DYNAMIQUE.
Véritable solution du problème de la tractoire ;
Par feu
Français, professeur aux écoles d’artillerie.
[1]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Problème. Sur un plan horisontal, on a pratiqué une rainure rectiligne, dans laquelle un corps
est assujetti à se mouvoir uniformément. Ce corps est lié, par une verge inflexible et inextensible, avec le corps
qui pose sur le plan, et qui est supposé avoir reçu une impulsion primitive quelconque, dans le sens de ce plan. On demande la nature de la courbe décrite par le corps
et les autres circonstances du mouvement, en faisant d’ailleurs abstraction du frottement ?
Solution. Soit prise pour axe des
la droite que le corps
est assujetti à parcourir, et pour axe des
une perpendiculaire quelconque à cette droite.
Soient à l’époque
et
les coordonnées du point
et
l’abscisse du point
; le mouvement rectiligne de ce dernier point ne pourra être que l’effet d’une force accélératrice, dirigée suivant l’axe des
et troublée par la réaction de
sur
Soit
cette force accélératrice.
L’équation générale du mouvement sera donc, en supposant
la variable indépendante,
[2]
ou simplement, à cause de
constant,
![{\displaystyle M{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}\delta x+M{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}\delta y-Pp\delta x'=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d561d8a4df51b26b235b4dd9dff4429643a2c897)
(1)
En désignant par
la longueur de la verge, la liaison des parties du système sera exprimée par l’équation unique
![{\displaystyle (x-x')^{2}+y^{2}=a^{2},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f9203bf688417a4cc27c741bcfd089785c953d)
(2)
laquelle donnera
![{\displaystyle (x-x')(\delta x-\delta x')+\gamma \delta y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c4441910081188a4ccb4a66c0667c5ef1a005d)
d’où
![{\displaystyle \delta x'=\delta x+{\frac {y}{x-x'}}\delta y\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64aa0316fe2f27a6e3cbe73f65ea6860772adfcd)
(3)
substituant donc cette valeur dans l’équation (1), elle deviendra
![{\displaystyle \left\{M{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}-Pp\right\}\delta x+\left\{M{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}-{\frac {Ppy}{x-x'}}\right\}\delta y=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5486602204576d78e253a7bb04b1889413575e9c)
(4)
et
devant alors être indépendans, on aura séparément
![{\displaystyle M{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=Pp,\qquad M{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {Ppy}{x-x'}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd35ea10fd6cb61b6c55cafd2a8baa51e0e07d1)
(5)
d’où, l’élimination de
on conclura
![{\displaystyle y\mathrm {d} ^{2}x=(x-x')\mathrm {d} ^{2}y.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767e0e244d27c06ad1d0f6a1493a98ba86ab26fa)
(6)
Puisque
est constant, cherchons à obtenir une équation en
et
Pour cela, différentions deux fois consécutivement l’équation (2) ; il viendra ainsi
![{\displaystyle \mathrm {d} x=\mathrm {d} x'-{\frac {y\mathrm {d} y}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096eceab73b86a9d2852bbe207bd8a38b4b81e77)
![{\displaystyle \operatorname {d} ^{2}x=-{\frac {y\operatorname {d} ^{2}y}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}-{\frac {a^{2}\operatorname {d} y^{2}}{(a^{2}-y^{2})^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd160ef25279b3cd2757e597d9d63738d6a9fc02)
or, l’équation (6) donne
![{\displaystyle \operatorname {d} ^{2}x={\frac {\operatorname {d} ^{2}y{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d51a026f614aace4a3adeed6618471cb69a199c)
égalant donc ces deux valeurs, il viendra, toutes réductions faites,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}+{\frac {y\operatorname {d} y^{2}}{(a^{2}-y^{2})^{\frac {3}{2}}}}=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc319bc1f94036003e5287322269060719c57c27)
(7)
équation qui a pour intégrale
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}+C\operatorname {d} x'=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf2ebfb21178a037047842bde48ec33d7a86051)
(8)
Cette dernière équation, intégrée de nouveau, donne
![{\displaystyle \operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {y}{a}}\right)=Cx'+C'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5097067715e45d34718598f89a8ccfa79354861)
ou bien, en remettant pour
sa valeur donnée par l’équation (2)
![{\displaystyle \operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {y}{a}}\right)=C\left(x-{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}\right)-C'.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e4146ecda5ec1c42924c4cbaf5b16bfafc014c)
(9)
Pour déterminer les constantes
et
supposons d’abord que la vitesse constante de
soit
; de manière qu’on ait
En mettant cette valeur dans l’équation (8), elle deviendra
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}+bC{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bdbb11fd76fa7d688cce3f3d748cc44b6e3892b)
(10)
Supposons ensuite qu’à l’origine des temps le point, soit à l’origine des coordonnées, et que la verge
forme alors un angle
avec l’axe des
Supposons de plus que la vitesse initiale de
parallèlement à l’axe des
soit
en sorte que pour
et
on ait
; l’équation (10) deviendra ainsi
![{\displaystyle c+abC\operatorname {Cos} .\alpha =0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40afa767dce69352881d4e2d4124476f28e27803)
d’où
L’intégrale seconde (9), rapportée au même état initial, devient
![{\displaystyle \operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=\operatorname {Sin} .\alpha )=C',\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1751ab42800405c23bcb2bfd21522d6a64db48d)
d’où
![{\displaystyle \qquad C'={\tfrac {1}{2}}\varpi -\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e224f4183353b7eb4291b71c9372e46032b4c8)
On a ainsi
![{\displaystyle x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}+{\frac {ab\operatorname {Cos} .\alpha }{c}}\left\{\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right)-\alpha \right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae02eb4a382c17cba293780014406ba9d6cc5862)
