Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie, article 22

Solutions de ce problème : À un polygone donné circonscrire un polygone de même nom, dont les angles soient respectivement égaux à des angles donnés, et dont l’aire ou le contour soit donné, par MM. Lhuilier, Pilatte et Rochat.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 2, 1812 (p. 318-324).

Solutions du problème de géométrie énoncé à la
page 224 de ce volume ;

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Énoncé. À un polygone donné circonscrire un polygone de même nom, dont les angles soient respectivement égaux à des angles donnés, et dont l’aire ou le contour soit donné ?

Première solution ;

Par M. Lhuilier, professeur de mathématiques à l’académie
impériale de Genève.

Comme le procédé que je vais développer, pour la solution de chacun des deux problèmes, est exactement le même, quel que soit le nombre des côtés (plus grand que trois, lequel cas donne lieu à une construction très-simple) du polygone proposé ; et que les opérations diffèrent seulement par leur longueur, et par le nombre des termes qui composent l’équation à laquelle ce procédé conduit ; je crois devoir me borner, par raison de brièveté, à le développer seulement pour un quadrilatère.

Soit $\mathrm {ABCD}$ (fig. 18) un quadrilatère proposé. On demande de lui circonscrire un quadrilatère $abcd$ dont les côtés $ab,bc,cd,da$ passent respectivement par les sommets $\mathrm {A,B,C,D,}$ du premier quadrilatère ; en connaissant les angles $a,b,c,d,$ et le contour ou la surface du quadrilatère $abcd.$

Que les angles du polygone donné soient désignés par $\mathrm {A,B,C,D,}$ respectivement. Que les angles donnés du polygone cherché soient désignés par $a,b,c,d.$ Que l’un des deux angles que forment, avec un côté du polygone cherché, les deux côtés du polygone donné dont le point de concours est sur celui-là ; que l’angle $a\mathrm {AB} ,$ par exemple, soit désigné par $x$ on peut exprimer dans cet angle et dans les angles des deux polygones, les inclinaisons mutuelles des autres côtés correspondans de ces deux polygones.

On trouve, en effet, successivement, l’angle droit étant pris pour unité,

${\begin{aligned}&a\mathrm {AB} =x,&&a\mathrm {BA} =2-(a+x),\\&b\mathrm {BC} =a-\mathrm {B} +x,&&b\mathrm {CB} =2-(a+b-\mathrm {B} +x),\\&c\mathrm {CD} =a-\mathrm {B} +b-\mathrm {C} +x,&&c\mathrm {DC} =2-(a+b+c-\mathrm {B-C} +x),\\&d\mathrm {DA} =a-\mathrm {B} +b-\mathrm {C} +c-\mathrm {D} +x,&&d\mathrm {AD} =2-(a+b+c+d-\mathrm {B-C-D} +x)\,;\\\end{aligned}}$

d’où résulte

${\begin{aligned}&\mathrm {A} a=\mathrm {AB} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .(a+x)}{\operatorname {Sin} .a}},&&a\mathrm {B=AB} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Sin} .a}},\\&\mathrm {B} b=\mathrm {BC} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .(a+b-\mathrm {B} +x)}{\operatorname {Sin} .b}},&&b\mathrm {C=BC} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .(a+b+x)}{\operatorname {Sin} .b}},\\&\mathrm {C} c=\mathrm {CD} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .(a+b+c-\mathrm {B-C} +x)}{\operatorname {Sin} .c}},&&c\mathrm {D=CD} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .(a+b-\mathrm {B-C} +x)}{\operatorname {Sin} .c}},\\&\mathrm {D} d=\mathrm {DA} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .(a+b+c+d-\mathrm {B-C-D} +x)}{\operatorname {Sin} .d}},&&d\mathrm {A=DA} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .(a+b+c-\mathrm {B-C-D} +x)}{\operatorname {Sin} .d}},\\\end{aligned}}$

PROBLÈME I. On donne le contour du polygone demandé.

