GÉOMÉTRIE.
Solution d’un problème de géométrie, dépendant de la
théorie des maximis et minimis ;
Par M. Lhuilier, professeur de mathématiques à l’académie
impériale de Genève.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Problème. Par un point donné de position, dans un angle connu, faire passer une droite de manière que sa partie interceptée entre les côtés de l’angle soit la moindre possible ?[1]
Soit
, (fig. 1) un angle donné, et soit, un point donné entre les côtés de cet angle ; il s’agit de mener, par ce point
, une droite dont la partie interceptée dans l’angle
, soit la moindre possible.
Solution. Soient
et
deux droites égales inscrites dans l’angle
, et passant par
. De ce point comme centre, avec les rayons
et
soient décrits deux arcs de cercle
et
compris dans les angles
et
Puisque
,
on doit avoir ![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \mathrm {X} z=\mathrm {Z'} x'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a337d0dc517855a21bc2c767f3d515cd7732af38)
Or,
,
,
![{\displaystyle \operatorname {Lim} .\mathrm {X} 'x':\mathrm {Z} 'x'=\operatorname {Tang} .\mathrm {X} ':1~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b24548767624b2e0bc3aea9478d358a439ecb9)
donc
![{\displaystyle \qquad \qquad \operatorname {Lim} .\mathrm {X} z:\mathrm {Z} 'x'=\mathrm {PX} \cdot \operatorname {Tang} .\mathrm {X} ':\mathrm {PX} '\cdot \operatorname {Tang} .\mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1084ea672f06500c6c898d536d321631a958fca9)
Donc, lorsque
est la plus petite, on doit avoir
![{\displaystyle \mathrm {PX} .\operatorname {Tang} .\mathrm {X} '=\mathrm {PX} '.\operatorname {Tang} .\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772772a653979d1032737ca05a286e72cff10636)
d’où
![{\displaystyle \qquad \qquad \mathrm {PX} :\mathrm {PX} '=\operatorname {Tang} .\mathrm {X} :\operatorname {Tang} .\mathrm {X} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa910d3859b4a1b065f08c7a09b9996789078378)
Par
soient menées à
et
des parallèles rencontrant ces droites en
et
; et, par le même point soient menées aux mêmes droites des perpendiculaires les rencontrant en
et
; on aura
![{\displaystyle \mathrm {PX} :\mathrm {PX} '::\mathrm {BX} :\mathrm {PB} '::\mathrm {BX} :\mathrm {CB} ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b126272beae98813e47e52d9f8baf4c8c80e6a)
donc
![{\displaystyle \qquad \qquad \mathrm {BX} :\mathrm {CB} ::\operatorname {Tang} .\mathrm {X} :\operatorname {Tang} .\mathrm {X} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8afa99ca8afe1c1cb7053a40d70ff51b4f4ef3a6)
Premier cas. Que l’angle
soit droit, on aura
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\mathrm {X} '=\operatorname {Cot} .\mathrm {X} \qquad et\qquad \mathrm {BX} =\mathrm {BP} \operatorname {Cot} .\mathrm {X} ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a0c95a2c0f33662fccc1025fec382877b0ce5f)
donc
![{\displaystyle \qquad \qquad \mathrm {BP} \operatorname {Cot} .\mathrm {X} :\mathrm {CB} =\operatorname {Tang} .\mathrm {X} :\operatorname {Cot} .\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a4e3d136426d83aa9c90a4e3f1acc1767fcbd4)
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {CB} }{\mathrm {BP} }}={\frac {\operatorname {Cot} .^{2}\mathrm {X} }{\operatorname {Tang} .\mathrm {X} }}=\operatorname {Cot} .^{3}\mathrm {X} ={\frac {\mathrm {BX} ^{3}}{\mathrm {BP} ^{3}}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301354cae63f261d41d268a13090d2729aaab03a)
donc
![{\displaystyle \mathrm {BX} ^{3}=\mathrm {CB} \cdot \mathrm {BP} ^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56d3ab5c62e410d8a0c5d8c3acb29925f546551)
on aura de même
![{\displaystyle \mathrm {B} '\mathrm {X} '^{3}=\mathrm {CB} '\cdot \mathrm {B} '\mathrm {P} ^{2}=\mathrm {BP} \cdot \mathrm {CB} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0ce5fd9ec374c0481b00969d0e6d4d0228789f)
Le problème sera donc résolu puisque
et
seront donnés en fonctions de quantités connues, et on voit qu’il n’aura alors qu’une solution.
