FONCTIONS CIRCULAIRES.
Développemens, en séries, des sinus et cosinus suivant
l’arc, et de l’arc suivant sa tangente ;
Par M. Gergonne.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
I. Le sinus d’un arc variant de signe avec cet arc, sans varier de grandeur absolue ; on est autorisé à supposer
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x=Ax+Bx^{3}+Cx^{5}+Dx^{7}+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db5323bec92774a388b114fd3c8319027281642)
(1)
et conséquemment
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .y=Ay+By^{3}+Cy^{5}+Dy^{7}+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca415a3883f69de23456a581fc2ed0585b98717)
(2)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x-y)=A\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]+\left[B{\tfrac {1}{2}}(x-y)^{3}\right]+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b548bcd4680f2d55f69c78925f9aefeca87cf64)
(3)
Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x-\operatorname {Sin} .y=2\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x-y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c526e11b4aa14f9e9add12795eed659e0c223346)
les deux membres de l’équation résultante seront divisibles par
et, en exécutant la division, il viendra
![{\displaystyle \left\{A+B\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]^{2}+C\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]^{4}+\ldots \right\}\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(x+y)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c74ed109914aada90b83b869132a936050d0f85)
![{\displaystyle A+B\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)+C\left(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\right)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fde818d34b3fcbb8c1f01b84a033971563f5593)
Si, dans cette dernière équation, on fait
elle se réduira à
![{\displaystyle A\operatorname {Cos} .x=A+3Bx^{2}+5Cx^{4}+7Dx^{6}+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb4ff04d039ca7dc62321874072a49505ba42c89)
(4)
on aura donc aussi
![{\displaystyle A\operatorname {Cos} .y=A+3By^{2}+5Cy^{4}+7Dy^{6}+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e6fc9701c92ec3f3124b1045a93ee49ff1b2b7)
(5)
substituant les valeurs de
et
données par ces deux équations, ainsi que celle de
donnée par l’équation (3), dans l’équation
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .x=2\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x-y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd2602fdc2abaa0f230de48fe2ad3a46c844df8)
les deux membres de l’équation résultante seront divisibles par
et, en exécutant la division, il viendra
![{\displaystyle A\left\{A+B\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]^{2}+C\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]^{4}+\ldots \right\}\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x+y)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2e60ae76df473fee723721d88238ada970ec8d)
![{\displaystyle -3B(x+y)-5C\left(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}\right)-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faec2be092ead25bd688a1226cb6385dc808769b)
Si, dans cette dernière équation, on fait
elle deviendra
![{\displaystyle A^{2}\operatorname {Sin} .x=-2.3Bx-4.5Cx^{3}-6.7Dx^{5}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a69a8758cf1f294c9faf25288816804f24ed05)
mais l’équation (1) donne
![{\displaystyle A^{2}\operatorname {Sin} .x=A^{3}x+A^{2}Bx^{3}+A^{2}Cx^{5}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/762d0eeb849be60eb7f182009cde0a92b9d3a7c2)
on aura donc
![{\displaystyle -2.3B=A^{3},\qquad -4.5C=A^{2}B,\qquad -6.7D=A^{2}C,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de29c711506c11127621e415df1c1dbc76505d0f)
et par conséquent
![{\displaystyle B=-{\frac {A^{3}}{1.2.3}},\quad C=+{\frac {A^{5}}{1.2.3.4.5}},\quad D=-{\frac {A^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}},\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c9039e75ce426ce451f288d25ddfc7058ae33c)
