Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie, article 23

Relation entre le dodécaèdre et l’icosaèdre réguliers, inscrits à une même sphère ; par M. Flaugergues.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 2, 1812 (p. 357-360).

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

Relation entre le dodécaèdre et l’icosaèdre réguliers
inscrits à une même sphère ;

Par M. Flaugergues, astronome, correspondant de la
première classe de l’institut.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Théorème. Soit $\mathrm {AB}$ (fig. 1) une ligne coupée en moyenne et extrême raison au point $\mathrm {C}$ ($\mathrm {AC}$ étant la médiane). Je dis que l’angle solide du dodécaèdre est à l’angle solide de l’icosaèdre^[1] comme $\mathrm {\left({\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}$ est à $\mathrm {15.{\overline {AB}}^{4}\left({\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$ ; ces deux corps étant supposés inscriptibles à la même sphère^[2].

Démonstration I. Imaginons (fig. 2) trois pyramides dont le sommet commun soit au centre $\mathrm {D}$ de la sphère, qui aient pour bases trois faces contiguës à un angle solide du dodécaèdre inscrit, et qui soient par conséquent égales au quart de ce solide. Ayant tiré les lignes $\mathrm {FE,EG,GF,}$ imaginons des plans qui passent par ces lignes et par le centre $\mathrm {D}$ ; on aura trois pyramides triangulaires, et chacune de ces pyramides étant à la pyramide pentagonale comme le triangle $\mathrm {EHF}$ est au pentagone $\mathrm {FHEIK,}$ le solide formé par ces trois pyramides réunies, et qui est composé de deux pyramides opposées qui ont pour base commune le triangle $\mathrm {FEG,}$ et dont les axes sont sur le rayon $\mathrm {DH}$ perpendiculaire à cette base, est au quart du dodécaèdre dans la même raison.

Cela posé, nommons, la surface du pentagone $\mathrm {FHEIK}$ ; nommons $\mathrm {S}$ la solidité de la pyramide ou de l’angle solide $\mathrm {HGEF}$ ; nommons, la solidité de la pyramide $\mathrm {DGEF}$ ; nommons enfin $\mathrm {D}$ la solidité du dodécaèdre et $a$ le diamètre de la sphère circonscrite. Du centre $\mathrm {L}$ du pentagone $\mathrm {FHEIK}$ ayant tiré les rayons $\mathrm {LE,LF,LH,}$ le dernier coupant $\mathrm {EF}$ en $\mathrm {M,}$ on aura

$\mathrm {LM:MH::ELF:EHF\;;}$

donc, componendo

$\mathrm {LH:MH::LEHF(=\vdash ^{2}P):EHF={\frac {2MH}{5LH}}\cdot P\;;}$

mais, par la propriété du cercle,

$\mathrm {{\frac {..}{..}}2HL:HE:HM={\frac {{\overline {HE}}^{2}}{2LH}}\;;}$

donc

$\mathrm {EHF={\frac {{\overline {HE}}^{2}}{5{\overline {LH}}^{2}}}\cdot P\;;}$

puis donc que

$\mathrm {HEIKF:EHF::{\tfrac {1}{4}}D:S+s}$ :

on aura

$\mathrm {P:{\frac {{\overline {HE}}^{2}}{5{\overline {LH}}^{2}}}\cdot P::{\tfrac {1}{4}}D:S+s={\frac {{\overline {HE}}^{2}}{20{\overline {LH}}^{2}}}\cdot D.}$

Soit présentement abaissée du point $\mathrm {E,}$ dans le plan $\mathrm {FGE,}$ la perpendiculaire $\mathrm {EN}$ sur $\mathrm {DH}$ ; puisque la ligne $\mathrm {HE}$ est inscrite à la sphère, on aura

$\mathrm {{\frac {..}{..}}a:HE:HN={\frac {{\overline {HE}}^{2}}{a}}\;;}$

de plus

$\mathrm {DN:HN::s:S\;;}$

donc componendo

$\mathrm {DH\left(={\tfrac {1}{2}}a\right):HN\left(={\tfrac {{\overline {HE}}^{2}}{a}}\right)::S+s\left(={\tfrac {{\overline {HE}}^{2}}{20{\overline {LH}}^{2}}}\cdot D\right):S={\tfrac {{\overline {HE}}^{4}}{10a^{2}\cdot {\overline {LH}}^{2}}}\cdot D.}$

