ASTRONOMIE.
Formules pour la détermination de l’obliquité de
l’écliptique, et du lieu de l’équinoxe ;
Par M. Gergonne.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Soient
deux ascensions droites du centre du soleil rapportées à une même étoile quelconque, et soient
les ascensions droites du même astre comptées depuis l’équinoxe ; soient
et
les déclinaisons correspondantes prises avec leurs signes, et soit enfin
l’obliquité de l’écliptique. On aura, par la théorie des triangles sphériques rectangles,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .a\operatorname {Tang} .\omega =\operatorname {Tang} .\delta ,\quad \operatorname {Sin} .a'\operatorname {Tang} .\omega =\operatorname {Tang} .\delta '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038a66517e1240fdcc619abb255e625a48649d51)
on aura de plus
![{\displaystyle a'-a=\alpha '-\alpha ,{\text{ d’où }}a'=a+(\alpha '-\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11113524d1865064ee921549bb975069bea0d631)
et conséquemment
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .a'=\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .(\alpha '-\alpha )+\operatorname {Cos} .a\operatorname {Sin} .(\alpha '-\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28cc3f80bbccfcde3ca6ee57a2b9508b4f02dd9)
substituant, dans cette équation, pour
et
les valeurs que donnent les deux premières, elle deviendra, en transposant,
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\omega \operatorname {Sin} .(\alpha '-\alpha )\operatorname {Cos} .a=\operatorname {Tang} .\delta '-\operatorname {Tang} .\delta \operatorname {Cos} .(\alpha '-\alpha )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe421a089f57ee644db3016897066518d19dc12)
mais la première des équations ci-dessus étant multipliée par
devient
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\omega \operatorname {Sin} .(\alpha '-\alpha )\operatorname {Sin} .a=\operatorname {Tang} .\delta \operatorname {Sin} .(\alpha '-\alpha )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f8b791d64d11ebfff4c323943248fdebe8d45c)
ajoutant donc les quarrés de ces deux équations, et ayant égard à ce que
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}a+\operatorname {Cos} .^{2}a=1,\quad \operatorname {Sin} .^{2}(\alpha '-\alpha )+\operatorname {Cos} .^{2}(\alpha '-\alpha )=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb4ddbce6a3455c85e72f93f00a445d4b5ce136)
on en tirera
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\omega ={\frac {\sqrt {\operatorname {Tang} .^{2}\delta '-2\operatorname {Tang} .\delta .\operatorname {Tang} .\delta '\operatorname {Cos} .(\alpha '-\alpha )+\operatorname {Tang} .^{2}\delta '}}{\operatorname {Sin} .(\alpha '-\alpha )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ae5fd4c5a9855675253b4ca0422b71db820832)
On calculera aisément le numérateur de cette valeur en considérant que c’est un côté d’un triangle rectiligne dont les deux autres sont
et
et dont l’angle compris entre eux est
Mais, quelque symétrique que soit cette formule, on préférera sans doute, pour le calcul par logarithmes, le procédé que voici : on posera d’abord
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(\delta '+\delta )}{\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\delta '-\delta )}}\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha '-\alpha )=\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}(\theta '+\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9489c604a2275b8ffe2ca6453017ec2184051ab7)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\delta '+\delta )}{\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(\delta '-\delta )}}\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha '-\alpha )=\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}(\theta '-\theta )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62feb4d4fcee14477c2149be71fe31e8433508ec)
par ces formules on déterminera les angles auxiliaires
et l’on aura ensuite
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\omega =\operatorname {Cos} .\delta '\operatorname {Sin} .\theta '=\operatorname {Cos} .\delta \operatorname {Sin} .\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7456f565e7c38497e578a87f5f13f85d8987a38e)
L’obliquité de l’écliptique se trouvant ainsi déterminée, on déterminera
la position de l’équinoxe par l’une ou l’autre des deux équations
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .a=\operatorname {Tang} .\delta \operatorname {Cot} .\omega ,\quad \operatorname {Sin} .a'=\operatorname {Tang} .\delta '\operatorname {Cot} .\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff697b87c79e3db04310307d84bffc080aa1e17)
Si l’on a le choix entre plusieurs observations, et qu’on ne
veuille en employer que deux, il faudra les choisir de préférence,
de manière qu’elles ne soient pas trop rapprochées soit entre elles, soit
des solstices, et qu’elles ne comprennent pas un solstice entre elles.
Le mieux sera peut-être de les prendre à environ six semaines avant
et après l’équinoxe.
Mais, dans le cas où l’on aura plus de deux observations, il sera
plus convenable de les combiner deux à deux de toutes les manières
différentes :
observations donneront ainsi
résultats desquels
on pourra déduire un résultat moyen très-approché. On pourra aussi
de cette manière suivre, pendant un long temps, toutes les variations que l’obliquité de l’écliptique pourra éprouver.
J’ai été toujours surpris que des méthodes si simples n’aient été
consignées jusqu’ici dans aucun traité d’astronomie[1]. Il peut bien
se faire qu’elles présentent quelques inconvéniens dans l’application ;
mais, comme elles s’offrent, pour ainsi dire, d’elles-mêmes à la pensée,
il serait du devoir des astronomes de nous expliquer les motifs qui
les déterminent à les rejeter.