donc enfin (1 et 4)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x={\frac {Ax}{1}}-{\frac {A^{3}x^{3}}{1.2.3}}+{\frac {A^{5}x^{5}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {A^{7}x^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6597ec4b7040b42a9b865bfc6b60906c5c1c53bf)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .x=1-{\frac {A^{2}x^{2}}{1.2}}+{\frac {A^{4}x^{4}}{1.2.3.4}}-{\frac {A^{6}x^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc340c7e319f3b700f66d52c6dc1cab16dc4b03)
Il est d’ailleurs facile de prouver que la constante
doit être égale à l’unité.[1]
II. La tangente d’un arc variant aussi de signe avec cet arc, sans varier de grandeur absolue ; on est autorisé à supposer
![{\displaystyle x=A\operatorname {Tang} .x+B\operatorname {Tang} .^{3}x+C\operatorname {Tang} .^{5}x+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3469809083575c3a196550fb67cac3458c6b7f8)
(6)
on aura donc aussi
![{\displaystyle y=A\operatorname {Tang} .y+B\operatorname {Tang} .^{3}y+C\operatorname {Tang} .^{5}y+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8307ffd5111f1a4cd2a57480306b5fdc910e5c)
(7)
![{\displaystyle x-y=A\operatorname {Tang} .(x-y)+B\operatorname {Tang} .^{3}(x-y)+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276649285ec3f0d216cc9c7eafc32857ea1f223a)
(8)
Si l’on égale la valeur de
donnée par les équations (6 et 7)
à celle que donne l’équation (8), en mettant en évidence le facteur
qui affecte l’un des membres de l’équation résultante ; il viendra
![{\displaystyle (\operatorname {Tang} .x-\operatorname {Tang} .y)\left\{A+B\left(\operatorname {Tang} ,^{2}x+\operatorname {Tang} .x\operatorname {Tang} .y+\operatorname {Tang} .^{2}y\right)+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c4d73b27d1392ae5ee051b8b8d67af74febe5b)
![{\displaystyle =\operatorname {Tang} .(x-y)\left\{A+B\operatorname {Tang} ,^{2}(x-y)+C\operatorname {Tang} .^{4}(x-y)+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac89a477714129e72f8f8553e9cd83e371fe6ca6)
mais on a
![{\displaystyle \operatorname {Tang} x-\operatorname {Tang} .y=(1+\operatorname {Tang} .x\operatorname {Tang} .y)\operatorname {Tang} .(x-y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6946182dad365371935aa7ca48df19398a0aad62)
substituant donc, et supprimant le facteur commun
on aura
![{\displaystyle \left(1+\operatorname {Tang} .x\operatorname {Tang} .y\right)\left\{A+B\left(\operatorname {Tang} .^{2}x+\operatorname {Tang} .x\operatorname {Tang} .y+\operatorname {Tang} .^{2}y\right)+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999cd6c7dff2557c50cf468b20edd033f146d263)
![{\displaystyle =A+B\operatorname {Tang} ,^{2}(x-y)+C\operatorname {Tang} .^{4}(x-y)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8eeb4ebbd0391b20f28d3614ff27e24b17f17e)
posant alors
cette équation deviendra simplement
![{\displaystyle A=\left(1+\operatorname {Tang} .^{2}x\right)\left\{A+3B\operatorname {Tang} .^{2}x+5C\operatorname {Tang} .^{4}x+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7154e1b4407b48059f2f2213d37569dc943d8268)
ou, en développant,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}A=A&+3B\\&+A\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}\operatorname {Tang} .^{2}x&+5C\\&+3B\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}\operatorname {Tang} .^{4}x&+7D\\&+5C\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}\operatorname {Tang} .^{6}x&+\ldots \,;\\&\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1a8ab23649f4556adf84256fe26d8481a5380a)
donc
![{\displaystyle 3B+A=0,\qquad 5C+3B=0,\qquad 7D+5C=0,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deaa8513e04476098236e23671bcc13161107593)
d’où
![{\displaystyle B=-{\tfrac {1}{3}}A,\qquad C=+{\tfrac {1}{5}}A,\qquad D=-{\tfrac {1}{7}}A,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b6a1fd20e85f15fd0518f7598da61a93fada8b7)
donc enfin (6)
![{\displaystyle x=A\left(\operatorname {Tang} .x-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {Tang} .^{3}x+{\tfrac {1}{5}}\operatorname {Tang} .^{5}x-\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ddfe0d6a91c987555adf10b6cd9d0676b5a482)
on parviendra d’ailleurs facilement à s’assurer que la constante
doit être égale à l’unité.