TRIGONOMÉTRIE.
Démonstration de quelques formules trigonométriques
nouvelles ou peu connues ;
Par M. du Bourguet, professeur de mathématiques spéciales
au lycée impérial.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Soit
une fonction quelconque d’un nombre
que nous supposons essentiellement entier et positif ; convenons, pour abréger, de dénoter simplement par
le produit de toutes les valeurs que reçoit la fonction
lorsqu’on y met successivement pour
les nombres consécutifs de la suite naturelle ![{\displaystyle g,g+1,g+2,\ldots ,h\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc26ec0a8ecb3d9de99e9da5c0d0b7111d75573)
en sorte qu’on ait
![{\displaystyle P\left\{\phi (g\ldots h)\right\}=\phi (g),\phi (g+1),\phi (g+2),\ldots ,\phi (h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c85d1708f88f7c9291ad167147fb2a8ae888a51)
Cette notation admise ; le Théorème de Côte donne
![{\displaystyle a^{4m}-2a^{2m}b^{2m}\operatorname {Cos} .z+b^{4m}=P\left\{a^{2}\pm 2ab.\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}+b^{2}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544c9ec0b56f3c7872af8248ec3d849616146977)
pourvu qu’on prenne successivement le signe
et le signe
dans le second membre.
En exposant
cette formule devient
![{\displaystyle 2a^{4m}(1-\operatorname {Cos} .z)=P\left\{2a^{2}\left[1\pm \operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right]\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5926a914693159ca5b199c0703900637bf32f7)
sortant de dessous le signe
le facteur
qui deviendra au dehors
remarquant que
et divisant par
il viendra
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}z=2^{2m-2}.P\left\{1\pm \operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98aafb15bd56b847be7af65e06e415d88bbcb85a)
ou
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}z=2^{2m-2}.P\left\{1+\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\}\times P\left\{1-\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619320a1e43860c154d454a27318cd1cd2321ae9)
ou
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}z=2^{2m-2}.P\left\{1-\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c976ac08f4ad4e984486c3c3ae407626da502c)
ou
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}z=2^{2m-2}.P\left\{\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114c40c74e7ad42b199837d03d8fb620b097e082)
ou, en extrayant la racine quarrée
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}z=2^{m-1}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/941a744c9913aaf4f9f982c27a8084a430883325)
Faisant enfin
il viendra
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x=2^{m-1}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {(o\ldots m-1)\varpi +x}{m}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad96a6e5c7f48471100edb330b17a6b1f01e183d)
En développant le second membre de cette équation, elle deviendra
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x=2^{m-1}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi +x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi +x}{m}}\ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {(m-2)\varpi +x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {(m-1)\varpi +x}{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031ba50506e9d6b84fd2d24620781957f971a7df)
mais comme, en général,
on pourra encore mettre la même équation sous cette autre forme
![{\displaystyle \mathrm {(II)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce17ae9b72f58e4b76394d00724223217bc4b3b5)
Ces formules assez remarquables en elles-mêmes, conduisent immédiatement à celles que Lacroix a démontrées, d’après Lhuilier, dans son Traité des différences et des séries[1]. Il suffit, en effet, pour les en déduire, de faire dans l’équation (I),
et dans l’équation (II),
, en multipliant cette dernière par 2, On obtient ainsi
![{\displaystyle 1=2^{m-1}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {3}{m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\ldots .\operatorname {Sin} .{\tfrac {2m-3}{m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {2m-1}{m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\quad \mathrm {(B)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0401e463f9edc2b209c696adf8c6860676053da2)
![{\displaystyle {\sqrt {2}}=2^{m}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {3}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\ldots .\operatorname {Sin} .{\tfrac {2m-3}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {2m-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}.\quad \mathrm {(A)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8f897ee0ed7671606acd3e69b19d110a75a88e)
La formule (B) est un peu plus élégante que celle de Lhuilier, que Lacroix a désignée par la même lettre. La différence naît de ce qu’ici les valeurs de
commencent à l’unité, tandis que, dans la formule de Lhuilier, elles commencent à zéro.
