CHAPITRE VII
PRINCIPE DE HUYGHENS
89. Étude de l’équation fondamentale. — Reprenons
l’équation fondamentale, et supposons que la lumière soit
homogène, c’est-à-dire que ait la forme particulière :
ne dépendant que de Comme l’équation
fondamentale ne contient pas le temps, l’expression suivante, obtenue
en changeant en vérifiera aussi l’équation
et, l’équation étant linéaire, elle admettra encore comme
solution :
expression obtenue en ajoutant à la première solution la
seconde multipliée par
La valeur de correspondant au phénomène physique sera
la partie réelle de cette dernière solution.
Posons :
Alors :
Remplaçons dans l’équation fondamentale
et supprimons le facteur il vient :
ou :
Posons, pour abréger, ceci pourra s’écrire :
Nous avons ainsi à considérer deux équations. Ces équations
rappellent par leur forme celle de Laplace qui définit
le potentiel newtonien.
90. Nous allons tâcher de faire ressortir les relations qui
peuvent exister, en raison de cette analogie, entre les fonctions
et le potentiel newtonien.
À cet effet, supposons que ne dépende que de et de étant défini par l’égalité :
D’après une transformation bien connue :
En posant cette équation se ramène à la forme de
l’équation d’une corde vibrante :
dont l’intégrale générale est, comme on le sait :
Par suite :
D’après la forme de l’équation différentielle, et en sont
des solutions particulières.
Nous avons supposé que :
Pour qu’il en soit ainsi, comme est seulement fonction
de il faut que se réduise à
ce qui exige que :
comme on a :
D’où :
Cette expression vérifie l’équation :
il en est de même de la fonction :
et de la suivante :
obtenue en changeant en puisque l’équation ne
contient que
Enfin les parties réelles et imaginaires de et sont séparément
des solutions, ce qui nous conduit finalement aux solutions :
La seconde de ces fonctions présente une circonstance particulière,
qui doit fixer notre attention. Tandis que toutes les
autres deviennent infinies pour celle-ci reste finie et
égale à pour de plus, est très petit
pour très grand.
Il semble donc que nous puissions satisfaire à toutes les
conditions du mouvement lumineux en prenant :
Or, si la fonction était ainsi représentée à l’origine du temps,
le mouvement lumineux se continuerait indéfiniment sans
exiger l’intervention d’une énergie étrangère. Cette conséquence
nous avertit immédiatement que les solutions de cette
forme ne peuvent convenir à la question. Nous reviendrons
plus loin sur ce point.
91. Reportons-nous à la solution :
Soient un certain nombre de points fixes ayant pour coordonnées
Soient
les distances du point mobile à chacun de ces
points fixes.
Nous aurons comme solutions particulières de notre équation :
L’équation étant linéaire, la somme de ces fonctions sera aussi une solution :
L’équation de Laplace
admet comme solutions :
et par conséquent :
Quelles que soient les constantes est alors le potentiel
des masses situées aux points
Nous voyons que l’analogie est complète.
Nous pouvons dire en effet qu’aux points fixes se trouvent
des masses attirantes, la loi d’attraction étant telle que le
potentiel soit représenté par :
92. Dans l’étude du potentiel newtonien, on passe du potentiel
d’une masse attirante isolée à celui d’un volume attirant
et d’une surface attirante ; ces potentiels vérifient encore
l’équation de Laplace.
Nous allons procéder de même :
Soient les coordonnées du point mobile, celles du point attirant, leur distance :
Soit l’élément de volume attirant dont le centre de gravité
est au point Considérons l’expression :
la somme étant étendue à tous les éléments du volume attirant.
L’élément est multiplié par une fonction de
cette fonction variant d’ailleurs d’un élément à l’autre, puisqu’elle
dépend de
Posons pour abréger :
il vient :
vérifiera la relation
En effet dépend des coordonnées et et
aussi de mais, si pour un moment nous laissons les coordonnées
constantes, sera seulement une fonction
de divisée par
Si le point est extérieur au volume attirant, reste fini et nous aurons :
puisque nous pourrons différencier sous le signe De même :
et par conséquent :
Donc satisfait à l’équation fondamentale en dehors du
volume attirant, tout comme le potentiel newtonien satisfait
à l’équation de Laplace.
93. À l’intérieur du volume attirant le potentiel ne vérifie
plus l’équation de Laplace, mais celle de Poisson.
