Solution du dernier des deux problèmes proposés à la
page 32 de ce volume ;
Par M. Lhuilier, professeur de mathématiques à l’académie
impériale de Genève.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Problème. Déterminer un quadrilatère dont on connaît les quatre côtés et la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés ?
Je remarque d’abord que ce problème donne lieu à un cas indéterminé. En effet, lorsque les côtés opposés d’un quadrilatère sont
égaux, deux à deux, le quadrilatère est un parallélogramme ; la droite
qui joint les milieux de deux côtés opposés est déterminée à être
égale et parallèle à chacun des deux autres côtés, et le nombre des
quadrilatères assujettis aux conditions données est illimité.
Supposons donc que la double égalité qui rend le problème indéterminé n’ait pas lieu.
Soit
(fig. 5) un quadrilatère dont les côtés sont donnés
de grandeur de manière qu’on n’ait pas, en même temps,
et
; que les côtés opposés
et
soient coupés
en deux parties égales, en
et
, et que la droite
soit donnée
de grandeur ; on demande le quadrilatère.
L’application des propositions générales de la Polygonométrie m’a
paru le moyen le plus convenable pour résoudre le problème proposé ;
savoir, je vais chercher, au moyen de ces propositions, les angles en
et en
que la droite
fait avec les côtés du quadrilatère dont
elle joint les milieux.
Que dans le quadrilatère
les angles extérieurs soient désignés
par
et par
dans le quadrilatère
les angles extérieurs
seront les supplémens des premiers.
Dans le quadrilatère
, on a l’équation
Dans le quadrilatère
, en remarquant que
et que
, on a l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {CC'^{2}=AB^{2}+BB'^{2}+B'A'^{2}} &-2\mathrm {AB\times BB'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {B} ,\\&+2\mathrm {AB\times B'A'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {(B+B')} ,\\&-2\mathrm {BB'\times B'A'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {B'} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faaa36ffa9f8522dfe7bbab8fa05e89d18ba5ccd)
Ajoutant et retranchant successivement la seconde équation à la
première, il viendra, en réduisant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AA'^{2}+CC'^{2}} &=2\mathrm {AB^{2}+2BB'^{2}+2B'A'^{2}+4AB\times B'A'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {(B+B')} .\\\mathrm {AA'^{2}-CC'^{2}} &=4\mathrm {AB\times BB'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {B+4BB'\times B'A'} \times \operatorname {Cos} .\mathrm {B'} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a40ce0dbc463f5c90631e952a58356327f4b593f)
Ce qui donne
![{\displaystyle \operatorname {Cos} \mathrm {(B+B')={\frac {AA'^{2}+CC'^{2}-2(AB^{2}+BB'^{2}+B'A'^{2})}{4AB\times B'A'}},} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd7d61a40f3953ca7f3672b1030f8136cdc1888)
![{\displaystyle \mathrm {AB} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B+A'B'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B'={\frac {{\frac {AA'+CC'}{2}}\times {\frac {AA'-CC'}{2}}}{BB'}}.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0361a142971185e4d0de85308cfd182ce05e69)
Par la première de ces équations, on connaît la somme des angles
et
, par le cosinus de cette somme ; par la seconde on connaît la somme des produits des cosinus des mêmes angles par les droites données
et
. Partant, le problème est ramené à cet autre : trouver deux angles dont on connaît la somme, et la somme des produits de leurs cosinus par des droites données.
Remarque I. Lorsque
et
, on a aussi
; il vient conséquemment
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {(B+B')} =-1~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce7bf2af5b345184322cc87e55131305294069f8)
donc la somme des angles
et
vaut deux droites, et conséquemment les droites
et
sont parallèles entre elles. Alors
, et la seconde équation devient
![{\displaystyle \mathrm {(AB-A'B')} \operatorname {Cos} .\mathrm {B=AA'-CC'} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5bff10cede34ac887e794d568ce423069a9e0c7)
d’où
partant, l’angle
est indéterminé, comme il doit l’être en effet.
Remarque II. Le problème : couper un angle donné en deux parties telles que la somme des produits de leurs cosinus par des droites données soit donnée de grandeur, peut être résolu de différentes manières, soit par l’algèbre soit par la géométrie. Le procédé suivant, fondé sur la doctrine des centres des moyennes distances, me paraît l’un des plus élégans.
Soit
(fig. 6) un angle donné, on demande de le partager en deux parties
, par une droite
, de manière que les sommes de leurs cosinus, pour les rayons donnés de grandeur
et
, soient égales à une droite donnée de grandeur
?
