Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Correspondance, article 2
du 3.e volume de ce recueil.
Permettez-moi, je vous prie, quelques observations très-courtes sur la lettre de M. Bret que vous avez insérée à la page 369 du 3.e volume de votre intéressant recueil.
Le procédé de M. Bret et le mien, pour construire la parabole, renferment deux points distincts.
1.o Il s’agit d’abord de déterminer deux tangentes parallèles aux axes des coordonnées, ainsi que les points où elles touchent la courbe. Pour cela M. Bret et moi employons les mêmes équations. Mais, tandis qu’il construit leurs intersections, moi je les combine par élimination. Jusque-là le but est le même, et la différence des moyens peu importante.
2.o Les deux tangentes étant trouvées, ainsi que leurs points de contact avec la courbe, il s’agit de construire cette courbe. M. Bret remplit ce second objet en déterminant d’abord le sommet ; tandis qu’au contraire je commence par chercher le foyer en menant les deux rayons vecteurs
M. Bret remarque, avec raison, que, lorsque les coordonnées sont rectangulaires, les droites se confondant avec la corde ne sont plus propres à déterminer le foyer ; par leur intersection ; mais, dans ce cas particulier, la construction devient beaucoup plus simple ; le foyer étant alors le pied de la perpendiculaire abaissée sur la corde du point de concours des deux tangentes.
Ainsi ma construction ne souffre pas plus d’exception que celle de M. Bret ; et elle se simplifie même, dans le cas particulier où elle semblait être en défaut. Je laisse, au surplus, au lecteur à juger de ce que ces deux constructions peuvent avoir de commun ; et je crois devoir me borner à observer qu’ayant communiqué le manuscrit de mon ouvrage à M. Bret, en août 1808, il n’est pas surprenant que depuis lors il ait oublié les détails de ma construction.
Agréez, etc.