Pour savoir ce que devient etc., à l’intérieur du
volume attirant, nous ne pouvons plus différencier sous le
signe parce que devient infini pour
Posons :
La différence ne deviendra plus infinie pour
puisque le numérateur s’annule en même temps que le dénominateur.
représente le potentiel newtonien du volume, rempli d’une
matière attirante dont la densité (variable avec le temps)
serait
Par suite, l’équation de Poisson nous donne :
(1)
|
|
|
(2)
|
|
|
Considérons l’expression :
Comme reste fini, nous pouvons différencier sous le
signe et écrire :
(3)
|
|
|
Or :
et
D’où :
(4)
|
|
|
Ajoutons membre à membre (1) et (3) d’une part, (2) et (4) de l’autre :
relation qui est la généralisation de l’équation de Poisson et
qui peut s’écrire encore :
94. La même généralisation peut se faire dans le cas d’une
surface attirante.
Soit l’élément de surface ayant pour coordonnées
En dehors de la surface attirante, satisfait à l’équation
fondamentale et est continu ainsi que ses dérivées. Sur la
surface même, le potentiel newtonien est continu quand on
traverse la surface, mais non sa dérivée
En deux points infiniment voisins situés sur une même normale,
mais, de part et d’autre de la surface, les valeurs de
diffèrent de
étant la densité superficielle.
Posons :
sera le potentiel newtonien de la surface supposée recouverte
d’une masse attirante ayant pour densité
demeure fini pour par conséquent est
continu ainsi que ses dérivées, puisque et sont
continus ; il en est de même de leur somme
D’autre part
Or est continu ; mais est discontinu et, quand
on franchit la surface, subit un saut brusque de
il en sera donc de même de
Cette remarque a une grande importance au sujet de
l’application du principe de Huyghens, et donne tort à Poisson
dans sa controverse avec Fresnel. Poisson voulait en effet que
les équations appliquées au cas d’un point extérieur fussent
aussi valables pour un point intérieur, exigence qui ne peut
se justifier. Poisson aurait dû d’autant moins tomber dans
cette erreur que lui-même avait montré que le potentiel d’une
sphère n’est pas représenté par la même fonction en dehors
et en dedans de la sphère.
On sait que les fonctions qui vérifient l’équation de Laplace
jouissent des propriétés suivantes (principe de Dirichlet) :
Étant donnée une surface fermée, si une fonction s’annule
sur toute la surface et satisfait en tout point extérieur à l’équation de Laplace, cette fonction est identiquement nulle.
Si la fonction doit prendre sur la surface des valeurs données
il y aura une fonction et une seule satisfaisant à cette condition.
Cette propriété ne peut être étendue aux solutions de l’équation :
En effet, prenons par exemple la fonction Cette fonction
vérifie l’équation, elle s’annule sur la sphère et
cependant n’est pas nulle identiquement.
Pour que le principe de Dirichlet pût se généraliser, il faudrait
que fût négatif.
95. Envisageons maintenant l’équation
Considérons un volume limité par une surface fermée, sur
laquelle on ait constamment supposons que pour
et la fonction étant une solution de
l’équation : sera identiquement nul.
En effet, prenons l’expression :
la somme étant étendue à tous les éléments du volume.
D’après le théorème de Green,
Mais sur la surface et donc la première intégrale
est nulle et il reste seulement
la parenthèse est nulle identiquement ; donc
Pour est nul par hypothèse.
Par conséquent est identiquement nul. Comme le coefficient
de dans est une somme de carrés, il faut que
chacun de ces carrés soit nul : c’est-à-dire que
autrement dit que soit identiquement nul.
Supposons maintenant qu’on donne les valeurs que prennent
et en chaque point du volume pour soient par
exemple et
étant des fonctions des coordonnées
et la valeur de sur la surface limite :
sera une fonction de supposons de plus qu’à
l’intérieur du volume vérifie l’équation :
étant une fonction donnée.
Le problème est déterminé et il existe une seule fonction
remplissant ces diverses conditions.
Admettons en effet qu’il y en ait deux, et de sorte que
pour
sur la surface :
et que
Il est facile de voir alors que la fonction jouit des
propriétés suivantes :
Pour est nul ainsi que sa dérivée
Sur toute la surface
et enfin
Cette fonction est donc identiquement nulle et
Il est probable, sans qu’on ait pu encore le démontrer, qu’il
existe toujours une solution.
Si nous considérions le volume extérieur à la surface fermée,
en ajoutant la condition que soit nul à l’infini, le théorème
serait vrai encore pour ce volume entier.
