§. III.
Démonstration du principe qui sert de fondement à la méthode donnée par M. Budan, pour la résolution des équations numériques.
Soient
les termes de la première ligne horizontale d’une table à double entrée,
dont la loi soit telle qu’un terme quelconque de cette table soit égal
à celui qui le précède immédiatement à gauche, augmenté de celui
qui est immédiatement au-dessus de lui. En désignant par
ce
terme quelconque, on aura
![{\displaystyle P_{k,n}=P_{k,n-1}+P_{k-1,n}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a25005a31fdcdaad1af772b4c6fac54e726a492)
(13)
Pour connaître ce terme
, il est clair qu’il sera nécessaire et
suffisant de connaître les termes de la première ligne horizontale,
jusqu’au terme
inclusivement ; d’où on peut conclure que si
l’on trouve une expression de
qui, renfermant la totalité de ces termes, satisfasse à l’équation (13), elle en sera la valeur complète.
Or, l’expression
(14)
satisfait d’abord à la première de ces deux conditions ; elle satisfait en outre à la seconde. On en tire en effet
![{\displaystyle P_{k-n,1}=(k-2,n)P_{0,0}+(k-2,n-1)P_{0,1}+\ldots +(k-2,1)P_{0,n-1}+(k-2,0)P_{0,n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/702a9411b91d33528f230747710ff436acfcc256)
![{\displaystyle P_{k,n-1}=(k-1,n-1)P_{0,0}+(k-1,n-2)P_{0,1}+\ldots +(k-1,0)P_{0,n-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f383c925b597a2aeaf4ecc4dbdb40a64fba9899f)
d’où on conclut, en ajoutant, et ayant égard à l’équation (8),
![{\displaystyle P_{k-1,n}+P_{k,n-1}=(k-1,n)P_{0,0}+(k-1,n-1)P_{0,1}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e8846688a02f6a39750edcc7b8d3568c30c746)
![{\displaystyle +(k-1,1)P_{0,n-1}+(k-1,0)P_{0,n}=P_{k,n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32051dd9468afb56cfb795778d52ab208c8d1345)
ce qui est précisément l’équation (13).
Si, dans l’équation (14), on change
en
elle deviendra
(15)
équation qui va nous servir tout à l’heure.
Dans la table à double entrée dont il s’agit ici, les termes de la seconde ligne sont dits les sommes premières de ceux de la première ; ceux de la troisième en sont dits les sommes secondes, et ainsi de suite.
Soit présentement l’équation quelconque
(16)
Soit posé
d’où
En substituant, et conservant toujours les mêmes notations, il viendra
(17) équation qui, en vertu des formules (7, 14 et 15), devient simplement
(18)
Ainsi, les coefficiens successifs, de gauche à droite, des termes de l’équation dont les racines sont celles d’une équation proposée diminuée d’une unité, sont, à partir du premier terme, la première somme
la seconde somme
la troisième somme
et ainsi de suite, des coefficiens de la proposée.
C’est sur ce principe que repose la méthode publiée par M. Budan, pour la résolution des équations numériques ; méthode qui n’exige uniquement que l’usage de l’addition et de la soustraction.
Rien n’est plus facile, d’après cela, que de diminuer les racines d’une équation d’une unité. Que l’équation proposée soit
![{\displaystyle 5x^{4}-8x^{3}-11x^{2}+15x+24=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6990ee3225f4e278a2bae19fa701ff80557de476)
par le procédé indiqué ci-dessus, on formera la table suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&5-8-11+15+24,\\&{\text{—————————}}\\&5-3-14+29+53,\\&5+2-12+17,\\&5+7-5,\\&5+12,\\&5,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb40c1913305d39fd9d3f5ef951b6a72a360d322)
et l’équation transformée sera
![{\displaystyle 5(x-1)^{4}+12(x-1)^{3}-5(x-1)^{2}+17(x-1)+53=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0204dc0293ab2548594ecfc9ed0b2ccc843aa5f2)
identique avec la proposée. Nous renvoyons, pour les applications, à l’ouvrage de M. Budan.