelet.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 12, 1822 (p. 109-112).

GÉOMÉTRIE DES COURBES.

Démonstration du théorème de Newton,
sur les quadrilatères circonscrits à une même section conique ;

Par M. Poncelet, capitaine du génie, ancien élève
de l’école polytechnique.

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THÉORÈME. Les centres de toutes les sections coniques inscrites à un même quadrilatère plan quelconque sont situés sur une même droite passant par les milieux des trois diagonales de ce quadrilatère^[1].

Démonstration. Soit $\mathrm {ABCD}$ (fig. 1) un quadrilatère simple, dont les côtés opposés ${\rm {AD,BC}}$ concourent en ${\rm {P}}$ et les côtés ${\rm {AB}}$ et ${\rm {CD}}$ en ${\rm {Q,}}$ de sorte que ${\rm {P}}$ et ${\rm {Q}}$ sont les deux autres sommets du quadrilatère complet ; soient ${\rm {I,K,L}}$ les milieux respectifs des trois diagonales ${\rm {BD,AC,PQ\,;}}$ il est connu que ces trois points appartiennent à une même ligne droite ; et il s’agit de prouver que cette droite est le lieu des centres de toutes les sections coniques qui touchent à la fois les quatre côtés du quadrilatère dont il s’agit.

Soient ${\rm {E,F}}$ les points où les diagonales ${\rm {BD,AC,}}$ qui partent des deux extrémités de l’un quelconque ${\rm {AB}}$ des côtés du quadrilatère, rencontrent la troisième diagonale ${\rm {PQ.}}$ Soit ${\rm {Z}}$ le point de contact de ce même côté avec l’une quelconque des sections coniques dont il s’agit ; en menant ${\rm {ZE,ZF,}}$ coupant les côtés adjacent ${\rm {AD,BC}}$ en ${\rm {Z',Z'',}}$ ces points seront ceux de contact de la section conique avec ces mêmes côtés^[2] ; donc, si l’on divise les cordes de contact ${\rm {ZZ',ZZ''}}$ en deux parties égales, aux points ${\rm {G,H,}}$ et qu’on mène ensuite les droites ${\rm {AG,BH\,;}}$ leur point de concours ${\rm {X}}$ sera le centre de la section conique correspondant au point de contact ${\rm {Z.}}$ Tout se réduit donc à prouver que ce point ${\rm {X}}$ est sur la droite ${\rm {IKL.}}$

Or, d’après la manière dont le point ${\rm {X}}$ vient d’être déterminé, on voit que la direction de la droite ${\rm {AX}}$ est conjuguée à celle de ${\rm {ZZ'E,}}$ par rapport aux droites ${\rm {AB}}$ et ${\rm {AD}}$ ou ${\rm {AP\,;}}$ d’où il suit que, si l’on mène la parallèle ${\rm {AY}}$ à ${\rm {ZZ',}}$ elle sera conjuguée harmonique de ${\rm {AX\,;}}$ c’est-à-dire que les quatre droites ${\rm {AB,}}$${\rm {AP,AY,AX}}$ formeront entre elles un faisceau harmonique^[3]. Pareillement, si l’on mène ${\rm {BY,}}$ parallèle à ${\rm {ZZ''F,}}$ les quatre droites ${\rm {BP,BQ,BX,BY}}$ formeront aussi un faisceau harmonique.

Il suit de là que si, par le point ${\rm {Y}}$ d’intersection des parallèles ${\rm {AY,BY}}$ à ${\rm {ZE,ZF}}$ et par le point, ${\rm {P,}}$ on mène la droite ${\rm {PY,}}$ elle passera par le point ${\rm {X\,;}}$ car les points où la droite ${\rm {PY}}$ rencontre les droites ${\rm {AX}}$ et ${\rm {BX}}$ doivent être, à la fois, les quatrièmes harmoniques des trois points ${\rm {P,Y,M}}$ (ce dernier étant celui où ${\rm {PY}}$ coupe ${\rm {AB}}$) ; ce qui ne peut avoir lieu à moins que les deux points dont il s’agit ne se confondent en un seul et même point en ${\rm {X.}}$

Il suit de là aussi que, si le point ${\rm {Y}}$ parcourait une droite, il en irait de même de son conjugué ${\rm {X\,;}}$ or, c’est ce qu’il est très-facile de démontrer.

Menons, en effet par ${\rm {Y}}$ la parallèle ${\rm {YT}}$ à ${\rm {PQ,}}$ rencontrant ${\rm {AB}}$ prolongée en ${\rm {T,}}$ les triangles ${\rm {TBY}}$ et ${\rm {FQZ,\ TAY}}$ et ${\rm {EQZ,}}$ respectivement semblables, donneront

${\rm {TB\times FQ=TY\times QZ,\qquad TA\times EQ=TY\times QZ,}}$

d’où

${\rm {TB\times FQ=TA\times EQ\,;}}$

ce qui démontre que le point ${\rm {T}}$ est invariable, ainsi que la parallèle ${\rm {TY}}$ à ${\rm {FQ,}}$ qui conséquemment sera parcourue toute entière par le point ${\rm {Y,}}$ lorsqu’on fera mouvoir le point ${\rm {Z}}$ sur ${\rm {AB.}}$ Au surplus, on démontrerait la même chose sans proportion, au moyen de la propriété de l’hexagone inscrit à deux lignes droites.