Il peut donc être étendu à tout l’espace et énoncé comme il
suit :
Théorème. — Si une fonction vérifie l’équation :
que pour on ait en tout point de l’espace
et que s’annule à l’infini, cette fonction est entièrement
déterminée.
96. En écrivant l’équation
pour représenter le mouvement de l’éther, nous avons supposé
que ce fluide n’était pas soumis à d’autres forces que les
forces d’élasticité, produites par les actions mutuelles des
molécules.
Cette condition n’est plus remplie au point où il existe une
source lumineuse ; d’autres forces s’ajoutent alors aux forces
d’élasticité et il faut ajouter au second membre de l’équation
un terme complémentaire, qui est une fonction arbitraire de
ce terme représente l’effet des forces qui produisent le mouvement
lumineux des sources.
Cela étant, nous nous proposons de résoudre le problème
suivant :
Supposons qu’avant l’instant choisi pour origine du temps et à cet instant même, c’est-à-dire pour tout soit au
repos, autrement dit que pour :
et que les forces complémentaires ne recommencent à faire
sentir leur action qu’à partir de l’origine du temps, alors
pour que, pour
satisfasse à l’équation,
étant une fonction que nous regarderons comme donnée :
étant nul partout, sauf aux sources où cette fonction a une
valeur déterminée — enfin que s’annule à l’infini. Nous
avons vu que ce problème ne comporte qu’une solution ; il
s’agit de trouver cette solution.
Soient les coordonnées courantes d’un point,
les coordonnées du centre de gravité d’un élément
du volume occupé par les sources lumineuses, la
distance de ces deux points.
La fonction
la sommation étant étendue à tous les éléments du volume
occupé par les sources, remplit les conditions demandées ;
est d’ailleurs fonction de puisque en dépend.
Nous savons que vérifie l’équation ; il reste à montrer que
les conditions initiales sont remplies.
Or nous avons supposé que étant nul pour mais si
est il en est de même a fortiori de
, et étant essentiellement positifs. sera donc nul puisque la fonction
sous le signe est nulle, de même
Au contraire la fonction
bien qu’elle vérifie l’équation ne peut convenir puisqu’elle ne
s’annule pas pour
97. Supposons maintenant que [1] soit de la forme :
étant une fonction de En posant
l’équation fondamentale (première forme) devient :
(1)
|
|
|
Considérons la fonction :
Cette expression représente le potentiel d’une masse attirante
ayant une densité et la loi d’attraction étant
telle que le potentiel de la masse unité soit
satisfait à l’équation (1) et, comme cette équation ne
dépend que de il en sera de même de :
La somme
vérifie aussi l’équation : elle renferme deux fonctions arbitraires ;
il semble donc qu’elle doive convenir à la question. Mais il
n’en est rien, comme nous allons le montrer.
Soit, en effet, une source de lumière homogène ; prenons
pour origine du temps l’instant où commence le mouvement.
Ce mouvement étant périodique, pour sera de la
forme :
pour on a
Supposons que soit assez grand et assez petit pour que
ou en d’autres termes, que le régime soit établi,
alors :
doit avoir le signe c’est donc seulement la première
intégrale qui convient à la question. C’est pour cette raison
que la solution ne convient pas à la question,
ainsi qu’on l’a expliqué plus haut.
Nous étudierons donc en particulier le cas où la loi d’attraction
est telle que le potentiel de la masse placée au point
soit à une distance égale à
98. Principe de Huyghens. — En poursuivant l’étude des
analogies que présentent les fonctions avec le potentiel
newtonien, nous pourrons en déduire, ainsi que l’a fait pour
la première fois Kirchhoff, le principe de Huyghens comme
une généralisation d’une conséquence du théorème de Green.
Rappelons d’abord l’énoncé de ce théorème.
Considérons un certain volume limité par une surface
fermée soient un élément du volume
un élément de la surface est la distance du point
au centre
de gravité de l’élément de la surface qui limite le
volume. Les intégrales doubles doivent être étendues à tous
les éléments de cette surface ; les intégrales triples, à tous
les éléments de
Deux cas sont à distinguer :
1o Le point est extérieur au volume
2o Le point est intérieur au volume.