Soit menée
, laquelle soit coupée en deux parties égales, au point
; de ce point, comme centre, et avec un rayon égal à la moitié
de la droite donnée, soit décrite une circonférence de cercle ; du sommet
soit menée (s’il est possible) une tangente à ce cercle, et du point
soit élevée à cette tangente une perpendiculaire
; cette perpendiculaire sera la droite qui divisera l’angle proposé dans les parties cherchées.
Pour que le problème soit possible, le point
ne doit pas être au dedans de la circonférence dont
est le centre et dont
est le rayon, c’est-à-dire, qu’on doit avoir
Or,
donc
![{\displaystyle \mathrm {2CZ^{2}} ={\frac {\mathrm {CA^{2}+CA'^{2}+2CA\times CA'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {C} }{2}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24db93f08cc40c3f86a9ed72cfb848a8a26173fa)
et
![{\displaystyle \mathrm {CZ^{2}} ={\frac {\mathrm {CA^{2}+CA'^{2}+2CA\times CA'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {C} }{4}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8ea29cf255bb871baf256d45cd9bf5bad4d9b0)
on doit donc avoir
![{\displaystyle 4\alpha ^{2}\leqq \mathrm {CA^{2}+2CA\times CA'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {C+CA'^{2}.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f464ec8b3a5b1e18cf4d2eab92398ec8ba05a3)
Dans le cas présent, cette inégalité devient
![{\displaystyle \left\{\mathrm {\frac {{\tfrac {1}{2}}(AA'+CC').{\tfrac {1}{2}}(AA'-CC')}{BB'}} \right\}^{2}\leqq \mathrm {AB^{2}+A'B'^{2}+2AB\times A'B'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/119563acdd085e7b1481f989517b79fd0a47f424)
![{\displaystyle \times \mathrm {\frac {AA'^{2}+CC'^{2}-2(AB^{2}+BB'^{2}+A'B'^{2}}{4AB\times A'B'}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd617e5e1893fe8b066ea14486109141e12b695e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {\leqq AB^{2}+A'B'^{2}+{\frac {AA'^{2}+CC'^{2}-2(AB^{2}+BB'^{2}+A'B'^{2}}{2}}} ,\\&\mathrm {\leqq {\frac {AA'^{2}+CC'^{2}}{2}}-BB'^{2}} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d00db5093d4766e1720652f94ebc667efabf1af)
De là on tire
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\mathrm {BB'\geqq {\tfrac {1}{2}}(AA'-CC')} ,\\\mathrm {BB'\leqq {\tfrac {1}{2}}(AA'+SC')} ~;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9e97bda62679bc198e75cf778493bf06fde665)
savoir ; Dans tout quadrilatère, la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés n’est pas plus petite que la demi-différence des deux autres côtés, et elle n’est pas plus grande que leur demi-somme.
Remarque III. L’équation
![{\displaystyle \mathrm {AB} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B+A'B'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} ={\frac {{\tfrac {1}{2}}\mathrm {(AA'+CC')} \times {\tfrac {1}{2}}\mathrm {(AA'-CC')} }{\mathrm {BB'} ,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775943958df54b8682e1917e768ebc33eb54298d)
donne lieu à la construction suivante :
Des points
et
soient abaissées sur
les perpendiculaires
et
; on aura
donc
![{\displaystyle bb'=\mathrm {BB'+AB} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B+A'B'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4033cd390cf89d05a8b64bf8902dc72876754299)
![{\displaystyle ={\frac {{\tfrac {1}{2}}\mathrm {(AA'+CC')} \times {\tfrac {1}{2}}\mathrm {(AA'-CC')} }{\mathrm {BB'} }}+\mathrm {BB'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744d7241782ca8a3f7376328dc9a03ed3772bf78)
Or, le rapport de
à
est le rapport du sinus total au cosinus de l’inclinaison du côté
au côté
; donc on connaît cette inclinaison ; et, par la première équation, on connaît celle des deux côtés
et
l’un à l’autre.
Remarque IV. De là le problème proposé est ramené au suivant ; soient deux cercles donnés de grandeur et de position, et soit une droite donnée de position ; mener une droite parallèle à la droite donnée de position, de manière que sa partie comprise entre les circonférences des deux cercles soit de grandeur donnée.
En effet, les points
et
sont à des circonférences données, dont les centres sont
et
, et dont les rayons sont
et
et
et la droite
, donnée de grandeur, doit être inscrite entre les circonférences de ces cercles, de manière qu’elle fasse un angle donné avec la droite
qui joint leurs centres.