D’après ce qui précède, on a

${\begin{aligned}\mathrm {A} a+a\mathrm {B} =&\mathrm {AB} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .x+\operatorname {Sin} .(a+x)}{\operatorname {Sin} .a}}\\\mathrm {B} b+b\mathrm {C} =&\mathrm {BC} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .(a-\mathrm {B} +x)+\operatorname {Sin} .(a+b-\mathrm {B} +x)}{\operatorname {Sin} .b}}\\\mathrm {C} c+c\mathrm {D} =&\mathrm {CD} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .(a+b-\mathrm {B-C} +x)+\operatorname {Sin} .(a+b+c-\mathrm {B-C} +x)}{\operatorname {Sin} .c}}\\\mathrm {D} d+d\mathrm {A} =&\mathrm {DA} .{\tfrac {\operatorname {Sin} .(a+b+c-\mathrm {B-C-D} +x)+\operatorname {Sin} .(a+b+c+d-\mathrm {B-C-D} +x)}{\operatorname {Sin} .d}}\,;\\\end{aligned}}$

prenant la somme de ces équations, en remarquant qu’en général

${\frac {\operatorname {Sin} .z+\operatorname {Sin} .(k+z)}{\operatorname {Sin} .k}}=\operatorname {Cosec} .{\tfrac {1}{2}}k.\operatorname {Sin} .\left({\tfrac {1}{2}}k+z\right),$

il viendra

$ab+bc+cd+da=\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {AB} .\operatorname {Cosec} .{\tfrac {1}{2}}a.\operatorname {Sin} .\left({\tfrac {1}{2}}a+x\right),\\+&\mathrm {BC} .\operatorname {Cosec} .{\tfrac {1}{2}}b.\operatorname {Sin} .\left(a+{\tfrac {1}{2}}b-\mathrm {B} +x\right),\\+&\mathrm {CD} .\operatorname {Cosec} .{\tfrac {1}{2}}c.\operatorname {Sin} .\left(a+b+{\tfrac {1}{2}}c-\mathrm {B-C} +x)\right),\\+&\mathrm {DA} .\operatorname {Cosec} .{\tfrac {1}{2}}d.\operatorname {Sin} .\left(a+b+c+{\tfrac {1}{2}}d-\mathrm {B-C-D} +x\right).\\\end{aligned}}\right.$

De là découle la construction suivante, fondée sur les propriétés du centre des moyennes distances :

Sur une droite $\mathrm {SE}$ (fig. 19), et en un de ses points $\mathrm {S,}$ soient faits les angles $\mathrm {ESA,ES} b,\mathrm {ES} c,\mathrm {ES} d,$ respectivement égaux aux angles ${\tfrac {1}{2}}a,\;a+{\tfrac {1}{2}}b,\;a+b+{\tfrac {1}{2}}c,\;a+b+c+{\tfrac {1}{2}}d,$ en tournant toujours dans le même sens.

Sur les droites $\mathrm {S} b,\mathrm {S} c,\mathrm {S} d,$ soient faits les angles $b\mathrm {SB} ,c\mathrm {SC} ,d\mathrm {SD}$ respectivement égaux aux angles $\mathrm {B,B+C,B+C+D,}$ en tournant toujours dans un même sens, opposé au premier.

Sur les droites $\mathrm {SA,SB,SC,SD,}$ soient prises des longueurs $\mathrm {SA,SB,SC,SD,}$ respectivement égales à $\mathrm {AB} .\operatorname {Cosec} .{\tfrac {1}{2}}a,\mathrm {BC} .\operatorname {Cosec} .{\tfrac {1}{2}}b,$$\mathrm {CD} .\operatorname {Cosec} .{\tfrac {1}{2}}c,\mathrm {DA} .\operatorname {Cosec} .{\tfrac {1}{2}}d$.

Soit cherché le centre $\mathrm {Z}$ des moyennes distances des extrémités $\mathrm {A,B,C,D}$ de ces droites. Du point $\mathrm {Z}$ comme centre, avec un rayon égal au quart du contour donné, soit décrit un cercle. Du point $\mathrm {S}$ soit menée (s’il y a lieu) une tangente à ce cercle. L’angle formé par cette tangente et par la droite $\mathrm {SE}$ est l’angle cherché $x.$

Remarque. Le contour donné ne doit pas être plus grand que le quadruple de $\mathrm {SZ.}$ Lorsque le quart du contour donné est plus petit que $\mathrm {SZ,}$ le problème proposé a deux solutions. Pour que ce problème soit déterminé, le centre $\mathrm {Z}$ doit être différent du point $\mathrm {S.}$

PROBLEME II. On donne la surface du polygone demandé.