Je conviens enfin de désigner par la valeur de au point
On a, d’après le théorème de Green :
si les fonctions et sont finies et continues ainsi que leurs
dérivées à l’intérieur du volume
Supposons maintenant que, jouissant encore de toutes ces
propriétés, devienne infini en un point de l’intérieur
du volume, mais de manière que pour
L’énoncé du théorème doit alors être modifié et il faut écrire :
étant la valeur de pour
Pour appliquer ce théorème au cas qui nous occupe, supposons
que vérifie l’équation :
(1)
|
|
|
et que :
étant la distance des deux points et on
aura bien :
pour
Nous aurons encore :
(2)
|
|
|
Multiplions (1) par la seconde par et ajoutons :
Dans la formule de Green, l’intégrale du second membre
disparaîtra donc, et il restera :
si le point est extérieur ; si le point est
intérieur au volume
Nous pouvons d’ailleurs écrire, en permutant les accents :
sera la valeur de au point centre de gravité de
c’est-à-dire en un point de la surface limite
dépendant de est fonction à la fois de et de
99. Le théorème s’applique-t-il encore quand le volume considéré
est la portion de l’espace extérieure à une certaine
surface
Soit une sphère dont le rayon soit très grand et puisse
être regardé comme un infiniment grand du premier ordre.
On pourra alors appliquer le théorème au volume compris
entre la surface et la sphère puisque ce volume ne
s’étend pas à l’infini. On aura donc :
la première intégrale est étendue à la surface et la seconde
à la sphère Pour que le théorème s’applique à la région
de l’espace extérieure à il suffit que
quand croît indéfiniment.
Il est clair d’abord que et sont des infiniment petits
du premier ordre, et que l’on a en négligeant les infiniment
petits du deuxième ordre :
D’autre part nous avons vu à la fin du no 97 que, si représente la projection sur l’axe des du déplacement d’une
molécule d’éther, on aura :
(3)
|
|
|
représente un élément de volume occupé par les sources
lumineuses sont les coordonnées de cet élément ;
est une fonction de et la distance de à
Si le point est sur la sphère et que le
rayon de cette sphère soit très grand, différera très peu de
et il viendra, aux infiniment petits près du deuxième
ordre :
Car est égal à à des infiniment petits près. La quantité
sous le signe est donc du troisième ordre, et comme la
surface de la sphère est très grande, du deuxième ordre, l’intégrale
tend vers Le théorème est donc vrai ; mais, pour qu’il
en soit ainsi, il ne suffit pas que s’annule à l’infini, il faut
encore qu’il soit de la forme (3).
Il en résulte que, si on donne les valeurs de et de
en tous les points de la surface limite la formule donne la
valeur de en un point quelconque du volume Mais, en
général, il ne sera possible de se donner arbitrairement que
l’un des systèmes de valeurs, soit soit parce que ces fonctions sont liées par une relation, exprimant que l’intégrale
est nulle en un point extérieur.
D’ailleurs il est en général impossible de calculer quand
on donne
100. Mais dans le cas particulier du mouvement de l’éther il
nous sera possible, en profitant de la petitesse de la longueur
d’onde, c’est-à-dire de la grandeur de de calculer avec une
approximation suffisante étant donné
Dans le système de coordonnées curvilignes que
nous avons déjà employé no 88, nous pouvons représenter
par
est une fonction de dont toutes les dérivées sont
finies ; le second facteur au contraire varie rapidement, étant
très grand
Le facteur étant très grand, le premier terme peut être
négligé à côté du second et il reste :
Soit la surface considérée (fig. 13) ; traçons la surface et la
surface infiniment voisine — Menons au point de
l’intersection de avec la normale à
soit le point où
elle rencontre la surface
Fig. 13.
menons de même la normale à la surface :
Par conséquent
D’autre part :
étant l’angle sous lequel la surface est coupée par la
sphère de rayon décrite du point comme centre.
À cause de la grandeur de le second terme est négligeable
et il reste
Remplaçons dans notre formule :
ou :
Dans les applications on choisit toujours pour la surface
la surface de l’onde, la lumière se propageant vers l’extérieur ;
la normale correspondant aux croissants est dirigée vers
l’extérieur : en général on considère un point de l’espace
extérieur à se rapporte donc à la normale intérieure
et il faut prendre ou
relation qui exprime le principe de Huyghens. Comparons en
effet les conséquences de cette relation avec celles du principe
de Huyghens tel que l’applique Fresnel.
101. Fresnel suppose que est connu sur la surface par exemple, sous la forme :
Fig. 14.
il considère ensuite les points de
comme des centres d’ébranlement
et se propose de calculer quel
sera l’ébranlement en un point
extérieur (fig. 14).