II. Imaginons (fig. 3) cinq pyramides qui aient leur sommet commun au centre $\mathrm {D'}$ de la sphère, pour bases les faces contiguës de l’icosaèdre inscrit, et qui soient par conséquent égales au quart de ce solide. Ces pyramides formeront, par leur réunion un solide $\mathrm {TOPQRSD'}$ composé de deux pyramides opposées qui ont pour base commune le pentagone $\mathrm {OPQRS,}$ et dont les axes sont sur le rayon $\mathrm {D'T}$ perpendiculaire à cette base.

Cela posé, nommons $\mathrm {I}$ la solidité de l’icosaèdre, $\mathrm {S'}$ celle de la pyramide ou de l’angle solide $\mathrm {TOPQRS,}$ et $s'$ celle de la pyramide $\mathrm {D'OPQRS}$ ; ayant tiré, dans le plan $\mathrm {OPQRS,}$ la perpendiculaire $\mathrm {OV}$ sur $\mathrm {D'T,}$ et désignant toujours par $a$ le diamètre de la sphère ; la corde inscrite $\mathrm {TO}$ donnera

$\mathrm {{\frac {..}{..}}a:OT:TV={\frac {{\overline {OT}}^{2}}{a}},}$

mais on a

$\mathrm {D'V:VT::s':S',}$

d’où, componendo

$\mathrm {D'T\left(={\tfrac {1}{2}}a\right):VT\left(={\frac {{\overline {OT}}^{2}}{a}}\right)::(S'+s')\left(={\tfrac {1}{4}}I\right):S'={\frac {{\overline {OT}}^{2}}{2a^{2}}}\cdot I.}$

III. On a donc

$\mathrm {S:S'::{\frac {{\overline {HE}}^{4}}{10a^{2}\cdot {\overline {LH}}^{2}}}\cdot D:{\frac {{\overline {OT}}^{2}}{2a^{2}}}\cdot I\;;}$

c’est-à-dire,

$\mathrm {S:S'::{\overline {HE}}^{4}\times D:5{\overline {LH}}^{2}\times {\overline {OT}}^{2}\times I\;;}$

mais 1.^o (Euclide XIV. 7 et XIII. 18)

$\mathrm {D:I::{\sqrt {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}}}:{\sqrt {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}}}\;;}$

2.^o (Euclide XIII, 12)

$\mathrm {I:{\overline {OT}}^{2}::I:3{\overline {LH}}^{2}\;;}$

3.^o (Euclide XIII. 9. 10 et XIV. 11)

$\mathrm {{\overline {HE}}^{4}:{\overline {LH}}^{4}::\left({\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}\right)^{2}:{\overline {AB}}^{4}\;;}$

multipliant toutes ces proportions par ordre, et simplifiant, il viendra

$\mathrm {S:S'::\left({\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}\right)^{\frac {5}{2}}:15{\overline {AB}}^{4}\left({\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$

$\mathrm {C.Q.F.D.}$^[3]

1. L’auteur entend ici par angle solide d’un polyèdre régulier, la portion de ce polyèdre détachée par un plan passant par les extrémités de celles de ses arêtes qui concourent à un même sommet ; portion qui est conséquemment une pyramide régulière.
2. Si l’on prend $\mathrm {AB}$ pour unité on aura $\mathrm {AC} ={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right),$$\mathrm {BC} ={\frac {1}{2}}\left(3-{\sqrt {5}}\right)\,;$ et la proposition de M. Flaugergues revendra à dire que l’angle solide du dodécaèdre est à l’angle solide de l’icosaèdre comme ${\sqrt {2^{5}-11{\sqrt {5}}}}$ est à $3{\sqrt {3\left(3-{\sqrt {5}}\right)}}.$
   (Note des éditeurs.)
3. En suivant la marche tracée par M. Flaugergues, on démontrera que l’angle solide du cube est à l’angle solide de l’octaèdre comme le côté d’un triangle équilatéral est au triple de sa hauteur, c’est-à-dire, comme $2$ est à $3{\sqrt {3}}.$