En concentrant, pour plus de brièveté, les seconds membres des équations (B) et (A), et multipliant la première par 2, elles deviennent
![{\displaystyle 2=2^{m}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}\varpi \right\},\ \mathrm {(B')} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79da53a231dacbaa46743fdbc84bbf814fc3ecd)
![{\displaystyle {\sqrt {2}}=2^{m}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\frac {\varpi }{2}}\right\},\ \mathrm {(A')} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041b2094b328ee86272d47f1954e016a6d704d59)
et il est très-remarquable qu’on obtient la racine quarrée du produit
![{\displaystyle 2^{m}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}\varpi \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6dff6f43ba9b2a5ed189e98e5febdcbd2a345d9)
par la simple substitution de
à ![{\displaystyle \varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708f6611303e54eefbedd289cd48ca2ed16af127)
De cette relation on peut conclure, en quarrant l’équation (A’),
![{\displaystyle 2^{m}.P\left\{\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}=P\left\{\operatorname {Sin} .2{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3fd87fda65fd965180ce202e4d3b19efa896c86)
ou, en se rappelant que ![{\displaystyle \operatorname {Sin} .2x=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ff73657ab8ac3540f748f248c935e4cbafb259)
![{\displaystyle 2^{m}.P\left\{\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}=P\left\{2\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45e30025560617c7b8cbd6caec72d14633a0c23)
ou, en remarquant que 2 est
fois facteur dans le second membre,
![{\displaystyle P\left\{\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}=P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507c3c850c0d315a71549ebc55d5aa03da2f174f)
ou encore
![{\displaystyle P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ceed480869c00a94a45883a617bf0b40aa3c68c)
![{\displaystyle P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}P\left\{\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb49330d2730daa2e85dc4044f1c7be3a78b6c7)
ou enfin
![{\displaystyle P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}=P\left\{\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}\,;\quad \mathrm {(C)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ef19ddd9d69ec13e1f4100d522817cfa0b1482)
d’où résulte encore,
![{\displaystyle P\left\{\operatorname {Tang} .{\tfrac {2(1\ldots m)-1}{2m}}{\tfrac {\varpi }{2}}\right\}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f228fa01b4de865f33da4c7d20e5b72dcd387fa)
Posant
d’où
et
il viendra, en substituant dans l’équation (C) et développant,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .3\omega \operatorname {Sin} .5\omega \ldots \operatorname {Sin} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650e59b3efca1e40dd16d7215c0f062c3756d88e)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\omega \operatorname {Cos} .3\omega \operatorname {Cos} .5\omega \ldots \operatorname {Cos} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )\,;\quad \mathrm {(D)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/726e69a98c0a0d56fb92cc54ee38a684e83c5337)
équation qui, au surplus, se vérifie aisément d’elle-même, en observant que
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&\operatorname {Sin} .\omega &=\operatorname {Cos} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega ),\\&\operatorname {Sin} .3\omega &=\operatorname {Cos} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -3\omega ),\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2667f0754d9905b9b89742942a67938b3f9cd4a)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&\operatorname {Sin} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -3\omega )&=\operatorname {Cos} .3\omega ,\\&\operatorname {Sin} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )&=\operatorname {Cos} .\omega .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53592c4031409df2956c1ae108155136e64f9e87)
Si l’on divise le premier membre de l’équation (D) par le second, et vice versa, il viendra
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\omega \operatorname {Tang} .3\omega \ldots \operatorname {Tang} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9774d510e6df4ddff8cbbc903e2c580966bcccc2)
![{\displaystyle =\operatorname {Cot} .\omega .\operatorname {Cot} .3\omega \ldots \operatorname {Cot} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db11549d9b2fca17dec4a477084a08c34174318b)
L’équation (A) peut être écrite ainsi
![{\displaystyle 1=2^{\frac {2m-1}{2}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi }{4m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {3\varpi }{4m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {5\varpi }{4m}}\ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {(2m-1)\varpi }{4m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b84ae819957921777731cdc4f960602623c219)
en y mettant pour
la valeur
et ayant égard à l’équation (D), elle devient
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {\varpi -2\omega }{4\omega }}}}=\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .3\omega \ldots \operatorname {Sin} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d882b7a01c60f8ae17d06d181ae432e0f2a980)
![{\displaystyle =\operatorname {Cos} .\omega \operatorname {Cos} .3\omega \ldots \operatorname {Cos} .({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f6d47ba748573fb717cd3ace9b01397c023a96)
L’équation (II) divisée par
devient
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Sin} .{\frac {x}{m}}}}=2^{m-1}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi +x}{m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi +x}{m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {3\varpi +x}{m}}\ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {(m-1)\varpi +x}{m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92f99ec9823b217173379f00cff37d97ed02e3d)
faisant, dans cette équation,
en remarquant qu’alors on doit avoir
[2]
il viendra, en divisant par
,
![{\displaystyle {\frac {m}{2^{m-1}}}=\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi }{m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi }{m}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {3\varpi }{m}}\ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {(m-1)\varpi }{m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d34bcc999066fd45bc51aa67887640873a2e74)
posant alors
