Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Philosophie mathématique, article 6

Annales de mathématiques pures et appliquées

Texte établi par Joseph Diez Gergonne, 1814 (4, p. 364-366).

PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE.

Sur la théorie des imaginaires.

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Extrait d’une lettre adressée au Rédacteur des Annales ;

Par M. J. F. Français, professeur à l’école de l’artillerie
et du génie.

Je vous remercie, Monsieur, de la réponse que vous avez faite à l’objection principale de M. Servois, contre la nouvelle théorie des imaginaires^[1] M. Servais n’a pas été le premier à m’opposer cette difficulté, et ma réponse a toujours été exactement conforme à la vôtre. Les objections de cette nature me paraissent toutes avoir leur source dans une méprise qui peut aisément échapper par l’effet de l’habitude, et qui consiste à confondre des droites données de grandeur et de position avec leur grandeur absolue.

Voici, Monsieur, quelques exemples de la manière de passer de mes notations aux notations ordinaires et aux résultats connus.

L’équation d’un triangle dont la base coïncide avec l’axe des abscisses est

$a_{\alpha }+b_{-\beta }=c,$

d’où on tire

$a\operatorname {Cos} .\alpha +b\operatorname {Cos} .\beta =c,$

$a\operatorname {Sin} .\alpha -b\operatorname {Sin} .\beta =0.$

et par conséquent, en prenant la somme et la différence des quarrés

$\mathrm {a} ^{2}+b^{2}+2ab\operatorname {Cos} .(\alpha +\beta )=c^{2},$

$a^{2}\operatorname {Cos} .2\alpha +b^{2}\operatorname {Cos} .2\beta +2ab\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )=c^{2}.$

L’équation d’un cercle rapporté au centre est

$a_{\phi }=x+y{\sqrt {-1}},$

d’où on tire

$a\operatorname {Cos} .\phi =x,\qquad a\operatorname {Sin} .\phi =y\,;$

$x^{2}+y^{2}=a^{2}.$

L’équation d’un cercle rapporté au diamètre est

$\rho _{\phi }+\sigma _{{\tfrac {1}{2}}\varpi -\phi }=2a,$

d’où on tire

$\rho \operatorname {Cos} .\phi +\sigma \operatorname {Sin} .\phi =2a,$

$\rho \operatorname {Sin} .\phi -\sigma \operatorname {Cos} .\phi =0,$

$\rho ^{2}=2a\rho \operatorname {Cos} .\phi ,\qquad x^{2}+y^{2}=2ax.$

L’équation d’une ellipse rapportée au foyer est

$\rho _{\phi }+(2a-\rho )_{\psi }=2e,$

d’où on tire

$\rho \operatorname {Cos} .\phi +(2a-\rho )\operatorname {Cos} .\psi =2e,$

$\rho \operatorname {Sin} .\phi +(2a-\rho )\operatorname {Sin} .\psi =0.$

$\rho ={\frac {a^{2}-e^{2}}{a-e\operatorname {Cos} .\phi }}.$

Vous voyez, Monsieur, avec quelle facilité on arrive aux résultats connus.

Metz, le 19 d’avril 1814.

1. Voyez la page 228 de ce volume.