Par le centre
soit menée une droite
, égale à
et faisant avec
l’angle donné. Du point
comme centre, avec le rayon
, soit décrite une circonférence de cercle qui rencontre (s’il est possible)
en
la circonférence dont
est le centre et
le rayon ; soit enfin menée
parallèle à
, et terminée en
à la circonférence de l’autre cercle ; la droite
sera la position de la droite qui joint les milieux des côtés opposés
et
.
Si la circonférence décrite du centre
avec le rayon
, coupe la circonférence décrite avec le rayon
et le centre
, le problème proposé a deux solutions.
Si la rencontre de ces circonférences n’a pas lieu, le problème est impossible.
Si enfin la rencontre se fait par contact, il y a une limite entre les quantités données.
Pour que le problème soit possible, on doit avoir les deux conditions
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}1.^{\circ }\mathrm {AB} &\geqq \mathrm {A'} \alpha -\mathrm {A'B'} \\2.^{\circ }\mathrm {AB} &\leqq \mathrm {A'} \alpha +\mathrm {A'B'} \\\end{aligned}}\right\}{\text{ou}}\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A'} \alpha &\leqq \mathrm {AB+A'B'} \\\mathrm {A'} \alpha &\geqq \mathrm {AB-A'B'} \\\end{aligned}}\right\}{\text{donc}}\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A'} \alpha ^{2}&\leqq (\mathrm {AB+A'B'} )^{2},\\\mathrm {A'} \alpha ^{2}&\geqq (\mathrm {AB-A'B'} )^{2}~;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f2368427bf8cade7f28362c5defe69139e9c10c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{or,}}\qquad \qquad \mathrm {A'} \alpha ^{2}&=\mathrm {AA'} ^{2}+\mathrm {A} \alpha ^{2}-2\mathrm {AA'} \times \mathrm {A} \alpha .\operatorname {Cos} .\mathrm {A'A} \alpha \\&=\mathrm {AA'} ^{2}+\mathrm {A} \alpha ^{2}-2\mathrm {BB'} \times bb'\\&=\mathrm {AA'} ^{2}+\mathrm {BB'} ^{2}-2\mathrm {BB'} \times bb'\\=\mathrm {AA'} ^{2}+\mathrm {BB'} ^{2}&-2\mathrm {BB'} \left\{\mathrm {BB'} +{\frac {{\tfrac {1}{2}}(\mathrm {AA'} +\mathrm {CC'} )\times {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {AA'-CC')} }{\mathrm {BB'} }}\right\}\\&=\mathrm {AA'} ^{2}-\mathrm {BB'} ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\mathrm {AA'} ^{2}-\mathrm {CC'} ^{2})\\&={\tfrac {1}{2}}(\mathrm {AA'} ^{2}+\mathrm {CC'} ^{2})-\mathrm {BB'} ^{2}~;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef737fd5efe1ba984dc8da755ce9d8964869607)
on a donc les deux limites
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}(\mathrm {AB+A'B'} )^{2}\geqq \\(\mathrm {AB-A'B'} )^{2}\leqq \\\end{aligned}}\right\}{\tfrac {1}{2}}(\mathrm {AA'^{2}+CC'^{2})-BB'} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047629a0a0ad2a1810ae035a0148582f2de402f6)
Autre solution. Le problème proposé peut aussi être résolu, indépendamment des propositions générales de la polygonométrie, comme il suit.
