Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Correspondance, article 1

Annales de mathématiques pures et appliquées

Texte établi par Joseph Diez Gergonne, 1814 (4, p. 56-57).

CORRESPONDANCE.

Lettre de M. du Bourguet, professeur de mathématiques
spéciales au lycée impérial,

Au Rédacteur des Annales ;

En réponse à la lettre de M. Bret, insérée à la page 369
du 3.^e volume de ce recueil.

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Monsieur et très-cher Confrère,

La nouvelle difficulté qu’élève M. Bret, contre la démonstration que j’ai donnée à la page 338 du 2.^e volume des Annales, et qui n’est plus celle qu’il avait élevée à la page 33 du 3.^e volume, et à laquelle j’ai complètement répondu, à la page 94 du même volume, s’applique généralement à tous les renversemens d’équations indéterminées entre deux variables, et a par conséquent déjà dû être expliquée^[1]. Mais, comme il m’est beaucoup plus aisé, dans ce moment, pour répondre à M. Bret, de donner moi-même une explication de la difficulté en question, que de feuilleter, peut être inutilement, un grand nombre d’auteurs, je ferai remarquer à ce géomètre que, si, en s’exprimant comme il le fait à la page 369 du 3.^e volume, on représente par $ab$ une des couples de $x,y,$ non comprises dans celles $\alpha \beta ,\alpha '\beta ',\alpha ''\beta '',$ de l’équation

$x=\phi (A,B,C,\ldots y),\qquad$(2)

ce couple ne satisfait pas à l’équation

$Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\ldots =y,\qquad$(1)

dont celle (2) est le renversement ; il s’ensuivra que, pour $y=b,$ dans l’équation (1), on devra avoir

$A\left(a+\delta \right)^{m}+B\left(a+\delta \right)^{m-1}+C\left(a+\delta \right)^{m-2}+\ldots =b\,;$

renversant cette dernière équation, il est clair, d’après les équations (1) et (2), qu’il viendra

$a+\delta =\phi (A,B,C,\ldots b)\,;$

mais, par hypothèse,

$a=\phi (A,B,C,\ldots b)\,;$

donc $\delta =0,$ et, par conséquent, $ab$ est aussi une couple de $x,y$, dans l’équation (1) ; donc toutes les couples qui satisfont à l’équation (2) satisfont aussi à l’équation (1). Cela démontré, je pense que M. Bret admettra cette conséquence, et peut-être alors cessera-t-il de croire qu’il soit très-difficile de ramener la démonstration du principe qui sert de fondement à la théorie des équations, à des notions purement élémentaires.

Agréez, etc.

Paris, le 2 juin 1813.

1. En effet, si cette légère difficulté n’avait déjà été expliquée, il s’ensuivrait, par exemple, qu’on serait encore dans le doute sur l’identité des courbes respectives des équations $y=\phi x$ et $x=\phi y$, lorsque cette dernière équation est le remersement de la première.