D’après les formules ci-dessus et l’expression connue de la surface d’un triangle dans deux de ses côtés et l’angle qu’ils comprennent, on a

${\begin{aligned}&4\mathrm {A} a\mathrm {B} =2\mathrm {AB^{2}} \cdot {\tfrac {\operatorname {Sin} .x\cdot \operatorname {Sin} .(a+x)}{\operatorname {Sin} .a}},\\&4\mathrm {B} b\mathrm {C} =2\mathrm {BC^{2}} \cdot {\tfrac {\operatorname {Sin} .(a-\mathrm {B} +x)\cdot \operatorname {Sin} .(a+b-\mathrm {B} +x)}{\operatorname {Sin} .b}}\\&4\mathrm {C} c\mathrm {D} =2\mathrm {CD^{2}} \cdot {\tfrac {\operatorname {Sin} .(a+b-\mathrm {B-C} +x)\cdot \operatorname {Sin} .(a+b+c-\mathrm {B-C} +x)}{\operatorname {Sin} .c}}\\&4\mathrm {D} d\mathrm {A} =2\mathrm {DA^{2}} \cdot {\tfrac {\operatorname {Sin} .(a+b+c-\mathrm {B-C-D} +x)\cdot \operatorname {Sin} .(a+b+c+d-\mathrm {B-C-D} +x)}{\operatorname {Sin} .d}}\,;\\\end{aligned}}$

En ajoutant ces équations, membre à membre, ajoutant aux deux membres de l’équation résultante le quadruple de la surface du polygone $\mathrm {ABCD,}$ et remarquant qu’en géneral

${\tfrac {\operatorname {Sin} .z+\operatorname {Sin} .(k+z)}{\operatorname {Sin} .k}}={\tfrac {\operatorname {Cos} .k-\operatorname {Cos} .2\left({\tfrac {1}{2}}k+z\right)}{2\operatorname {Sin} .k}}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cot} .k-{\tfrac {\operatorname {Cos} .2\left({\tfrac {1}{2}}k+z\right)}{2\operatorname {Sin} .k}},$

il viendra

$4abcd=\left\{{\begin{aligned}&4\mathrm {ABCD+AB^{2}} .\operatorname {Cot} .a+\mathrm {BC^{2}} .\operatorname {Cot} .b+\mathrm {CD^{2}} .\operatorname {Cot} .c+\mathrm {DA^{2}} .\operatorname {Cot} .d\\-&\mathrm {AB^{2}} .\operatorname {Cosec} .a.\operatorname {Cos} .2\left({\tfrac {1}{2}}a+x\right)\\-&\mathrm {BC^{2}} .\operatorname {Cosec} .b.\operatorname {Cos} .2\left(a+{\tfrac {1}{2}}b-\mathrm {B} +x\right)\\-&\mathrm {CD^{2}} .\operatorname {Cosec} .c.\operatorname {Cos} .2\left(a+b+{\tfrac {1}{2}}c-\mathrm {B-C} +x\right)\\-&\mathrm {DA^{2}} .\operatorname {Cosec} .d.\operatorname {Cos} .2\left(a+b+c+{\tfrac {1}{2}}d-\mathrm {B-C-D} +x\right)\\\end{aligned}}\right.$

De là découle la construction suivante, fondée aussi sur les propriétés du centre des moyennes distances.

Sur une droite $\mathrm {SE}$ (fig.20}, et en un de ses points $\mathrm {S,}$ soient faits les angles $\mathrm {ESA,ES} b,\mathrm {ES} c,\mathrm {ES} d,$ respectivement égaux aux angles $2{\tfrac {1}{2}}a,\;2\left(a+{\tfrac {1}{2}}b\right),$$\;2\left(a+b+{\tfrac {1}{2}}c\right),\;2\left(a+b+c+{\tfrac {1}{2}}d\right),$ en tournant toujours dans le même sens.

Sur les droites $\mathrm {S} b,\mathrm {S} c,\mathrm {S} d,$ soient faits les angles $b\mathrm {SB} ,c\mathrm {SC} ,d\mathrm {SD}$, respectivement égaux aux angles $\mathrm {2B,2(B+C),2(B+C+D),}$ en tournant toujours dans un même sens, contraire au premier.

Du quadruple de l’excès de la surface du polygone cherché sur celle du polygone donné soit retranchée la somme $\mathrm {AB^{2}} .\operatorname {Cot} .a+\mathrm {BC^{2}} .\operatorname {Cot} .b+$$\mathrm {CD^{2}} .\operatorname {Cot} .c+\mathrm {DA^{2}} .\operatorname {Cot} .d,$ et soit le reste égal au rectangle de deux droites $l$ et $m.$

Que les carrés des côtés donnés $\mathrm {AB,BC,CD,DA,}$ soient convertis en rectangles ayant, pour un de leurs côtés, une des deux droites, telle que $m.$ Que les autres côtés de ces rectangles soient $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ respectivement.

