ANALISE TRANSCENDANTE.
Méthode de différenciation, indépendante du développement
des fonctions en séries.
Par feu
Français, professeur aux écoles d’artillerie.
[1]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Toutes les méthodes de différentiation, connues jusqu’à présent,
supposent le développement des fonctions en séries ; et la chose
parait même, en quelque sorte, inévitable, puisque les différentielles
d’une fonction ne sont autre chose que les coefficiens des termes
successifs du développement de ce que devient cette fonction, lorsque
la variable reçoit un accroissement arbitraire. Il peut donc paraître
assez intéressant de déterminer les différentielles d’une fonction, sans
recourir à ce développement ; c’est l’objet de la méthode que je vais
exposer. Elle ne suppose connues que la différentielle de la somme
et celle du produit
et repose sur les deux lemmes suivans :
LEMME I.
et
étant deux variables entièrement indépendantes,
et
étant des fonctions quelconques de
et
; si
l’on a l’équation
![{\displaystyle P\operatorname {d} x+Q\operatorname {d} y=R\operatorname {d} x+S\operatorname {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299061bbcdd1f51cfbf48d056a0dc4568eb9479d)
on en pourra conclure ces deux-ci
![{\displaystyle P=R,\quad Q=S.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee5ebf884d790f34aa764bc29e9bb2af71a7a447)
Démonstration. Si l’équation
n’était point identique, ce serait une équation différentielle en vertu de laquelle
se trouverait, contrairement à l’hypothèse, une certaine fonction de
; on a donc nécessairement
et
; donc, etc.
LEMME II.
et
étant deux fonctions composées de la même manière, la première en
et la seconde en
variables indépendantes : si l’on a
on en pourra conclure
constante.
Démonstration. D’après l’hypothèse, la fonction
doit devenir la fonction
si l’on y met
au lieu de
; mais, à cause de
, la fonction
ne doit pas changer de valeur, par l’effet de cette substitution ; donc, puisque
indépendant de
, peut représenter des valeurs quelconques de
, la fonction
est tellement constituée, qu’elle conserve la même valeur, quelle que soit d’ailleurs la variation de
; propriété qui caractérise les constantes ; donc, etc.
Cela posé, soit 1.o à différentier
?
Soient
et
deux variables absolument indépendantes ; on aura
![{\displaystyle (xy)^{m}=x^{m}y^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0fbb56f30af2dd32f580709cd207f734523bc8)
(1)
Désignons la différentielle inconnue de
par
; nous aurons, en différentiant l’équation, (1)
![{\displaystyle \varphi (xy)(y\operatorname {d} x+x\operatorname {d} y)=y^{m}\varphi (x)\operatorname {d} x+x^{m}\varphi (y)\operatorname {d} y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e99fede6830f47c1198fa992a0a1971c9b00cc)
d’où nous tirerons, par le Lemme 1,
![{\displaystyle y\varphi (xy)=y^{m}\varphi (x),\quad x\varphi (xy)=x^{m}\varphi (y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2e2be3b7b4c621db5a1dabde1aeedaf52ad579)
ce qui donne, par l’élimination de \varphi(xy) et la suppression des facteurs communs,
![{\displaystyle y^{m-1}\varphi (x)=x^{m-1}\varphi (y),\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9052efd37811f4e8cfd605668d1e44b5145f296d)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {\varphi (x)}{x^{m-1}}}={\frac {\varphi (y)}{y^{m-1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb63d755f6ec70b0bbce1e1912bb6f66a8230a6)
on a donc, par le Lemme II,
donc
par conséquent,
![{\displaystyle \operatorname {d} x^{m}=Cx^{m-1}\cdot \operatorname {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18fe114773feeadbeb64ec954f41f5f0fc9bde9)
2.o Soit à différentier
?
