ANALISE.
Détermination du nombre des termes d’une équation
complète d’un degré quelconque, entre un nombre
quelconque d’inconnues.
Recherche des principales formules de la théorie des
nombres figurés.
Démonstration du principe qui sert de fondement à
la méthode publiée par M. Budan, pour la résolution
des équations numériques ;
Par M. Gergonne.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Je réunis ici, dans un même article, diverses théories qui, à raison de la liaison étroite qui existe entre elles, ne peuvent que se simplifier beaucoup par leur rapprochement.
§. I.
Détermination du nombre des termes d’une équation complète d’un degré quelconque, entre un nombre quelconque d’inconnues.
Soit
le degré d’une équation complète entre
inconnues ; le nombre des termes de cette équation sera une fonction de
et de
qu’il s’agit de déterminer, et que nous représenterons par
Pour plus de simplicité, concevons que les coefficiens de tous les termes de cette équation soient positifs et égaux à l’unité : ce
qui ne changera rien à la nature du problème. L’équation proposée
devant renfermer tous les termes de l’équation complète du
degré, entre
inconnues, plus la totalité des termes du
ordre,
entre les mêmes inconnues ; en désignant par
le nombre de ces
derniers, on devra avoir l’équation
![{\displaystyle A_{m,n}=A_{m-1,n}+\nu .\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f25bf8fd3372c45df3c8e14a40894a14549737)
(1)
Il s’agit présentement de déterminer ![{\displaystyle \nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bafc5c30bf9727eb4c005ff0c0632d555b3b7d)
Pour cela, concevons que l’on multiplie chacun des termes d’ordres
inférieurs à
par une somme de puissances semblables des
inconnues, dont les exposans soient tels que ces multiplications donnent
toutes des produits de l’ordre
: ce qui exigera que l’on multiplie
le terme tout connu
par
l’ensemble des
termes du premier ordre par
,
et ainsi
de suite ; il est clair que le nombre total des termes de ces produits, abstraction faite de toute réduction, sera
.
Or, je dis que ces mêmes termes ne seront autre chose que les
termes du
ordre de la proposée, écrits chacun
fois. En
effet, en représentant généralement l’un de ces derniers par
avec la condition
on voit qu’il aura été formé
autant de fois qu’il y a de manières de diminuer successivement
chacun de ses exposans de toutes les unités qu’il renferme ; c’est-à-dire, de
manières différentes.
On a donc, d’après cela
![{\displaystyle nA_{m-1,n}=m\nu ,\qquad {\text{d’où}}\qquad \nu ={\frac {n}{m}}A_{m-1,n}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c78888c28f2c402bab70bbb4ad19bc4c01a2779)
(2)
et par conséquent (1)
![{\displaystyle A_{m,n}=A_{m-1,n}+{\frac {n}{m}}A_{m-1,n}={\frac {m+n}{m}}A_{m-1,n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b23e81fe866b28ad3e44ea6f406790fc2f1ff6)
ou enfin
![{\displaystyle mA_{m,n}=(m+n)A_{m-1,n}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a7a8abacc97a7a234100ce42cc3a3020c308d8)
(3)
En changeant successivement, dans cette équation,
en
2,1, et remarquant que
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}mA_{m,n}&=(m+n)A_{m-1,n},\\(m-1)A_{m-1,n}&=(m+n-2)A_{m-2,n},\\(m-2)A_{m-2,n}&=(m+n-1)A_{m-3,n},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \\2A_{2,n}&=(n+2)A_{1,n},\\A_{1,n}&=(n+1)\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d23f9c6111696e729f4b228cc35e6176b0cb8dc)
ce qui donnera, en multipliant, supprimant les facteurs communs
aux deux membres de l’équation produit, et tirant la valeur de
[1],
![{\displaystyle A_{m,n}={\frac {n+1}{1}}.{\frac {n+2}{2}}.{\frac {n+3}{3}}\ldots {\frac {n+m}{m}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567872aecb0793d5c723279ae841470346892bcb)
(4)
formule qui résout le problème.
Cette solution, la plus simple que je connaisse, m’a été communiquée par M. G. Fornier, élève très-distingué du lycée de Nismes.
Si l’on multiplie, haut et bas, la valeur de
par
elle devient
![{\displaystyle A_{m,n}={\frac {1.2.3\ldots (m+n)}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c8ef117c16275e0bd08eca8096fc2a88e0f6cc)
ou, en adoptant les notations de M. Kramp[2]
![{\displaystyle A_{m,n}={\frac {(m+n)!}{m!n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069bc5ad1d8a260e6edbe5b7ce72ff8a07e55157)
On voit alors que
est une fonction symétrique de
et
, et
qu’ainsi on doit avoir
![{\displaystyle A_{m,n}=A_{n,m}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea70fc7f1a8ddc056ba38ebe6631ded426c16cda)
(5)
ce qui revient à dire qu’il y a autant de termes dans une équation complète du n.me degré entre
inconnues qu’il y en a dans une équation complète du m.me degré entre
inconnues.
