Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie, article 10

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Démonstrations du théorème énoncé à la page 32 de
ce volume.
Par MM. Raymond, Vecten, Lhuilier, Encontre,
Labrousse, Ferriot, Rochat, Fauquier et Ajasson
.
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Quelques-uns des géomètres qui se sont occupés de ce théorème, en ont donné, à la fois, des démonstrations analitiques et des démonstrations synthétiques ; d’autres se sont bornés à une démonstration de l’une ou de l’autre sorte ; enfin deux en ont donné des démonstrations mixtes, c’est-à-dire, partie analitique et partie synthétique.

M. Raymond, principal du collège de Chambery, a donné deux démonstrations purement analitiques ; et MM. Vecten, professeur de mathématiques spéciales au lycée de Nismes, Rochat, professeur de navigation à St.-Brieux, et Ajasson, élève du lycée d’Angers, en ont chacun donné une. Ces diverses démonstrations reviennent à peu près à ce qui suit.

L’équation d’une hyperbole équilatérale, rapportée à ses asymptotes prises pour axes, est de la forme

et, si et sont les coordonnées de l’une des extrémités d’un diamètre, et seront les coordonnées de son autre extrémité ; en sorte que, si par un point dont les coordonnées sont et , on mène des droites à ces deux-là, en désignant par et les tangentes tabulaires des angles que feront ces droites, d’un même côté, avec l’asymptote prise pour axe des , on aura

Mais comme on a

on a aussi

donc

et par conséquent

les angles formés d’un même côté avec l’asymptote par les deux droites, sont donc supplémens l’un de l’autre ; ces deux angles, pris de différens côtés, sont donc égaux.

Ainsi, Les droites qui vont d’un même point quelconque d’une hyperbole équilatérale aux deux extrémités d’un même diamètre transverse, sont également inclinées à l’une quelconque des asymptotes.

Passons actuellement aux démonstrations synthétiques. M. Raymond a déduit la sienne de ces deux propositions connues.

1.o Dans l’ellipse et dans l’hyperbole, les deux cordes supplémentaires qui répondent à un même diamètre, indiquent, par leur direction, un système de diamètres conjugués.

2.o Dans toute hyperbole, le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques, a ses diagonales dirigées suivant les asymptotes.

Il est évident en effet, par la première proposition, que les droites qui vont d’un point quelconque d’une hyperbole aux deux extrémités d’un même diamètre transverse, sont parallèles à deux autres diamètres conjugués l’un à l’autre ; ces droites sont donc, en vertu de la seconde proposition, parallèles aux droites qui joignent les milieux des côtés opposés d’un certain parallélogramme dont les diagonales se confondent avec les asymptotes de l’hyperbole ; si donc cette hyperbole est équilatérale, ce parallélogramme ayant ses diagonales rectangulaires devient un rhombe ; les droites qui joignent les milieux de ses côtés opposés sont donc également inclinées à une quelconque des diagonales, c’est-à-dire, à une même asymptote ; il en doit donc être de même de deux parallèles à ces droites.

Quoique la première des deux propositions sur lesquelles M. Raymond ; fondé sa démonstration se trouve démontrée dans divers ouvrages élémentaires, on verra sans doute ici avec plaisir la démonstration très-simple qu’il en donne lui-même, et qui peut également être appliquée à l’ellipse.

Soient (fig. 10) l’une des branches d’une hyperbole, son centre, l’un quelconque de ses diamètres transverses, et des droites menées aux deux extrémités de ce diamètre, d’un point quelconque de la courbe ; si, par le centre , on mène des parallèles à et , coupant ces droites en et parce que est le milieu de , sera le milieu de  ; le diamètre coupera donc en deux parties égales toutes les cordes parallèles à  ; son conjugué sera donc parallèle à cette corde, et sera par conséquent .

Voici présentement la démonstration de M. Lhuilier.

« Soit le centre d’une hyperbole équilatère (fig. 11). Soit un diamètre transverse de cette hyperbole, dont les extrémités soient et . Soit un point de cette hyperbole auquel soient menées les droites . Par soit menée une droite parallèle à l’une des asymptotes ; et, sur cette droite, soient abaissées les perpendiculaires . J’affirme que les angles sont égaux entre eux.

» Soit, en effet, menée par l’autre asymptote, qui rencontre en la droite  ; et sur , soient abaissées les perpendiculaires

» On a, par la propriété fondamentale de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes,

» de là

» ou, à cause de et de

» les deux triangles rectangles et sont donc semblables entre eux ; et, par suite, les angles et , sont égaux entre eux.

» Application. Soient deux points donnés de position, et soit une droite qui se meut parallèlement à elle-même dans un même plan passant par ces deux points. Dans chacune des positions de cette droite, soit déterminé, sur elle, le point dont la somme des distances aux points est la plus petite ; le lieu de ce point est une hyperbole équilatère dont est un diamètre transverse, et dont une asymptote est parallèle à .

» Ce point est aussi le point d’incidence des rayons qui, partant de l’un des points , sont réfléchis à l’autre point, par la droite  »

La démonstration de M. Encontre, Professeur doyen de la faculté des sciences de l’académie de Montpellier, suppose, outre le premier des deux principes employés par M. Raymond, les deux autres principes que voici ; 1.o la tangente à l’hyperbole, terminée aux asymptotes, a son point de contact à son milieu ; et elle est égale au conjugué du diamètre mené par ce point de contact ; 2.o deux diamètres conjugués quelconques d’une hyperbole équilatérale sont égaux entre eux.

