GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.
Relation entre le dodécaèdre et l’icosaèdre réguliers
inscrits à une même sphère ;
Par M. Flaugergues, astronome, correspondant de la
première classe de l’institut.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Théorème. Soit
(fig. 1) une ligne coupée en moyenne et extrême raison au point
(
étant la médiane). Je dis que l’angle solide du dodécaèdre est à l’angle solide de l’icosaèdre[1] comme
est à
; ces deux corps étant supposés inscriptibles à la même sphère[2].
Démonstration I. Imaginons (fig. 2) trois pyramides dont le sommet commun soit au centre
de la sphère, qui aient pour bases trois faces contiguës à un angle solide du dodécaèdre inscrit, et qui soient par conséquent égales au quart de ce solide. Ayant tiré les lignes
imaginons des plans qui passent par
ces lignes et par le centre
; on aura trois pyramides triangulaires,
et chacune de ces pyramides étant à la pyramide pentagonale comme
le triangle
est au pentagone
le solide formé par
ces trois pyramides réunies, et qui est composé de deux pyramides
opposées qui ont pour base commune le triangle
et dont les
axes sont sur le rayon
perpendiculaire à cette base, est au quart
du dodécaèdre dans la même raison.
Cela posé, nommons, la surface du pentagone
; nommons
la solidité de la pyramide ou de l’angle solide
;
nommons, la solidité de la pyramide
; nommons enfin
la solidité du dodécaèdre et
le diamètre de la sphère circonscrite.
Du centre
du pentagone
ayant tiré les rayons
le dernier coupant
en
on aura
![{\displaystyle \mathrm {LM:MH::ELF:EHF\;;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c89c81432bcdc7dce97dedac78260003a179fa0)
donc, componendo
![{\displaystyle \mathrm {LH:MH::LEHF(=\vdash ^{2}P):EHF={\frac {2MH}{5LH}}\cdot P\;;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f295cd22586958904e73de8cbcabd9b50e1d1ca5)
mais, par la propriété du cercle,
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {..}{..}}2HL:HE:HM={\frac {{\overline {HE}}^{2}}{2LH}}\;;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55a5b7047a0b21166b9de2d24e9620ad9b0bcf6)
donc
![{\displaystyle \mathrm {EHF={\frac {{\overline {HE}}^{2}}{5{\overline {LH}}^{2}}}\cdot P\;;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62fe1015c9e26b01dda7e3144a2d2936c9bf966b)
puis donc que
![{\displaystyle \mathrm {HEIKF:EHF::{\tfrac {1}{4}}D:S+s} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72eb99fe7fe72659f6a9b0a08dbdcfbf8aa8860d)
:
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P:{\frac {{\overline {HE}}^{2}}{5{\overline {LH}}^{2}}}\cdot P::{\tfrac {1}{4}}D:S+s={\frac {{\overline {HE}}^{2}}{20{\overline {LH}}^{2}}}\cdot D.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21c2ec1bc0507d3abace25a293bbf66b1b3e94f)
Soit présentement abaissée du point
dans le plan
la
perpendiculaire
sur
; puisque la ligne
est inscrite à
la sphère, on aura
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {..}{..}}a:HE:HN={\frac {{\overline {HE}}^{2}}{a}}\;;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb67293adeb4349bc7315006cefa2503b7108e6)
de plus
![{\displaystyle \mathrm {DN:HN::s:S\;;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b627a45ed3a4d2cd0c980d13bc12ad181c196393)
donc componendo
![{\displaystyle \mathrm {DH\left(={\tfrac {1}{2}}a\right):HN\left(={\tfrac {{\overline {HE}}^{2}}{a}}\right)::S+s\left(={\tfrac {{\overline {HE}}^{2}}{20{\overline {LH}}^{2}}}\cdot D\right):S={\tfrac {{\overline {HE}}^{4}}{10a^{2}\cdot {\overline {LH}}^{2}}}\cdot D.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0fea2ca8df96c4e9827c2d5c7df037194d2588e)
II. Imaginons (fig. 3) cinq pyramides qui aient leur sommet
commun au centre
de la sphère, pour bases les faces contiguës
de l’icosaèdre inscrit, et qui soient par conséquent égales au quart
de ce solide. Ces pyramides formeront, par leur réunion un solide
composé de deux pyramides opposées qui ont pour
base commune le pentagone
et dont les axes sont sur le
rayon
perpendiculaire à cette base.
Cela posé, nommons
la solidité de l’icosaèdre,
celle de la
pyramide ou de l’angle solide
et
celle de la pyramide
; ayant tiré, dans le plan
la perpendiculaire
sur
et désignant toujours par
le diamètre de la sphère ; la
corde inscrite
donnera
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {..}{..}}a:OT:TV={\frac {{\overline {OT}}^{2}}{a}},} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83feb55e158a446cc1c5621abaa1f321dcc51a0)
mais on a
d’où, componendo
![{\displaystyle \mathrm {D'T\left(={\tfrac {1}{2}}a\right):VT\left(={\frac {{\overline {OT}}^{2}}{a}}\right)::(S'+s')\left(={\tfrac {1}{4}}I\right):S'={\frac {{\overline {OT}}^{2}}{2a^{2}}}\cdot I.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e174dfbcc7a26a6ad03236d4bb5b3faec86f095)
III. On a donc
![{\displaystyle \mathrm {S:S'::{\frac {{\overline {HE}}^{4}}{10a^{2}\cdot {\overline {LH}}^{2}}}\cdot D:{\frac {{\overline {OT}}^{2}}{2a^{2}}}\cdot I\;;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/956029db8939342fec610f1e7cbf1fe192db5d96)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \mathrm {S:S'::{\overline {HE}}^{4}\times D:5{\overline {LH}}^{2}\times {\overline {OT}}^{2}\times I\;;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06037635b5dc4de063030ce080f37a9ff1e12b03)
mais 1.o (Euclide XIV. 7 et XIII. 18)
2.o (Euclide XIII, 12)
3.o (Euclide XIII. 9. 10 et XIV. 11)
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {HE}}^{4}:{\overline {LH}}^{4}::\left({\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}\right)^{2}:{\overline {AB}}^{4}\;;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39164c75554dabd5dff0284fc19e2d2705cbb26)
multipliant toutes ces proportions par ordre, et simplifiant, il viendra
![{\displaystyle \mathrm {S:S'::\left({\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}\right)^{\frac {5}{2}}:15{\overline {AB}}^{4}\left({\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa1cbbc10282d167bf946c35d9601c60accbf90)
[3]