(11)
C’est l’équation demandée de la courbe décrite par les corps
On voit que cette courbe est une cycloïde générale, rapportée à la droite parcourue par le centre du cercle générateur ; ce cercle a pour rayon la longueur
de la verge ; son centre est l’extrémité
de cette verge, et le rapport des vitesses de translation du centre et de rotation des points de la circonférence autour de ce centre est celui de
à
; de manière que la cycloïde sera allongée ordinaire ou raccourcie, suivant qu’on aura
ou
L’équation (11) contient, comme une des données, la vitesse initiale de
dans le sens des
; on aurait pu y introduire sa vitesse dans le sens des
. Si, en effet, l’on met dans l’intégrale première (8) pour
sa valeur,
, on aura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} t}}+Cy{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7b228276977084d7cb21ba42b079a5b6f68349)
Soit ensuite
la vitesse initiale de
dans le sens de
en sorte qu’on ait
cette équation deviendra
d’où
![{\displaystyle C={\frac {c'-b}{ab\operatorname {Sin} .\alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c8eac2abb61ea528ebd5cf6b549340b1a2e286)
introduisant donc cette valeur dans l’équation de la courbe, elle deviendra
![{\displaystyle x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}+{\frac {ab\operatorname {Sin} .\alpha }{c'-b}}\left\{\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right)-\alpha \right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd5b1fbb97e42034cf5d19263de8f738e36129d)
(12)
de sorte qu’il y a entre les vitesses initiales
et
la relation
![{\displaystyle c'\operatorname {Cos} .\alpha +c\operatorname {Sin} .\alpha =b\operatorname {Cos} .\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9940dd065b7646ac4799477e29b2110f862ec81)
L’équation (11) est en défaut, lorsqu’on a
; mais alors on emploie l’équation (12) qui devient
![{\displaystyle x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}-{\frac {ab}{c'-b}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {y}{a}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0865f140ca9ede94e2fa296dcde52451ed4626f2)
De même, si
l’équation (12) est en défaut ; mais alors l’équation (11) devient
![{\displaystyle x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}+{\frac {ab}{c}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1903f2c90261b0555f5070fd9558d734071eabbb)
Pour déterminer la vitesse de
en un point quelconque de la courbe, nous avons les équations
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}={\frac {ab\operatorname {Cos} .\alpha -cy}{a\operatorname {Cos} .\alpha }},\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}={\frac {c{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{a\operatorname {Cos} .\alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303f07b8ff82dcef48c0cc5bf5a1545364b7e3ee)
donc
![{\displaystyle \nu ^{2}={\frac {ac^{2}-2bcy\operatorname {Cos} .\alpha +ab^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }{a\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96fd1148626549d16d9dd7c039b02ef71435678a)
Ainsi, suivant qu’on aura
ou
on aura aussi
![{\displaystyle \nu =b-{\frac {c}{\operatorname {Cos} .\alpha }},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f53dcc0f57e42738a2ac8ee0bd5948344deefb)
ou
![{\displaystyle \qquad \nu =b+{\frac {c}{\operatorname {Cos} .\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4200cf390b46b2c612cfa56df13c4d2e41b884fc)
Il est aisé de voir que ce sont là la plus petite et la plus grande vitesses du point
; la première a lieu au point le plus haut et la seconde au point le plus bas de chaque cycloïde donc, dans la cycloïde ordinaire, pour laquelle on a
la vitesse du point
est nulle, chaque fois qu’il parvient à son maximum d’élévation, et elle est double de celle du point
chaque fois qu’il parvient à son maximum d’abaissement.[3]
Le temps se trouve par la formule
laquelle donne
![{\displaystyle \operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right)={\frac {ct}{a\operatorname {Cos} .\alpha }}+C''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1da5b4a1740b914f2a508979a9028547518666c)
et, comme on a en même temps
et
il s’ensuit que
ce qui donne
![{\displaystyle t={\frac {a\operatorname {Cos} .\alpha }{c}}\left\{\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right)-\alpha \right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042337e5c66eec6a277f9675c19c45d3085d2647)
(13)
Ainsi, lorsque
on a
![{\displaystyle t={\frac {a\operatorname {Cos} .\alpha }{c}}\left\{{\frac {2n+1}{2}}\varpi -\alpha \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24588567a7385be2d9f84530262a625a0a3dd1f7)
étant un nombre entier positif quelconque ; d’où il suit que le temps employé a parcourir une cycloïde entière est ![{\displaystyle ={\frac {\varpi a\operatorname {Cos} .\alpha }{c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717c8c36aa48097472443f76c059c9ff4b7e5f54)
La force accélératrice
; mais
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=b-{\frac {cy}{a\operatorname {Cos} .\alpha }},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1527120784024b74934b3f0805c3877addd27e3)
d’où
![{\displaystyle \qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=-{\frac {c\operatorname {d} y}{a\operatorname {d} t\operatorname {Cos} .\alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a06335e68e65cdf09cdf06ebb303fef53413484)
et, comme on a d’ailleurs
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}={\frac {c{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{a\operatorname {Cos} .\alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e0c6bbdac2a6d5eb0acf012f4acaefa483d8fa)
il s’ensuit qu’on doit avoir
![{\displaystyle p=-{\frac {M}{P}}.{\frac {c^{2}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e182e226ca43a5fe42d7794d11f9d147afc5e95)
ce qui donne, pour la valeur initiale de ![{\displaystyle p,\ p=-{\frac {M}{P}}.{\frac {c^{2}}{a\operatorname {Cos} .\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35575130211616c7221d90407c5d7be353d8c5a1)