Deuxième cas. Que l’angle
ne soit pas droit. On parvient à une
équation du troisième degré[2], soit qu’on prenne pour inconnue la
distance du point
à quelque point donné sur
, soit qu’on prenne
pour inconnues les tangentes des angles
ou
.
Je vais, par exemple, chercher la position du point
, par sa
distance à quelque point donné sur
, et construire l’équation correspondante.
On a, comme il vient d’être prouvé ci-dessus,
![{\displaystyle \mathrm {BX:CB=\operatorname {Cot} .X':\operatorname {Cot} .X~;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95214646fe73b4bb3d58f80b4b50c279d0e05045)
or,![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \mathrm {\operatorname {Cot} .X={\frac {DX}{PD}},\qquad \operatorname {Cot} .X'={\frac {D'X'}{PD'}}~;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004f70db6be675ddd54aa1a30c9a731ce290e541)
donc
[3]
et conséquemment
[4]
donc
![{\displaystyle \mathrm {BX:PB=B'D'\times EX:BX\times DX,} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04471ce2df9d89223b290b71938e2cb89c90c70a)
ou![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \mathrm {BX^{2}:PB\times B'D'=EX:DX=EX\times DX:DX^{2},} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b98524740caa624c309d0be2af44ba16a23844e)
ou enfin
[5].
Sur
comme diamètre, soit décrit un cercle, et du point
soit
élevée à
une perpendiculaire rencontrant en
la circonférence de ce cercle ; on aura
substituant donc dans la proportion ci-dessus, elle deviendra
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \mathrm {BX^{2}:\ CB\times BD=XV^{2}:DX^{2},} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/320047f18c6699c6bbc17bf22e0be2e3079751d7)
ou![{\displaystyle \quad \qquad \qquad \mathrm {BX:\ {\sqrt {CB\times BD}}=XV:DX,} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a41daad5d5354c9044b342223d97cbfd30bbc1)
d’où![{\displaystyle \qquad \qquad \ \ \mathrm {BX\times DX=XV{\sqrt {CB\times BD}}.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/833d3345cc20988e908f5524b44427b29f8e78cb)
De là découle la construction suivante pour déterminer le point
.
Soit
parallèle à
rencontrant
en
; soit
perpendiculaire à
; soit aussi
perpendiculaire à
et rencontrant
en
. Sur
comme diamètre, soit décrit un cercle ; soit ensuite décrite la parabole qui est le lien géométrique de l’équation
par le point
où cette parabole rencontre la circonférence du cercle soit abaissée une perpendiculaire
sur
; alors le pied
de cette perpendiculaire sera le point cherché ; de manière qu’en menant par
et
une droite terminée en
a
, cette droite sera la plus petite de toutes celles qui, passant par
se termineront à
et
.
Remarque I.re L’équation
devient indépendante de la nature des lignes entre lesquelles il faut inscrire la plus petite des droites qui passent par le point donné ; en substituant aux angles
les angles que fait
avec les tangentes menées par les points
aux courbes sur lesquelles ces points se trouvent situés.
Remarque II.me Lorsque le point P est sur la droite qui coupe l’angle
en deux parties égales, la plus petite des droites à inscrire est (comme il est connu) perpendiculaire à la droite
.
Remarque III.me On pourrait obtenir le minimum proposé, en résolvant ce problème déterminé : Inscrire à un angle donné une droite d’une longueur donnée passant par un point donné ? et en cherchant les limites résultant de la construction. Or, ce problème déterminé est susceptible d’une construction élégante par le cercle et par l’hyperbole rapportés à ses asymptotes.
Remarque IV.me On ramène à peu près de la même manière à un problème déterminé les problèmes suivans : Par un point donné, sur une surface, sphérique, et dans un angle sphérique formé sur cette surface ; mener un arc de grand cercle dont la partie inscrite dans l’angle sphérique soit la plus petite, ou tel que l’aire ou le contour du triangle retranché soit un minimum ?