Sur les droites $\mathrm {SA,SB,SC,SD,}$ soient portées, depuis le point $S,$ des longueurs respectivement égales à $\alpha \operatorname {Cosec} .a,\;\beta \operatorname {Cosec} .b,\;\gamma \operatorname {Cosec} .c,$$\delta \operatorname {Cosec} .d,$ que ces longueurs soient $\mathrm {SA,SB,SC,SD.}$

Soit cherché le centre $\mathrm {Z}$ des moyennes distances des points $\mathrm {A,B,C,D}$ ; et du point $\mathrm {Z}$ comme centre, avec un rayon égal à ${\tfrac {1}{4}}l$ soit décrite une circonférence de cercle.

Du point $\mathrm {S}$ soit menée, (s’il y a lieu) une tangente à cette circonférence ; et du même point $\mathrm {S}$ soit menée à cette tangente une perpendiculaire. L’angle formé par cette perpendiculaire et par la droite $\mathrm {SA}$ sera le double de l’angle cherche $x.$

Remarque. On tire de cette construction, relativement à ce second problème, des conséquences analogues à celles qu’on a déduites de la construction du premier.

Deuxième solution ;

Par M. Pilatte, professeur de mathématiques spéciales
au lycée d’Angers.

Par un calcul tout semblable à celui de M. Lhuilier y mais moins développé, attendu qu’il n’a pour objet que de faire connaître la forme des résultats qu’on doit en déduire ; et en prenant d’ailleurs la même inconnue ; M. Pilatte prouve que, quel que soit d’ailleurs le nombre des côtés des deux polygones, en désignant par $c$ le contour du polygone à construire et par $e$ l’excès de son aire sur celle du polygone donné, on aura, savoir : pour le premier problème

$p\operatorname {Sin} .x+q\operatorname {Cos} .x=c,\qquad \mathrm {(I)}$

et pour le second

$p\operatorname {Sin} .2x+q\operatorname {Cos} .2x+r=e,\qquad \mathrm {(II)}$

$p,q,r$ étant des constantes, fonctions des données du problème, et qui peuvent être déterminées d’une multitude de manières différentes.

Pour les déterminer de la manière la plus simple, M. Pilatte suppose, pour le premier problème, que l’on a circonscrit au polygone donné deux polygones équiangles avec le polygone cherché ; mais dans lesquels on prend, savoir, pour le premier $x=0$ et pour le second $x=100^{\circ }$ ; désignant par $c'$ et $c''$ respectivement les contours de ces deux polygones, il obtient

$q=c'\qquad p=c''$

ce qui réduit l’équation $\mathrm {(I)}$ à celle-ci.

$c''\operatorname {Sin} .x+c'\operatorname {Cos} .x=c.\qquad \mathrm {(A)}$

qui, combinée avec $\operatorname {Sin} .^{2}x+\operatorname {Cos} .^{2}x=1,$ donnera les deux valeurs soit de $\operatorname {Sin} .x$ soit de $\operatorname {Cos} .x.$

Pour le second problème, M. Pilatte suppose que l’on a circonscrit au polygone donné trois polygones équiangles avec le polygone cherché^[1] ; mais dans lesquels on prend successivement $x=0,x=50^{\circ },$$x=100^{\circ }$ ; désignant respectivement par $e',e'',e''',$ l’excès de l’aire de chacun de ces polygones sur l’aire du polygone donné, il obtient

$q+r=e',\quad p+r=e'',\quad r-q=e''',$

d’où$\qquad p=e''-{\tfrac {1}{2}}(e'+e'''),\;q={\tfrac {1}{2}}(e'-e'''),\;r={\tfrac {1}{2}}(e'+e''')\,;$

en conséquence, l’équation $\mathrm {(II)}$ devient

$(2e''-e'-e''')\operatorname {Sin} .2x+(e'-e''')\operatorname {Cos} .2x=2e-e'-e'''.\qquad \mathrm {(B)}$

qui combinée avec $\operatorname {Sin} .^{2}2x+\operatorname {Cos} .^{2}2x=1,$ donnera les deux valeurs soit de $\operatorname {Sin} .2x$ soit de $\operatorname {Cos} .2x$ d’où on conclura ensuite celles de $x.$

On peut consulter, au surplus, sur la résolution des équations $\mathrm {(A)}$ et $\mathrm {(B)}$, la page 85 de ce volume.

Troisième solution ;

Par M. Rochat, professeur de navigation à St-Brieux.

La marche de la solution de M. Rochat ne diffère en rien de celle de MM. Pilatte et Lhuilier ; elle le conduit aux deux mêmes équations en $x$ qu’il ne construit pas.

1. Il est entendu qu’ici le mot circonscrit doit être pris dans le sens le plus général.