À cet effet, il admet que
l’ébranlement provenant de l’élément
de coordonnées
situé sur est représenté au point
par :
il suppose ainsi que l’amplitude de l’ébranlement varie comme
l’inverse de la distance du point au point
et
de plus varie avec la direction suivant une certaine fonction
de l’angle que fait la normale à avec
Fresnel ne fait d’ailleurs aucune hypothèse sur la forme de
cette fonction il suppose seulement qu’elle passe par un
maximum pour à cause de la petitesse de le
résultat sera d’ailleurs indépendant de la forme de
Enfin pour avoir l’ébranlement total, Fresnel fait ensuite la
somme des ébranlements partiels ; cette somme peut s’écrire :
En effet :
Pour identifier cette expression de avec celle que nous
avons trouvée, il suffit d’y faire :
Seulement il faut bien remarquer que cette formule n’est
valable que pour un point extérieur à la surface, c’est-à-dire
faisant partie du volume considéré ; en un point qui ne
ferait pas partie de ce volume l’intégrale serait nulle.
Reste maintenant à calculer cette intégrale, ce qui exige la
connaissance de
Fresnel suppose que est nul sur l’écran et a même valeur
aux autres points que si l’écran n’existait pas ; qu’à l’intérieur
de l’intensité a aussi même valeur qu’en l’absence de l’écran,
enfin que les conditions à remplir ne dépendent pas de la
nature de ce dernier.
Posons pour abréger :
Il faut calculer
Du point comme centre décrivons une sphère de rayon
qui coupe la surface suivant une certaine courbe puis
une autre de rayon qui coupera suivant une courbe
infiniment peu différente entre ces deux courbes se trouve une bande infiniment mince. Considérons l’intégrale :
étendue à tous les éléments de cette bande ; cette intégrale
sera infiniment petite, soit peut être considéré comme
une constante pour tous les éléments de cette bande. Il
viendra alors :
102. Dans ce qui suivra nous prendrons en général comme
Fig. 15.
surface limite une surface de l’onde, et la plupart du temps
nous supposerons cette
onde sphérique.
Soit donc le centre
de cette onde (fig. 15),
le point considéré
ses coordonnées, le
centre de gravité de
ses coordonnées ;
sera la distance et l’angle que fait la normale
à la sphère avec
Joignons cette droite rencontre la sphère aux points
et Si nous décrivons du point comme centre, comme
tout à l’heure, deux sphères de rayon et les deux
courbes se réduiront à deux petits cercles de la
sphère ayant pour pôle et que nous appellerons pour
abréger cercles et Ces deux petits cercles limiteront une bande infiniment mince et nous aurons
l’intégrale étant étendue à tous les éléments de la bande.
Faisons un changement de coordonnées et prenons pour
déterminer la position d’un point de la sphère sa distance
au point et l’angle que fait le plan
avec un plan fixe passant aussi par
Menons par deux plans infiniment voisins et
ces deux plans coupant la sphère suivant deux méridiens passant
par et Ces deux méridiens et les deux parallèles
et découpent sur la sphère un petit quadrilatère
qui sera l’élément Un calcul très simple montre que
étant le rayon de la sphère et la distance
Par conséquent
Il faut maintenant fixer les limites de cette intégrale.
Si la sphère est entièrement éclairée, il faut intégrer entre
et
S’il y a un écran, deux cas peuvent se présenter : ou bien le
cercle est entièrement éclairé, et alors il faut intégrer encore
entre et ou bien le cercle est en partie sur l’écran et
il faut intégrer entre les valeurs de et qui
correspondent aux bords de l’écran.
Supposons que nous ayons calculé : nous avons
Intégrons par parties en remarquant que
où
Pour calculer la valeur du terme intégré, il faut savoir
quelle est la plus petite valeur que puisse prendre Deux cas
peuvent se présenter :
1o Le point est sur la partie éclairée de la sphère : la
limite inférieure de est alors
D’autre part, dans l’expression
on peut regarder comme une constante sur le cercle et il
vient :
Or au point et ce qui donne en définitive
À la limite inférieure, le terme tout connu se réduit donc à :
2o Le point est sur l’écran, est la plus courte distance
de au bord de l’écran ; pour le cercle
est tout entier sur l’écran et pour il y a
au contraire un arc infiniment petit du cercle sur la portion
éclairée ; est infiniment petit et tend vers en même temps
que le terme tout connu est donc nul à la limite inférieure.
Il faut faire la même discussion pour la limite supérieure
En effet, si la sphère est entièrement éclairée ou au moins si
le point est sur la partie éclairée, et
seulement au point on a
et par suite est nul.
