GÉOMÉTRIE.
Recherche de la distance entre les centres des cercles
inscrit et circonscrit à un même triangle ;
Par M. Garnier, docteur ès sciences, ancien professeur
à l’école polytechnique.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Au Rédacteur des Annales,
Monsieur,
La lecture de vos Annales me laisse le regret de n’avoir pas connu plutôt cet intéressant recueil ; il m’aurait servi à améliorer
quelques théories de la première section de mon algèbre ; mais enfin je l’exploite au profit, tant de la seconde que de l’Application de l’algèbre à la géométrie, et des réciproques, ouvrage dont je prépare de nouvelles éditions ; ainsi, Monsieur, vous voyez que je serai de beaucoup votre débiteur.
Je ne sais trop, Monsieur, si vous consentirez à revenir sur une question déjà traitée dans le tome 1.er de votre recueil (pages 149-158).
Il s’agit de l’expression de la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit à un même triangle. Il me semble que le procédé que j’ai l’honneur de vous adresser se recommande, par sa simplicité.
Soient
les trois angles du triangle proposé ; soient respectivement
et
les rayons des cercles inscrit et circonscrit ; soit enfin
la distance entre les centres de ces cercles.
En considérant
comme l’un des côtés d’un triangle dont le sommet est en
observant que les deux autres côtés de ce triangle sont
et
et que l’angle compris est
ou
; on trouvera, par l’équation fondamentale de la trigonométrie rectiligne,
![{\displaystyle 2rR\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(B-C)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A=r^{2}+(R^{2}-D^{2})\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bbb0342a7a9f1342e1b688d2365355a0b142dfd)
En transportant le sommet de ce triangle de
en
on aura semblablement
![{\displaystyle 2rR\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A-C)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}B=r^{2}+(R^{2}-D^{2})\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4274a1596e09fd233af3538c6ad419049033cb)
Retranchant cette dernière équation de la première, il viendra
or,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(B-C)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}A-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A-C)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}B&=\textstyle \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A-B)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C\\&=\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A-B)\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A+B)\\&=\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}A-\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}B\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18139336e623ece2f27029ddc354142b28ff54b)
on a donc, simplement
![{\displaystyle 2rR=R^{2}-D^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dff704cfd6551fa8cf8d821b288426bb24d2ed4)
ou
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad D={\sqrt {R^{2}-2rR}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8323b1752a6ac2e3aa80b64b3e84d114b4be067b)
Paris, le 16 novembre 1812.