d’où
il viendra
![{\displaystyle {\frac {\varpi }{2^{{\frac {\varpi }{\omega }}-1}.\omega }}=\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .2\omega \operatorname {Sin} .3\omega \ldots \operatorname {Sin} .(\varpi -\omega ).\qquad \mathrm {(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4250078d690f174a937743f5a4eb311effe6bfd6)
Or, par l’hypothèse,
étant un nombre entier,
doit en être un aussi ; c’est-à-dire, que
est un sous-multiple de
Si, en outre, il est aussi un sous-multiple de
ce qui aura toujours lieu, dans la nouvelle division du cercle, toutes les fois que
sous-multiple de
ne sera pas 8° ou 40° ; la série (E) aura un nombre
impair de facteur ; et le
facteur, qui sera le moyen entre tous, sera
; de plus, les
facteurs situés à la droite de celui-là, seront respectivement égaux aux
facteurs situés à sa gauche, puisque la somme des arcs également distants des extrêmes et constamment égaie à
Donc, en extrayant la racine quarrée des deux membres de l’équation (E), il viendra
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {\varpi }{2^{{\frac {\varpi }{\omega }}-1}.\omega }}}\left\{{\begin{aligned}&=\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .2\omega \operatorname {Sin} .3\omega \ldots \operatorname {Sin} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right),\\&=\operatorname {Cos} .\omega \operatorname {Cos} .2\omega \operatorname {Cos} .3\omega \ldots \operatorname {Cos} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right)\,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6b1354d006561fb962605540efaf4d757fd60d)
d’où on tire encore les équations
![{\displaystyle 1\quad \left\{{\begin{aligned}&=\operatorname {Tang} .\omega \operatorname {Tang} .2\omega \operatorname {Tang} .3\omega \ldots \operatorname {Tang} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right),\\&=\operatorname {Cot} .\omega \operatorname {Cot} .2\omega \operatorname {Cot} .3\omega \ldots \operatorname {Cot} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\omega \right)\,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb8d2a2c19672115ace8503b96158faadbeedd8)
Si nous posons
; nous aurons
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {\varpi }{2^{{\frac {\varpi }{\omega }}-1}.\omega }}}={\sqrt {\frac {200}{2^{199}}}}={\sqrt {\frac {400}{2^{200}}}}={\frac {20}{2^{100}}}={\frac {10}{2^{99}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d3dd06d6cb56a3991ebf873ef39d280fb6b39d)
en passant donc aux logarithmes de Briggs, nous trouverons
![{\displaystyle \operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .1^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .2^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .3^{\circ }+\ldots +\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .99^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2d92db46d37f997b72ce9aa91458156eafcb18)
![{\displaystyle =1-99^{\circ }\operatorname {Log} .2,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a7d954a4e9603b264ac76866969dc522382422)
![{\displaystyle \mathrm {(F)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38dfff7ea1f922f02069871b629343471641eca1)
![{\displaystyle \operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .1^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .2^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .3^{\circ }+\ldots +\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .99^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0507369a998f4a2198989b5ae1691240ad4e1c)
![{\displaystyle =0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4165b0a7e9c94dba85d124e58a83d335ef7d796e)
![{\displaystyle \mathrm {(G)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d25f83f4788988d547abbaf574ae5768d06d3d5)
mais si au rayon l’on veut substituer le rayon
comme on le fait dans les tables trigonométriques, afin d’éviter les
logarithmes négatifs, il faudra ajouter 99 dixaines au second membre de l’équation (F) ; si de plus on veut pousser jusqu’à 100°, cette équation deviendra
![{\displaystyle \operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .1^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .2^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .3^{\circ }+\ldots +\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .100^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772c84192cfae98215aa64c7a75094d23efa0146)
![{\displaystyle =1001-99\operatorname {Log} .2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cda1045cc976e2e804b9be0fbeac498ae162aa5)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .1^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .2^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .3^{\circ }+\ldots +\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .100^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772c84192cfae98215aa64c7a75094d23efa0146)
![{\displaystyle =971,1983.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4254cab5d2cb9e49d028886251811fb9c3c2e754)
Ainsi pour le rayon
et la division centésimale, le produit des sinus naturels de tous les degrés du quart de cercle est un nombre qui a 972 chiffres à sa partie entière.
Si
sous-multiple de
ne l’est pas de
ce qui aura lieu seulement, comme nous l’avons déjà observé, lorsque
sera égal à 40° ou à 8° ; alors le second membre de l’équation (E) aura un nombre pair de facteurs ; et sa première moitié, dont le dernier facteur sera
sera égale à la dernière, dont le premier facteur sera
Extrayant donc la racine quarrée des deux membres, il viendra
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {\varpi }{2^{{\frac {\varpi }{\omega }}-1}.\omega }}}=\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .2\omega \operatorname {Sin} .3\omega \ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\left(\varpi -\omega \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63253c3d539e81ac1fd3fb568c775c180c2acb7e)
En faisant successivement
et
on aura
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .40^{\circ }\operatorname {Sin} .80^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {5}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ad3b71a7d0256378a6187d545d26c033a04f85)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .8^{\circ }\operatorname {Sin} .16^{\circ }\operatorname {Sin} .24^{\circ }\operatorname {Sin} .32^{\circ }\ldots \operatorname {Sin} .96^{\circ }={\frac {5}{4096}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b56a56264ee86336a969a9b235c7b011baa94eb)