En supposant encore
quelconque et indépendante de
on aura
![{\displaystyle a^{x+y}=a^{x}.a^{y}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a81c364624618af2db02bd8b72163afd55a7544)
(2)
Soit
la différentielle de
; il viendra, en différentiant l’équation (2),
![{\displaystyle \varphi (x+y)(\operatorname {d} x+\operatorname {d} y)=a^{y}\varphi (x)\operatorname {d} x+a^{x}\varphi (y)\operatorname {d} y\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1236d9ff0a983aa2f5451eb968bb599e326b49c8)
d’où nous tirerons, par le Lemme I,
![{\displaystyle \varphi (x+y)=a^{y}\varphi (x),\quad \varphi (x+y)=a^{x}\varphi (y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3e9ef4e095be0f6a6182fef0e1893ad5fe3db9)
donc
![{\displaystyle a\varphi (x)=a^{x}\varphi (y),{\text{ ou }}{\frac {\varphi (x)}{a^{x}}}={\frac {\varphi (y)}{a^{y}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1ec5e02ff542528861130d8cbd361a73cb716d)
et, par le Lemme II,
; donc
et par conséquent
![{\displaystyle \operatorname {d} .a^{x}=Ca^{x}\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e4d68eb22a9d9b60e0eb8adc50a8817fbd2aa9)
3.o Soit à différentier
pour un système quelconque ?
On aura par la définition de la fonction proposée,
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(xy)=\operatorname {Log} .x+\operatorname {Log} .y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1f4f2f859ad9c945c1fe751af4701ff43d94860)
(3)
Soit
la différentielle de
; il viendra en différentiant l’équation (3)
![{\displaystyle \varphi (xy)(y\operatorname {d} x+x\operatorname {d} y)=\varphi (x)\operatorname {d} x+\varphi (y)\operatorname {d} y\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b20552e292f81a5dab9bea0c8295cd873c34e8b)
donc (Lemme I)
![{\displaystyle y\varphi (xy)=\varphi (x),\quad x\varphi (xy)=\varphi (y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31794d7b2921dc6aca28b217fa9d1ce980b5f2e)
d’où
![{\displaystyle x\varphi (x)=y\varphi (y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c5d702f2490a8251395d4fad7d20321c08fe9b)
donc (Lemme II)
et par conséquent
![{\displaystyle \operatorname {d.Log} .x={\frac {C\operatorname {d} x}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad520d5bb28cc505d1768583e8725dba44ddae8)
4.o Soit à différentier
?
Soit
; en différentiant l’équation
il vient
d’où
D’un autre côté on a, par la définition de la fonction proposée,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(x+y)=\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .y+\operatorname {Cos} .x\operatorname {Sin} .y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5319a22eba1e3cab345d1d778dc62087979fc7)
(4)
d’où on conclura, par la différentiation,
![{\displaystyle \varphi (x+y)(\operatorname {d} x+\operatorname {d} y)\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .y.\varphi (x)\operatorname {d} x-\operatorname {Sin} .x\cdot {\frac {\operatorname {Sin} .y}{\operatorname {Cos} .y}}\varphi (y)\operatorname {d} y\\+&\operatorname {Cos} .x.\varphi (y)\operatorname {d} y-\operatorname {Sin} .y\cdot {\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .x}}\varphi (x)\operatorname {d} x\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9925f6d6044d1d143708ea911f65a2bff4bb7e5)
ou
![{\displaystyle \varphi (x+y)(\operatorname {d} x+\operatorname {d} y)={\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{\operatorname {Cos} .x}}\varphi (x)\operatorname {d} x+{\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{\operatorname {Cos} .y}}\varphi (y)\operatorname {d} y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a67c0207c9480e77c165b98c13bfb83b56df5abe)
donc (Lemme I)
![{\displaystyle \varphi (x+y)={\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{\operatorname {Cos} .x}}\varphi (x)={\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{\operatorname {Cos} .y}}\varphi (y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db48df0c8f05706dd546bb9ae7604de29bbf543e)
ou
![{\displaystyle {\frac {\varphi (x)}{\operatorname {Cos} .x}}={\frac {\varphi (y)}{\operatorname {Cos} .y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084c8734f584233ef35d142e37e3e3212ee05d74)
donc (Lemme II)
donc
donc enfin
![{\displaystyle \operatorname {d.Sin} .x=C\operatorname {d} x\cdot \operatorname {Cos} .x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756c5f6c1d63df10c5d0ec2f79f9f1ee2e6e06d3)
et, puisqu’on a
![{\displaystyle \operatorname {d.Cos} .x=-{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .x}}\varphi (x)\operatorname {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec85dfaaddac00c9516bdcce5bc2ac845a1b67e)
il viendra en outre
![{\displaystyle \operatorname {d.Cos} .x=-C\operatorname {d.Sin} .x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9190868b578eb8f5919fc4698e4d90f865aae5)
Il reste maintenant à déterminer les constantes qui entrent dans ces différentielles.