Que les côtés
se rencontrent (s’il y a lieu) en
,
(fig, 7) on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {CC'} ^{2}&=\mathrm {CS+C'S-2CS\times C'S.\operatorname {Cos} .S} ,\\&=(\mathrm {BS-BC)^{2}+(B'S-B'C)^{2}-2(BS-BC)(B'S-B'C').\operatorname {Cos} .S} ,\\&=\mathrm {BB'^{2}-2BS\times BC+2BS\times B'C'\operatorname {Cos} .S+BC^{2}+B'C'^{2}-2BC\times B'C'\operatorname {Cos} .S} .\\&-2\mathrm {B'S\times B'C'+2B'S\times BC.\operatorname {Cos} .S} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139a85e505d077c37fe87eb13e6bd77ee73af227)
On trouvera par un calcul à peu près semblable,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AA'^{2}=BB'^{2}} &+2\mathrm {BS\times BC-2BS\times B'C'.\operatorname {Cos} .S+BC^{2}+B'C'^{2}-2BC\times B'C'.\operatorname {Cos} .S} .\\&+2\mathrm {B'S\times B'C'-2B'S\times BC.\operatorname {Cos} .S} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2abd71073fd0c8b7f1cb2f4fa680bde72a05db)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {de\ l{\grave {a}}} \quad \mathrm {AA'^{2}+CC'^{2}} &=2\mathrm {BB'^{2}+2BC^{2}+2B'C'^{2}-4BC\times B'C'.\operatorname {Cos} .S} ,\\\mathrm {AA'^{2}-CC'^{2}} &=4\mathrm {BS\times BC-4BS\times B'C'.\operatorname {Cos} .S} ,\\&+4\mathrm {B'S\times B'C'-4B'S\times BC.\operatorname {Cos} .S} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab2545e90dcf2dec9ba62512d98eb73ab6a38dd)
La première de ces équations donne
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {S={\frac {2(BB'^{2}+BC^{2}+B'C'^{2})-(AA'^{2}+CC'^{2})}{AC\times A'C'}}~;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0f7d07cef251e29cc10dae50cc051a4dfc390d)
et de la seconde on tire
![{\displaystyle \mathrm {4BS(BC-B'C'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {S)+4B'S(B'C'-BC} .\operatorname {Cos} .\mathrm {S)=AA'^{2}-CC'^{2}.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087912ba28b4deefde14d609f78e87fc303e030d)
Partant, dans le triangle
, on connaît la base
, l’angle
au sommet, et la somme
des rectangles des deux côtés
et
par les quantités données
et
lesquelles quantités données reviennent respectivement à
![{\displaystyle \mathrm {{\tfrac {AA'^{2}+CC'^{2}-2BB'^{2}+2BC^{2}-2B'C'^{2}}{4BC}},\quad {\tfrac {AA'^{2}+CC'^{2}-2BB'^{2}-2BC^{2}+2B'C'^{2}}{4B'C'}}.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6448b5b8e2836dd3dc76ad2d5130aa6c958394)
Ainsi, le problème proposé, snr le quadrilatère, est ramené au problème suivant, sur un triangle : on demande un triangle
dont on connaît la base
, l’angle au sommet
, et la somme des rectangles des côtés
et
par des droites données ?
Solution analitique du même problème ;
Par M. Rochat, professeur de mathématiques et de
navigation à St-Brieux.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Soit le quadrilatère
(fig. 8), dont les milieux des côtés
et
sont respectivement
et
, et dans lequel on connaît
Soient pris
pour axe des
; et le point
pour origine ; et soient les coordonnées des sommets ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle {\text{pour B }}\left\{{\begin{aligned}&+m,\\&+n~;\\\end{aligned}}\right.{\text{ pour C }}\left\{{\begin{aligned}&-m,\\&-n~;\\\end{aligned}}\right.{\text{ pour D }}\left\{{\begin{aligned}&a-p,\\&+q~;\\\end{aligned}}\right.{\text{ pour E }}\left\{{\begin{aligned}&a+p,\\&-q~;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c669f3f8aa47603e82dd544dcff23093bb35393b)
les coordonnées des milieux respectifs
de
seront
![{\displaystyle {\text{pour G }}\left\{{\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}(a-p+m),\\&{\tfrac {1}{2}}(q+n)~;\\\end{aligned}}\right.{\text{ pour H }}\left\{{\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}(a+p-m),\\&-{\tfrac {1}{2}}(q+n)~;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a63a0834c29938ce24b7c4c9e16a91a08c0583b9)
soit fait enfin
; on aura les équations de condition
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{ll}4(m^{2}+n^{2})=b^{2}&,\qquad (a-p-m)^{2}+(q-n)^{2}=e,\\4(p^{2}+q^{2})=c^{2}&,\qquad (a+p+m)^{2}+(q-n)^{2}=d,\\\end{array}}\right.\quad (p-m)^{2}+(q+n)^{2}=\mathrm {Z} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a27f8b9585c4e12618c1b210196383795a1f2ab)
En traitant
et
comme inconnues dans celles de la seconde colonne, et quarrant il viendra
![{\displaystyle (p+m)^{2}=\left\{{\tfrac {d^{2}-e^{2}}{4a}}\right\}^{2},\quad (q-n)^{2}={\tfrac {8a^{2}(d^{2}+e^{2}-2a^{2})-(d^{2}-e^{2})^{2}}{16a^{2}}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbbb5463a071b0607adbb771415609e3bd716a5c)
ajoutant ces équations à l’équation en
, il viendra, en doublant et retranchant les équations de la première colonne,
![{\displaystyle 2\mathrm {Z} ^{2}+d^{2}+e^{2}=2a^{2}+b^{2}+c^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7979a8a3cd27f0b1be745f6228ac9ffda98e48be)
au moyen de quoi
peut être regardé comme connu.