Si est sur l’écran, est la plus grande distance de au
bord de l’écran ; pour il y a sur la partie éclairée
un arc infiniment petit du cercle cet arc tend vers
en même temps que Donc à la limite supérieure est encore
nul. — Ces résultats s’étendent aux cas où la surface limite
n’est pas une sphère ; quand le point n’est pas sur l’écran,
on trouve en appelant et les centres de courbure
principaux situés sur la normale
103. Revenons au cas de la sphère. — Il résulte de ce qui
précède que le terme tout connu est nul à la limite supérieure,
qu’à la limite inférieure il est nul si le point est sur l’écran,
et si le point n’est pas sur l’écran, il est égal à
En général l’intégrale du deuxième membre est négligeable,
et on a simplement
Dans ces conditions, a donc la même valeur au point
qu’au point au facteur près
qui exprime la variation de l’amplitude avec la distance et la différence
de phase on trouve par conséquent la même valeur
de que dans la théorie géométrique des ombres.
— Si le point est à l’intérieur de la sphère, est nul au
point et au point car en chacun de ces points
et donc et
104. Puisqu’on négligeant l’intégrale
nous retrouvons les propriétés géométriques des ombres, c’est
cette intégrale qui doit représenter l’influence des phénomènes
de diffraction.
L’intégration doit être effectuée entre les limites et
Nous partagerons cet intervalle en intervalles partiels :
dans les uns, restera fini ; dans les autres deviendra très
grand de l’ordre de Nous pourrons négliger les intervalles
où reste fini, comme nous allons le montrer.
Soit en effet un de ces intervalles, nous pouvons
toujours admettre que varie constamment dans le même
sens, c’est-à-dire que conserve toujours le même signe,
sans quoi nous n’aurions qu’à subdiviser l’intervalle en
intervalles partiels où ce signe ne changerait pas.
Intégrons par parties :
Le terme intégré est négligeable : en effet est
est fini ; le rapport est négligeable, puisque
est très grand ; d’autre part puisque a toujours le même signe :
ou
cette quantité est finie, son quotient par est donc négligeable.
Il nous suffira par conséquent de tenir compte des intervalles
où devient très grand, du même ordre de grandeur que
Représentons le bord de l’écran : soient les points
où le cercle rencontre ce bord (fig. 16),
les valeurs de et de
en , ces valeurs en
Nous aurons :
Fig. 16.
Donnons à un accroissement
nous obtenons le cercle
qui rencontre le bord de l’écran
en et la valeur de en
sera et en
Appliquons la règle des variations sous le signe
Nous ne savons pas comment varie mais nous admettrons
que varie très lentement le long de la surface, puisque
la phase doit rester la même ; sera fini et aussi
ce
terme sera négligeable, puisque nous ne considérons que les
intervalles où est très grand et que nous pouvons par conséquent
négliger dans l’expression de les termes qui sont
seulement de grandeur finie.
Supposons qu’on parcoure le bord de l’écran dans le sens
indiqué par la flèche ; soit l’arc décrit dans ce sens :
Quand on marche dans le sens de la flèche, diminue de
augmente de
Posons
et soient et les valeurs de respectivement
aux points et
et en substituant il viendra :
et en multipliant par et intégrant :
cette intégrale étant comptée le long du bord de l’écran et
seulement dans les intervalles où est du même ordre de
grandeur que
Supposons donc que soit un arc tel que et par conséquent
soit de l’ordre de il faut voir si l’intégrale
sera finie ou non.
Admettons que varie toujours dans le même sens, de
à et aille par exemple en croissant : sera
reste inférieur à
une certaine quantité finie est
Donc
Par conséquent, deux conditions sont nécessaires pour que
l’intégrale soit finie :
1o doit être de l’ordre de
de l’ordre de ou de la
longueur d’onde
2o c’est-à-dire l’angle sous lequel l’arc est
vu de doit être fini.
Fig. 17.
Deux cas peuvent se présenter :
1o L’arc est fini : comme doit
être sensiblement constant, il faut que
diffère peu d’un arc de cercle ;
2o L’arc est infiniment petit ; pour
qu’il soit vu de sous un angle fini
(fig. 17), il est nécessaire alors que cet
arc passe très près du point et par suite
que la droite passe très près du bord de l’écran.
105. Supposons que ces dernières conditions soient remplies.
Fig. 18.
