ANALISE INDÉTERMINÉE.
Résolution, en nombres entiers positifs, de l’équation
générale du premier degré à deux indéterminées.
Par M. Pilatte, professeur de mathématiques spéciales
au lycée d’Angers.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Nous nous proposons ici de résoudre en nombres entiers positifs, lorsque cela est possible, l’équation du premier degré à deux indéterminées
![{\displaystyle a_{1}x+ax_{1}=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a363abedcc31a14dc6cfe022f9a807d10fd83a)
En supposant que
sont des nombres entiers, que
et
sont premiers entre eux, et qu’on a
nous aurons à considérer successivement les trois équations
![{\displaystyle a_{1}x+ax_{1}=b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24e86d7b1e05f41c6ddaccf7b7f804f4357fbea)
![{\displaystyle a_{1}x-ax_{1}=b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709b28ee5b879f4a9446d0911f0984c4ef5d757f)
![{\displaystyle ax_{1}-a_{1}x=b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a62dcf87e09ca0f0fd70e0a65d5bc60b44c470)
ce sont, en effet, les seules variétés de la proposée, compatibles avec les conditions du problème.
§. 1.
Solution de l’équation ![{\displaystyle a_{1}x+ax_{1}=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a363abedcc31a14dc6cfe022f9a807d10fd83a)
Opérons sur
et
, comme si nous cherchions leur plus grand commun diviseur ; nommons
les restes successifs dont le dernier sera nécessairement égal à l’unité, et
les quotiens, nous aurons cette suite d’équation,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}a\ \ \quad &=a_{1}\ \ \ q_{1}\quad +a_{2},\\a_{1}\quad &=a_{2}\ \ \ q_{2}\quad +a_{3},\\a_{2}\quad &=a_{3}\ \ \ q_{3}\quad +a_{4},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\a_{n-2}&=a_{n-1}q_{n-1}+a_{n},\\a_{n-1}&=q_{n}.\end{aligned}}\right\}\mathrm {(A)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0441a59fb1006c78d7d35b695ae8b320e215546)
Mettant pour
sa valeur dans la proposée, divisant par
et transposant, on aura
![{\displaystyle x={\frac {b-a_{2}x_{1}}{a_{1}}}-q_{1}x_{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d32fb9df4bd36a10fe5db9024b9bf9f2d63cca)
mais
devant être des nombres entiers, et
étant lui-même un nombre entier, en désignant par
un nombre entier indéterminé, on devra avoir
![{\displaystyle x_{2}={\frac {b-a_{2}x_{1}}{a_{1}}},{\text{ d’où }}a_{2}x_{1}+a_{1}x_{2}=b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69dcbd47f622e91a5fa99f0bf8e7da72c999e935)
ainsi l’on a
d’une part
![{\displaystyle x=x_{2}-q_{1}x_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d789a29e54408e30bb9b0575acb7ce1d7f6927)
et de l’autre
![{\displaystyle a_{2}x_{1}+a_{1}x_{2}=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6aa5a1977829365a6226ce99d0afb9e89cefadc)
Opérant sur cette dernière équation, comme sur la proposée, en continuant les mêmes raisonnemens et les hypothèses analogues, nous formerons ces deux séries d’équations
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}a_{1}x_{1}+ax_{1}&=b,\\a_{2}x_{1}+a_{1}x_{2}&=b,\\a_{3}x_{2}+a_{2}x_{3}&=b,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\a_{n-2}x_{n-3}+a_{n-3}x_{n-2}&=b,\\a_{n-1}x_{n-2}+a_{n-2}x_{n-1}&=b,\\x_{n-1}+a_{n-1}x_{n}&=b\,;\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(B)} \left.{\begin{aligned}x&=x_{2}-q_{1}x_{1},\\x_{1}&=x_{3}-q_{2}x_{2},\\x_{2}&=x_{4}-q_{3}x_{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\x_{n-3}&=x_{n-1}-q_{n-2}x_{n-2},\\x_{n-2}&=x_{n}-q_{n-1}x_{n-1},\\x_{n-1}&=b-a_{n-1}x_{n},\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(C)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14fd13c0cfcfecfb65898308ec4f8720ee2c9776)
Si maintenant en substitue fa valeur de
dans celle de
, celle-ci dans celle de
et ainsi de suite on parviendra, à la fin, à des valeurs entières des
et
; mais, en exécutant ces substitutions, on s’aperçoit bientôt qu’elles deviennent plus faciles et plus symétriques, en posant d’abord les équations suivantes :
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\alpha _{n-1}&=1,\\\alpha _{n-2}&=\alpha _{n-1}q_{n-1},\\\alpha _{n-3}&=\alpha _{n-2}q_{n-2}+\alpha _{n-1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\\alpha _{2}&=\alpha _{3}q_{3}+\alpha _{4},\\\alpha _{1}&=\alpha _{2}q_{2}+\alpha _{3},\\\alpha &=\alpha _{1}q_{1}+\alpha _{2},\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(D)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5e95f26d2d8dee227e6b2fa8af984dd83beab6)
Procédant alors aux substitutions, on aura pour 1.re équation
![{\displaystyle x_{n-1}=\alpha _{n-1}b-a_{n-1}x_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262bdc20d02931f27870fa1e0972717553377e19)
puis
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad x_{n-2}=-\alpha _{n-1}q_{n-1}b+\left(a_{n-1}q_{n-1}+1\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a065d978341d7dd76a33fb6dc26a21fb996ca6f)
observant alors que, par les équations
,
et que par les équations
,
il viendra
![{\displaystyle x_{n-2}=-\alpha _{n-2}b+a_{n-2}x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470a4a93834260be0994635ad876ae22c6b6ed2a)
En continuant ce procédé, on formera le système d’équations
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x_{n-1}&=+\alpha _{n-1}b-a_{n-1}x_{n},\\x_{n-2}&=-\alpha _{n-2}b-a_{n-2}x_{n},\\x_{n-3}&=+\alpha _{n-3}b-a_{n-3}x_{n},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\x_{2}&=\pm \alpha _{2}b\mp a_{2}x_{n},\\x_{1}&=\mp \alpha _{1}b\pm a_{1}x_{n},\\x&=\pm \alpha \mp ax_{n}\,;\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91092122e5fb6d803a92c903c13e450447d87364)
équations dans lesquelles il faudra prendre les signes supérieurs ou les signes inférieurs, suivant que
sera impair ou pair. Cette remarque s’étendant également à tout ce qui a suivre, nous nous dispenserons de la répéter.