Ainsi, le lieu des centres ${\rm {X}}$ des coniques inscrites à un quadrilatère ${\rm {ABCD}}$ est une droite unique ${\rm {LX,}}$ laquelle passe évidemment par le point ${\rm {T,}}$ en même temps que sa conjuguée ${\rm {YT\,;}}$ je dis de plus qu’elle divise en deux parties égales chacune des trois diagonales de ce quadrilatère. En effet, si l’on suppose, par exemple, que ${\rm {EZ'Z}}$ se confond avec la diagonale ${\rm {BD,}}$ le point ${\rm {G,}}$ et par suite le point ${\rm {X,}}$ sera confondu lui-même avec le point ${\rm {I,}}$ milieu de cette diagonale ; et il en sera de même du point ${\rm {H}}$ pour le point ${\rm {K,}}$ milieu de la diagonale ${\rm {AC,}}$ si l’on suppose que le point ${\rm {Z}}$ tombe en ${\rm {A.}}$

De là résulte donc ce beau théorème de Newton : La droite qui contient les milieux des diagonales d’un quadrilatère circonscrit à une conique contient aussi le centre de la courbe.

COROLLAIRE. Les centres de toutes les coniques tangentes aux trois mêmes droites et passant par un même point donné, sur un plan ; sont sur une autre section conique^[4].

Démonstration. En effet, soient ${\rm {AD,DC,BC}}$ les trois tangentes et ${\rm {V}}$ le point dont il s’agit. Traçons une droite indéfinie ${\rm {LT}}$ quelconque, et proposons-nous de rechercher tous les points ou elle rencontre la courbe, lieu des centres des sections coniques, ou, ce qui revient au même, cherchons les coniques qui, touchant les droites ${\rm {AD,DC,BC}}$ et passant par le point ${\rm {V,}}$ auraient leurs centres sur cette droite.

Remarquons que, pour l’une quelconque de ces coniques, il y aura toujours une quatrième tangente ${\rm {AB}}$ qui, avec les trois autres, formera un quadrilatère ${\rm {ABCD}}$ par les milieux des diagonales duquel passe la droite arbitraire ${\rm {LT.}}$ Or, on peut trouver, à priori, cette quatrième tangente, indépendamment de la courbe dont il s’agit ; car si, par le milieu de la distance qui sépare le point ou sommet ${\rm {D}}$ du côté indéfini ${\rm {CB,}}$ on mène une parallèle à ce côté, laquelle passera évidemment par le milieu de ${\rm {CD,}}$ cette parallèle devra renfermer le milieu ${\rm {I}}$ de la diagonale ${\rm {BD,}}$ correspondant avec le sommet ${\rm {D,}}$ et par conséquent le point où elle ira rencontrer la droite donnée ${\rm {LT}}$ sera le milieu ${\rm {I}}$ lui-même. Tirant donc ${\rm {DI,}}$ son prolongement ira couper ${\rm {CB}}$ au sommet ${\rm {B}}$ du quadrilatère cherché, lequel sommet appartiendra au quatrième côté ou à la tangente ${\rm {AB.}}$ La même opération, par rapport au point ${\rm {C}}$ et au côté indéfini ${\rm {DA,}}$ donnera le point milieu ${\rm {K}}$ de la diagonale ${\rm {AC,}}$ et par suite cette diagonale et le quatrième sommet ${\rm {A}}$ du quadrilatère qui ainsi sera complètement déterminé.

Ayant quatre tangentes à la conique que l’on considère, et cette conique passant d’ailleurs par le point donné ${\rm {V,}}$ on obtiendra aisément la position de son centre sur la droite donnée ${\rm {LT\,;}}$ mais il existe, comme on sait, deux coniques qui résolvent le problème ; donc il y a, en général, deux centres sur la droite arbitraire en question ; et, comme il ne peut y en avoir plus de deux, la courbe des centres des coniques tangentes aux trois droites ${\rm {AD,DC,CB}}$ et passant par ${\rm {V,}}$ ne peut être coupée en plus de deux points par une droite arbitraire quelconque ${\rm {LT\,;}}$ donc cette courbe est du second degré, et par conséquent une conique.

1. Voyez, pour la démonstration analitique de ce théorème, la page 382 du XI.^e volume de ce recueil.
   J. D. G.
2. Mémoire sur les lignes du second ordre, par C. J. Brianchon, page 22, art. XIX.
3. Voyez le même ouvrage, pag. 9, art. V.
4. Voyez, pour la démonstration analitique de ce théorème, la page 385 du XI.^e volume du présent recueil.
   J. D. G.