Nous pourrons prendre
seulement les portions de
l’écran voisines de qui
ont seules de l’influence,
réduire la sphère à son plan
tangent et le cercle à
une droite ; enfin, puisqu’on
ne s’éloigne pas de considérer
comme une constante,
par exemple
Menons perpendiculaire sur le bord de l’écran (fig. 18).
Posons :
Comme, dès qu’on s’écarte tant soit peu de les portions
situées au-delà n’ont pour ainsi dire plus d’influence, il reviendra
au même de conserver les limites précédentes ou bien,
ce qui sera plus commode, de prendre comme limites
et ou et
Nous aurons ainsi à calculer
Soit
Comme est très petit, nous pouvons développer le second
membre, en nous bornant aux deux premiers termes :
d’ailleurs :
En substituant dans notre intégrale, elle prend la forme
c’est l’intégrale de Fresnel. On a vu (1er volume, no 93) comment
on peut lui donner sa forme habituelle ; mais ce n’est
pas celle-là que je veux lui donner ici.
Par une transformation convenable, on retrouve la formule
donnée par M. Gilbert.
Remarquons en effet que la fonction sous le signe étant paire :
ce qui ramène à calculer
décrivant l’axe OA des quantités réelles.
Menons une droite inclinée à 45° sur
Fig. 19.
et du point
avec un rayon très grand, décrivons
l’arc de cercle (fig. 19).
Comme à l’intérieur du
secteur l’intégrale ne
présente aucun point singulier,
il est indifférent de prendre le
chemin direct ou le chemin
Mais le long de l’intégrale
est d’autant plus petite
que le rayon est plus grand, il n’y a donc pas de
différence entre les deux chemins et
Posons :
ou :
sera réel quand on ira de en
l’intégrale s’écrira :
Posons enfin :
nous trouvons :
c’est la forme donnée par M. Gilbert aux notations près.
Pour que l’intégrale soit sensible, il faut que soit très
petit. En effet, étant en facteur, il est nécessaire que soit
fini, ce qui exige que et soient du même ordre de
grandeur. doit donc être du même ordre que ou que
sera de l’ordre de
Comme est de l’ordre de nos unités habituelles, on voit
que la largeur des franges sera comparable à la racine carrée
de la longueur d’onde.
Si devient du même ordre de grandeur que est de
l’ordre de et de l’ordre de
ou de les franges deviennent
donc de plus en plus fines quand on s’approche de l’écran.
106. Principe de Huyghens appliqué aux ondes réfléchies ou réfractées. —
Dans l’étude que nous venons
de faire du principe de Huyghens, nous avons supposé que la lumière partie de la source arrivait au point sans avoir subi
ni réflexion ni réfraction.
Le principe peut être étendu aux cas où les ondes se sont
réfléchies ou réfractées. Mais dans les applications, il faut
substituer à l’exponentielle l’exponentielle où
représente le temps que met la lumière pour aller de la source
au point en tenant compte des milieux réfringents,
La démonstration peut se faire comme précédemment, mais
elle est plus compliquée, parce qu’il est impossible de séparer
alors les trois composantes — Nous admettrons donc le
résultat sans répéter la démonstration (la démonstration est
analogue à celle que nous avons donnée dans la Théorie de l’Élasticité, no 50).
107. Correction relative aux lignes focales. —
M. Gouy, dans un récent travail, a montré que dans le calcul
Fig. 20.
de la quantité il était nécessaire
d’introduire une
correction relative aux lignes
focales. Rappelons ce
que sont les lignes focales.
Soient la surface de
l’onde, un point de cette
surface ; la normale à au
point sera un rayon lumineux.
Soient et les
centres de courbure principaux
situés sur cette normale
(fig. 20) ; considérons les points infiniment voisins de
et le faisceau des normales menées par chacun d’eux. Ce faisceau forme un pinceau de rayons lumineux extrêmement
délié. Un plan perpendiculaire à détermine dans ce
faisceau une section qui, en général, sera infiniment petite.
Si ce plan passe par ou par cette section se réduit à une
ligne infiniment petite qui s’appelle ligne focale. Si les points
et sont confondus, la section se réduit à un point qui
est un foyer.
La correction à faire est la suivante :
À la différence de phase résultant de la différence de
marche il faut retrancher si l’un des rayons interférents
a passé par une ligne focale ; il faut retrancher s'il a passé
par un foyer.
M. Gouy a donné une démonstration expérimentale en
répétant l’expérience des miroirs de Fresnel avec un miroir
plan et un miroir concave, les franges observées au-delà du
centre de courbure du miroir présentent une frange centrale
noire.
