Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 10/QUESTIONS PROPOSÉES/On propose de démontrer les deux formules que voici

On propose de démontrer les deux formules que voici…

Annales de mathématiques pures et appliquées, 10, 1820 (p. 188).

QUESTIONS PROPOSÉES.

Théorèmes d’analise.

On propose de démontrer les deux formules que voici ;

$\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=x)=\left\{{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{2}\right.$

$\left.+{\frac {2.4}{3.5}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{3}+{\frac {2.4.6}{3.5.7}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{4}+\ldots \right\},$

$\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=x)=x-{\frac {x}{3}}\left\{{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{5}}.\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{2}\right.$

$\left.+{\frac {2.4}{5.7}}\left({\frac {1+x^{2}}{x^{2}}}\right)^{3}+{\frac {2.4.6}{5.7.9}}\left({\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)^{4}+\ldots \right\}$ ?

Problème de probabilité.

On a mal compté $n$ fois consécutivement les écus qui se trouvaient contenus dans un sac ; et l’on a obtenu les nombres $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots a_{n}.$ On demande, 1.^o quelle est la probabilité que le nombre de ces écus est $a\,?$ 2.^o quel est le plus probablement le nombre des écus de ce sac ? 3.^o quelle est enfin la probabilité que ce nombre d’écus le plus probable est le véritable ?