1.o Dans l’équation
la constante
ne peut être qu’une fonction de
; en la désignant par
elle se changera en
pour la différentielle de
et en
pour celle de
; or on a
![{\displaystyle x^{m+n}=x^{m}\cdot x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625752800963532f97d231accf7ef79145ba1a89)
d’où on conclura, par la différentiation,
![{\displaystyle f(m+n)x^{m+n-1}\operatorname {d} x=f(m)x^{m+n-1}\operatorname {d} x+f(n)x^{m+n-1}\operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1f2f4a285571723150dd8cb4ebe26257fa42767)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle f(m+n)=f(m)+f(n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67016cab7bc97dd3f30c06874ced7f6542fd403)
(5)
Soit
en différentiant l’équation (5), il viendra
![{\displaystyle \psi (m+n)(\operatorname {d} m+\operatorname {d} n)=\psi (m)\operatorname {d} m+\psi (n)\operatorname {d} n\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d782af4d469997a86e18a151f3da998c912e04c2)
donc (Lemme I)
![{\displaystyle \psi (m+n)=\psi (m)=\psi (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59db701f9154e7c8c65b5e0d9876a8b20f2954c7)
:
donc (Lemme II)
étant une nouvelle constante ; on a donc
d’où
nous n’ajoutons pas de nouvelle constante parce que
doit être nulle en même temps que ![{\displaystyle m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd92c867d56467c0f878ef318eefcd701b8ec1a)
On a donc
![{\displaystyle \operatorname {d} .x^{m}=amx^{m-1}\operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408cc41edc0bbe4844e709a174160f6f95a05206)
et, si l’on fait
on en conclura
donc
; donc
; donc enfin
![{\displaystyle \operatorname {d} .x^{m}=max^{m-1}\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5022dc6fd6f24027e5bb7c7c528e1c24311599cb)
2.o Dans la différentielle
la constante
ne peut être qu’une fonction de
qu’on appelle la base, et doit changer avec cette base. Appelons
la valeur de
pour laquelle
devient l’unité, nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {d} .e^{x}=a^{x}\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8819998cbf72d5e3c24017bb84cf8e2f220d7f40)
Faisons ensuite
nous en conclurons, par la différentiation
![{\displaystyle Ca^{x}\operatorname {d} x=e^{y}\operatorname {d} y,{\text{ d’où }}C={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a879a5590dce2df12f081fa3a690990090ac8b)
or, si nous désignons par la caractéristique
les logarithmes qui répondent à la base
et qu’on appelle Logarithmes naturels, et par L ceux qui répondent à la base
l’équation
donnera
et
donc
![{\displaystyle \operatorname {d} x=\operatorname {d} x\operatorname {l} a,\quad \operatorname {d} x=\operatorname {d} yLe\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e4b88521efc2cea7a50f20c916858e1da471bc4)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\operatorname {l} a={\frac {1}{Le}},{\text{ d’où }}C=\operatorname {l} a={\frac {1}{Le}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e47181da0011ea6332d7eebb6fdd0b9ba237fe)
3.o La constante
dans l’équation
se détermine bien facilement par ce qui précède. En posant
il vient
d’où
or de
résulte
et conséquemment
ou bien
donc ![{\displaystyle C={\frac {1}{la}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/722369403c2d8a18fa4c9bb54345188488cc8789)
et par conséquent
![{\displaystyle \operatorname {d} .Lx={\frac {\operatorname {d} x}{xla}}={\frac {\operatorname {d} xLe}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfeb8a2694278cd19484ec6bda8ba55b849a6284)
4.o Si, dans l’équation
on suppose que l’arc
décroisse continuellement, jusqu’à devenir nul, on aura
et
d’où
ou
ce qui donne
mais, on démontre rigoureusement[2] qu’à la limite
donc
et conséquemment
![{\displaystyle \operatorname {d.Sin} .x=\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .x,\quad \operatorname {d.Cos} .x=-\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4106516abd30428cc6a3d5a71b8ba4360dfea904)
D’après cette détermination des constantes, les différentielles des fonctions
se trouvent ramenées à la forme connue. Et, comme ces fonctions sont les elemens de toutes les autres fonctions connues, on parviendra sans difficulté, par ce qui précède, aux différentielles de ces dernières.
On voit, par la manière dont nous avons déterminé la constante dans
que notre méthode peut être employée à déterminer la forme d’une fonction inconnue qui doit satisfaire à une relation donnée.