§. II
Recherche des principales formules de la théorie des nombres
figurés.
Parce que
est une fonction symétrique des nombres
et
nous emploirons, à l’avenir, pour représenter cette fonction, la notation plus simple
![{\displaystyle A_{m,n}=(m,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1778ab3ee4451cc893a34724426ae63143e3a767)
En conséquence, nous aurons
![{\displaystyle (m,n)=(n,m),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f71c9d2f1dd1c3671e3c27c79ff4baa46ff971b8)
(6)
et, quels que soient
et ![{\displaystyle q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
![{\displaystyle (0,p)=(0,q)=(p,0)=(q,0)=1.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb20c4bc9e16c1360f61a59e0719aeb3be46bbb9)
(7)
Cette notation admise, l’équation (3), dans laquelle on peut
permuter entre eux les nombres
et
donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}m(m,n)&=(m+n)(m-1,n),\\n(m,n)&=(m+n,n)(m,n-1)\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6440c2e3d679ad75ece7c762aed87bd8fdc9150f)
la somme de ces deux équations, divisée par
sera
![{\displaystyle (m,n)=(m-1,n)+(m,n-1)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206d649afdeb458ff4915ee3351eca139957fccc)
(8)
or, en se rappelant les équations (7), on voit que cette dernière
exprime la construction du triangle arithmétique ; et qu’ainsi
est la formule générale des nombres figurés.
L’équation (6) exprime donc que le
nombre figuré du
ordre est égal au
nombre figuré du
ordre ; et l’équation (8) exprime que le
nombre figuré du
ordre, ou le
nombre figuré du
ordre, est la somme du
nombre figuré du
ordre et du
nombre figuré du
ordre.
De cette dernière on tire
![{\displaystyle (m,n)-(m-1,n)=(m,n-1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30066522a53f76cadfa78f661971b462e1f77446)
substituant successivement pour
dans celle-ci, les nombres
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1,n)-1&=(1,n-1),\\(2,n)-(1,n)&=(2,n-1),\\(3,n)-(2,n)&=(3,n-1),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\(m,n)-(m-1,n)&=(m,n-1),\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5090d8abab932a7ef6de0cc2a2bb4bfedf4b92)
ajoutant ces dernières et réduisant, on aura
(9)
et l’on aurait pareillement
![{\displaystyle (m,n)=(n,m)=(0,m-1)+(1,m-1)+(2,m-1)+\ldots +(n,m-1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8bd0288566616aa6cd694f0dcc453618664fe8)
c’est-à-dire, que le
nombre figuré du
ordre, ou le
nombre figuré du
ordre, est égal à la somme des
nombres figurés de tous les ordres jusqu’au
ordre inclusivement ; ou encore à la somme des
premiers nombres figurés du
ordre.
Je terminerai par donner, d’après M. Lhuilier[3], la sommation des inverses des nombres figurés. Il est aisé de se convaincre, par le développement et les réductions, que l’équation suivante est identique
![{\displaystyle {\frac {1}{(m,n-1)}}={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {m!}{(m+n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4225388786746d86961cd52ea05f66d1f4a704)
(10)
Si l’on y substitue successivement pour
les nombres
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{(0,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1}{(n-2)!}}-{\frac {1!}{(n-1)!}}\right\},\\{\frac {1}{(1,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1!}{(n-1)!}}-{\frac {2!}{n!}}\right\},\\{\frac {1}{(2,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {2!}{n!}}-{\frac {3!}{(n+1)!}}\right\},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238832726eb6742ef9d61e548f76e8f28e9a27ff)
![{\displaystyle {\frac {1}{(m,n-1)}}={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {m!}{(m+n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fe369b151bf209644b86fbf809cb668fb1a973)
d’où, en ajoutant et réduisant,
![{\displaystyle {\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\frac {1}{(2,n-1)}}+\ldots +{\frac {1}{(m,n-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e911f263160bc01035202e0d7bd721223f2ca1c1)
![{\displaystyle ={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1}{(n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383f185d0e4a8a22838d711e17e5a8460ab51c6d)
ou encore
![{\displaystyle {\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\frac {1}{(2,n-1)}}+\ldots +{\frac {1}{(m,n-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e911f263160bc01035202e0d7bd721223f2ca1c1)
![{\displaystyle ={\frac {(n-1)}{n-2}}\left\{1-{\frac {1}{(m+1,n-2)}}\right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e89f04629778687f184bc25d9ae98b45b703d8)
(11)
Si, dans cette dernière formule, ou suppose
elle deviendra
simplement,
![{\displaystyle {\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\tfrac {1}{(2,n-1)}}+{\tfrac {1}{(3,n-1)}}+\ldots ={\frac {(n-1)}{n-2}}\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa55058e362bc52ff436a2d30667424e4364bb1)
(12)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle 1+{\tfrac {1}{n}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}.{\tfrac {3}{n+2}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}.{\tfrac {3}{n+2}}.{\tfrac {4}{n+3}}+\ldots ={\frac {(n-1)}{n-2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463c887acf0a3530dcab948a70ce9c8c31968034)