Cela posé, les coordonnées des points
![{\displaystyle \mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ec92b986053ec4967f418634cf062b9d980f9a)
et
![{\displaystyle \mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26)
, milieux respectifs des diagonales
![{\displaystyle \mathrm {BE} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5c25bc90ad3e5989873028897f45a610c4e96e)
et
![{\displaystyle \mathrm {CD} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb611e32af4b802fd470829e3d5a45ae1b7fa959)
, sont
![{\displaystyle {\text{pour }}\mathrm {M} \left\{{\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}(a+p+m),\\&-{\tfrac {1}{2}}(q-n)~;\\\end{aligned}}\right.\qquad {\text{pour }}\mathrm {P} \left\{{\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}(a-p-m),\\&{\tfrac {1}{2}}(q-n)~;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3719b244a98b13d84fd4191aa613b5da009dce5)
d’où il suit que la droite
, passant par l’intersection
des droites
et
aura pour équation
![{\displaystyle y+{\tfrac {1}{2}}(q-n)=-{\tfrac {q-n}{p+m}}\left\{x-{\tfrac {1}{2}}(a+p+m)\right\}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d932aae5ef163dc932cce5f285458a8166e56d5c)
ainsi
forme avec
un angle dont la tangente tabulaire est
![{\displaystyle -{\tfrac {p-n}{q+m}}=-{\tfrac {\sqrt {8a^{2}(d^{2}+e^{2}-2a^{2})-(d^{2}-e^{2})^{2}}}{d^{2}-e^{2}}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846574d31d390674e3cbc857851f48b551091512)
on trouvera de même que
forme avec la même droite un angle dont la tangente est
![{\displaystyle -{\tfrac {\sqrt {8z^{2}(b^{2}+c^{2}-2z^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}}}{b^{2}-c^{2}}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53ade6001188f1c13702baf80f128ded0d56100)
l’angle formé par les droites
et
; angle qui est la somme ou la différence de ces deux-là, pourra donc être déterminé ; et, comme les grandeurs de ces droites sont connues, et que d’ailleurs leur intersection
est leur milieu commun, on aura tout ce qui sera nécessaire pour construire le quadrilatère demandé.
Cette analise s’applique également aux trois sortes de quadrilatères, et
les limites du problème sont données par celles de la réalité du radical[1].
Construction géométrique du même problème ;
Par M. Pilatte, professeur de mathématiques spéciales
au lycée d’Angers.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Problème. Construire un quadrilatère dans lequel on connaît les quatre côtés et la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés ?
Solution. Supposons que ce quadrilatère soit déjà construit et que ce soit le quadrilatère
(fig. 9) dans lequel, outre les quatre côtés, on connaît la droite
qui joint les milieux
des côtés opposés
Soient
les milieux des deux autres côtés
soient menées les diagonales
dont les milieux soient
en exécutant les constructions indiquées dans la figure, on aura[2]
![{\displaystyle \mathrm {EH=GF={\tfrac {1}{2}}AD,} \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/196efdc971015eb30c41f1650d8da900beb71c9a)
![{\displaystyle \mathrm {HF=EG={\tfrac {1}{2}}BC} ,\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1418f67c34557d4da8fb26e7c8cca744b5ef13e4)
![{\displaystyle \mathrm {KH=GI={\tfrac {1}{2}}AB,} \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05676f8d5a0cc5a6ef22640694c531ed973ed5b9)
le parallélogramme
dans lequel on connaît, outre les côtés, la diagonale
peut donc être construit ; sa construction fera connaître sa diagonale
laquelle est aussi diagonale du parallélogramme
dont on connaît, en outre, les côtés ; ce dernier parallélogramme peut donc aussi être construit, et conséquemment les points
et
peuvent être déterminés ; menant donc par
des droites respectivement parallèles à
ces droites, par leur rencontre, formeront le quadrilatère demandé.
Le parallélogramme
tournant autour de celle
de ses deux diagonales qui lui est commune avec le parallélogramme
peut prendre, par rapport à ce dernier, la situation
et, si l’on construit sur celui-ci, comme sur le premier, on formera un nouveau quadrilatère
qui, sans être égal au premier, remplira comme lui les conditions du problème.
Quant à l’impossibilité de ce problème, elle se manifestera par celle de la construction de l’un ou de l’autre des parallélogrammes
et
.