Pour calculer rapidement les valeurs des inconnues
et
, on cherchera d’abord les quotiens
on écrira ensuite
ou 1 sous le quotient
; on multipliera
par 1
et l’on aura
qu’on écrira sous
; on multipliera
par
, au produit on ajoutera
ou 1, et l’on aura
qu’on écrira sous
; on multipliera
par
, au produit on ajoutera
, et l’on aura
,: on continuera ainsi jusqu’à ce qu’on soit parvenu à
et
.
Nous ne répéterons pas ici les remarques connues, sur les diverses valeurs qu’on peut obtenir pour
et
; nous observerons seulement que, bien que le nombre entier
puisse être pris à volonté ; il est néanmoins compris entre certaines limites, déterminées par la condition que
et
soient des nombres entiers positifs ; il faudra donc qu’on ait généralement.
![{\displaystyle x_{n}\left\{{\begin{array}{ll}<&{\frac {\alpha b}{a}},\\>&{\frac {\alpha _{1}b}{a_{1}}},\\\end{array}}\right\}{\text{si}}\;n\;{\text{est impair,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20612edb20ff71eddbce9099325c15d9a4a4e16)
![{\displaystyle x_{n}\left\{{\begin{array}{ll}>&{\frac {\alpha b}{a}},\\<&{\frac {\alpha _{1}b}{a_{1}}},\\\end{array}}\right\}{\text{si}}\;n\;{\text{est pair}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3312e0247eb2e2acead67481eba5e1bb5dcee0)
Il y aura autant de solutions différentes qu’il se trouvera de nombres entiers compris entre
et
s’il ne s’en trouve aucun entre ces deux limites, la proposée n’aura aucune solution en nombres entiers positifs.
On peut, à la simple inspection de la proposée, assigner, au moins à une unité près, le nombre des solutions qu’elle peut admettre.
En effet, depuis
jusqu’à
il doit y avoir au moins autant de nombres entiers ou, au plus, autant de nombres entiers plus un que la différence
contient d’unités entières ; mais on a
[1]
donc la proposée admet autant de solutions, au moins, en nombres positifs, qu’il y a d’unités entières dans
, et elle ne peut en admettre qu’une de plus.
§. 2.
Solution de l’équation ![{\displaystyle a_{1}x-ax_{1}=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87579397c10215a884e3b5ca29bbdc720d1a6f26)
La méthode à suivre dans ce second cas est exactement la même que pour le premier. En conséquence, les systèmes
et
ne subissent aucun changement, et il suffit d’indiquer les modulations qu’éprouvent les systèmes
,
,
qui deviennent alors
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}a_{1}x-ax_{1}&=+b,\\a_{2}x_{1}-a_{1}x_{2}&=-b,\\a_{3}x_{2}-a_{2}x_{3}&=+b,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\a_{n-2}x_{n-3}-a_{n-3}x_{n-2}&=\pm b,\\a_{n-1}x_{n-2}-a_{n-2}x_{n-1}&=\mp b,\\x_{n-1}-a_{n-1}x_{n}&=\pm b\,;\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(B')} \left.{\begin{aligned}x&=x_{2}+q_{1}x_{1},\\x_{1}&=x_{3}+q_{2}x_{2},\\x_{2}&=x_{4}+q_{3}x_{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\x_{n-3}&=x_{n-1}+q_{n-2}x_{n-2},\\x_{n-2}&=x_{n}+q_{n-1}x_{n-1},\\x_{n-1}&=\pm b+a_{n-1}x_{n},\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(C')} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38da25eee6a57cf1579714c5abe2fb41511ece9b)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x_{n-1}&=\pm \alpha _{n-1}b-a_{n-1}x_{n},\\x_{n-2}&=\pm \alpha _{n-2}b-a_{n-2}x_{n},\\x_{n-3}&=\pm \alpha _{n-3}b-a_{n-3}x_{n},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\x_{2}&=\pm \alpha _{2}b\mp a_{2}x_{n},\\x_{1}&=\pm \alpha _{1}b\pm a_{1}x_{n},\\x&=\pm \alpha \mp ax_{n}\,;\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(E')} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea6d4a2cd3b94c8ddca2a4e0857a9ed1dfebc52)
On voit qu’ici
ne sera susceptible que d’une seule limite. Si
est impair, on pourra prendre pour
un nombre entier positif quelconque ; et même un nombre négatif, pourvu qu’il ne soit pas plus grand que la plus petite des deux quantités
.