Ces principes posés, soient (fig. 12) le centre d’une hyperbole équilatérale, un diamètre, , des droites joignant un point quelconque de la courbe aux extrémités de ce diamètre, et supposons que ces droites coupent l’une des asymptotes en et . Soit une tangente parallèle à , soient le point de contact de cette tangente et le point où elle coupe l’asymptote ; en menant le diamètre il aura pour conjugué le diamètre parallèle à ou  ; ce diamètre sera donc, par la propriété des cordes supplémentaires, parallèle à  ; les deux triangles et seront donc semblables ; mais, si l’hyperbole est équilatérale, on a , et conséquemment le premier de ces deux triangles est isocèle ; le second doit donc l’être aussi ; on doit donc avoir .

M. Encontre remarque de plus que, si l’on désigne par et les points où. et remontrent l’autre asymptote, on aura, par ce qui précède et par les propriétés générales de l’hyperbole,

,
,

retranchant la dernière équation de la somme des deux premières, il vient, en réduisant,

.

Les démonstrations synthétiques de MM. Vecten, professeur de mathématiques spéciales au lycée de Nismes, et Labrousse, maître de mathématiques dans la même ville, sont absolument les mêmes et reposent uniquement sur l’égalité des portions de sécantes interceptées entre les asymptotes et la courbe ; elles reviennent à peu près à ce qui suit.

Soient toujours (fig. 13) le centre de la courbe, et les asymptotes, un diamètre, deux droites joignant ses extrémités à un point quelconque de l’hyperbole ; la première de ces droites coupant les asymptotes en et , et la seconde en et .

Soit menée par une parallèle à terminée en à l’asymptote, et soit joint  ; à cause de l’égalité des triangles et et de , sera parallèle à , et conséquemment les triangles et seront semblables ; mais, parce que perpendiculaire à tombe sur son milieu, le premier de ces deux triangles est isocèle ; le dernier l’est donc aussi ; on a donc .

La démonstration donnée par M. Ferriot, principal du collège de Baume, est d’une forme particulière ; il démontre d’abord, comme il suit, que la proposition est vraie, dans le cas où le diamètre dont il s’agit est l’axe transverse lui-même.

Soient (fig. 14) le centre de l’hyperbole, son asymptote, son axe transverse, prolongé vers et les droites joignant les extrémités de cet axe à un point quelconque de la courbe, ces droites coupant l’asymptote en et  ; soit enfin une perpendiculaire à l’axe, coupant l’asymptote en .

Dans l’hyperbole équilatérale, deux diamètres conjugués, et conséquemment deux cordes supplémentaires, terminées au premier axe, font d’un même côté avec cet axe des angles complément l’un de l’autre ; ainsi est complément de , et, comme l’est aussi, il en résulte que ces deux angles sont égaux ; mais, d’un autre côté, les angles et valent l’un et l’autre un angle droit et demi ; donc les triangles et sont semblables. On a donc .

Cela posé, soit un plan arbitraire passant par , et soit projetée la figure sur ce plan ; sa projection sera toujours une hyperbole équilatérale, ayant encore pour asymptote, mais dont la projection de ne sera plus l’axe, mais un diamètre transverse, lequel pourra être quelconque, à cause de l’indétermination du plan conduit par  ; d’un autre côté, à cause de la situation arbitraire du point , les projections de et pourront, dans la nouvelle hyperbole, devenir des droites joignant un point quelconque de la courbe aux deux extrémités d’un diamètre transverse quelconque ; et, comme les projections des angles égaux et seront encore des angles égaux, il en résulte que la proposition aura encore lieu dans ce cas.

La démonstration mixte de M. Vecten, et celle de M. Fauquier élève du lycée de Nismes, consistent également à prouver d’abord, par l’analise, que les droites qui vont d’un point quelconque d’une hyperbole équilatérale aux deux extrémités d’un même diamètre transverse font, d’un même côté, avec le premier axe, des angles complément l’un de l’autre ; ce qui est évident, d’après ce qui précède, puisque ces droites sont respectivement parallèles à deux diamètres conjugués.

Cette proposition une fois établie, la proposition principale s’en déduit facilement.

Soient, en effet, (fig. 15) le centre d’une hyperbole équilatérale, la direction de son premier axe, celle du second, et ses deux asymptotes, un diamètre transverse quelconque, et des droites joignant les extrémités de ce diamètre à un point quelconque de la courbe, et les points où ces droites coupent le premier axe ; soient enfin et les intersections de avec les asymptotes, , celles de avec les mêmes droites, et l’intersection de avec .

Par ce qui précède, l’angle est complément de l’angle  ; il est donc égal à  ; mais et sont respectivement des angles extérieurs dans les triangles et , d’où il suit qu’on doit avoir

ou simplement, à cause de ,

et, comme les angles et sont les complémens respectifs de ces deux-là, ils doivent aussi être égaux.

M. Fauquier a déduit de cette proposition la conséquence que voici. Soient le centre (fig, 16) et les sommets d’une hyperbole équilatérale ; soient pris les arcs

soient joints les points à un point quelconque de la courbe par des droites coupant l’une des asymptotes en . Les points et , ainsi que les points et , se trouvant, par la construction, les extrémités d’un même diamètre, les triangles et seront semblables, par ce qui précède, comme ayant des angles égaux en et , et  ; on aura donc