Si
est pair, on ne pourra prendre pour
qu’un nombre positif, et ce nombre ne devra pas être moindre que la plus grande des deux quantités
.
§. 3.
Solution de l’équation ![{\displaystyle ax_{1}-a_{1}x=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c566dc1b28e73a45835ac2fcac63db194ef03288)
En mettant cette équation sous la forme
on voit qu’elle ne diffère de celle qui vient d’être discutée que par le signe de
; il suffira donc, pour la résoudre, de changer le signe de
, dans toutes les formules du §. 2. : on aura donc
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x_{1}&=\mp \alpha _{1}b+a_{1}x_{n},\\x&=\pm \alpha +ax_{n}\,;\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(E'')} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4201f9a19c268a2263e18eb72b870aae9dac39)
Il faudra donc appliquer à
pair ce qui a été dit de
impair, et vice versâ.
Applications.
1.o Soit l’équation
qui se rapporte au §. 1. On a d’abord
il y aura donc quatre solutions au moins et cinq au plus.
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}{\text{Suite des diviseurs }}a,a_{1},a_{2},a_{3}\ldots &19\\{\text{Suite des quotiens }}q_{1},q_{2},q_{3}\ldots &\\\end{array}}{\begin{array}{|r|r|r}13&6&1\\\hline 1&2&6\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83dfa6c7968effa05d939b7405e58a5bcfc09680)
![{\displaystyle {\text{Suite des quantités }}\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2}\ldots \qquad 3,\ \ \ 2,\ \ \ 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36228f19b2af40d1ef382030d424e6ee2b542c90)
Puisque
est un nombre impair, on aura, en remplaçant
par
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=-2\cdot 1000+13e,\\x&=+3\cdot 1000s-19e\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab605867bc522b6abc23527a18c51d9a645c10b)
d’où on conclura
![{\displaystyle e\left\{{\begin{aligned}>&{\frac {2000}{13}}=153+{\frac {11}{13}},\\<&{\frac {3000}{19}}=157+{\frac {17}{19}}\,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb0203c32c0de82edb4f01162ecb0ac7a00eb11c)
on fera donc successivement
![{\displaystyle e=\ 154,\ \ 155,\ \,156,\ 157\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba540eed15b031b1fcd0ab4bea39a666da50bae0)
![{\displaystyle {\text{et l’on aura}}\ldots \ldots \ldots \ \,\left\{{\begin{array}{rrrr}x_{1}=&2,&15,&28,&41,\\x=&74,&55,&36,&17.\\\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf6d3c7a078e8460daa79a567b4947b010896c6)
2.o Soit encore l’équation
qui se rapporte au §. 2.
On aura ici
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}{\text{Suite des diviseurs }}a,a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\ldots &56\\{\text{Suite des quotiens }}q_{1},q_{2},q_{3},q_{4},q_{5}\ldots &\\\end{array}}{\begin{array}{|r|r|r|r|r}35&17&5&2&1\\\hline 1&2&3&2&2\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1ed7a01562ff56eb8c2b543663a20a8dc7c0cb)
![{\displaystyle {\text{Suite des coefficiens }}\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2}\alpha _{3},\alpha _{4}\ldots \qquad 23,\ 16,\quad 7,\ \ 2,\ \ 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd8eacdb543c3943f6455214430f1b5859c9737)
Et, puisque
est impair, il viendra, en remplaçant toujours
par
,
![{\displaystyle x_{1}=+16.11+39e=+176+39e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4845fac6bffe6e31218e795edd97c747e9675fd7)
![{\displaystyle x=-23.11+56e=-253+56e\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2abb05b804cb51d2a4c7713f631d83163d7d57d)
faisant donc
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ \ e=\quad \ \ 5,\qquad 6,\qquad 7,\qquad 8,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfcdb80dfcc8e07b1dfc5362934e4df78c7c16ff)
![{\displaystyle {\text{on trouvera}}\ldots \ldots \left\{{\begin{array}{rrrr}x_{1}=&371,&410,&449,&488,\ldots \\x=&27,&83,&139.&195,\ldots \\\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6d54b22f79f77eb1767b916cff67827d217f2f)
Ces deux exemples sont tirés de l’algèbre d’Euler.