Il a également donné de ce fait une démonstration analytique
que je vais reproduire avec d’assez grandes modifications.
1. Ondes sphériques. — Considérons une certaine fonction
assujettie aux conditions suivantes : est nulle pour
toute valeur de sauf celles comprises entre deux limites
déterminées et ; de plus
Supposons qu’une fonction de et de soit solution de
l’équation fondamentale
que pour elle se réduise à
et par suite soit nulle pour toute valeur de non comprise
entre et que pour on ait
enfin que fini et continu dans tout l’espace ainsi que ses
dérivées, s’annule à l’infini — cette fonction sera entièrement
déterminée, ainsi que nous l’avons vu au no 95. Si cette fonction
existe, il n’y en a qu’une seule. Or la fonction
(1)
|
|
|
satisfait à l’équation fondamentale — elle reste finie et continue
ainsi que ses dérivées dans tout l’espace ; il ne pourrait
y avoir doute que pour l’origine, c’est-à-dire pour
Mais pour les deux termes du numérateur se détruisent ;
donc le numérateur et le dénominateur s’annulent
simultanément et par conséquent reste fini au voisinage de
l’origine et peut même, si est assez petit, être développé
suivant les puissances croissantes de et aussi de
En effet le numérateur change de signe quand on change en
donc son développement par la formule de Mac-Laurin
ne contient que des puissances impaires de Comme il faut
diviser par le quotient ne renfermera que des puissances
paires — il sera donc développé suivant les puissances de
et par conséquent suivant les puissances de Pour
Mais étant nul pour toute valeur de non comprise
entre les valeurs positives et est a fortiori nul pour les
valeurs négatives de donc et
De même
et comme
La fonction (1) satisfait donc à toutes les conditions du problème.
Or, nous avons vu que ce problème ne peut comporter
qu’une seule solution ; donc la fonction (1) est la solution
unique du problème proposé.
108. Supposons d’abord que
on aura a fortiori
et par conséquent
il reste
Cette valeur de représente une onde sphérique convergente,
c’est à-dire qui se propage vers le centre de la sphère.
Si au contraire
ou
c’est alors
et
L’onde est divergente, c’est-à-dire se propage en s’éloignant
du centre de la sphère. Pour
nous aurons une combinaison des deux.
Fig. 21.
Nous voyons donc que change
de signe quand l’onde sphérique
de convergence devient divergente.
— Supposons pour fixer
les idées qu’au temps
c’est-à-dire que l’onde
soit en et au temps
l’onde soit en de
l’autre côté du centre (fig. 21).
Si
l’onde aura parcouru, pendant le temps le chemin
Au point à l’instant l’onde est convergente
Au point à l’instant l’onde est divergente
Par conséquent la valeur de au point à l’instant est
la même qu’au point à l’instant au facteur près
et au signe près ; il y a donc une différence de phase de correspondant
à un retard de Il nous faudra donc, quand une
onde passe par un foyer, introduire cette correction. On
pourrait objecter qu’une onde de cette nature, c’est-à-dire
telle que soient fonction de et de seulement, ne saurait
être transversale, mais il est aisé d’étendre le résultat à
une onde sphérique quelconque.
109. Si nous avions choisi pour la forme suivante :
vérifierait encore l’équation fondamentale, serait fini et
continu ainsi que ses dérivées même pour Pour
on a
l’onde est convergente.
Pour
l’onde est divergente.
change encore de signe quand l’onde change de nature en
passant par un foyer.
Nous serions conduits aux mêmes conclusions en prenant
pour une dérivée d’ordre quelconque, prise un nombre
quelconque de fois par rapport à chacune des variables
de ou même une combinaison
linéaire de ces dérivées. Ces conclusions s’appliquent aussi
à une onde sphérique quelconque qui, ainsi que nous l’avons
vu au No 90, peut toujours se mettre sous cette forme ; et
égalées à des combinaisons linéaires des dérivées de fonctions
de et de
110. Passage des ondes par une ligne focale. — Nous
allons d’abord considérer un cas particulier simple, celui des
ondes cylindriques.
Soit la distance du point à l’axe des
Si on a
l’onde sera cylindrique ; les surfaces d’onde seront des
cylindres ayant pour axe.
Par un calcul facile on trouve
ou
(1)
|
|
|
Je dis que
est l’intégrale de cette équation.
L’intégrale générale devrait contenir deux fonctions arbitraires ;
mais celle que nous avons donnée est la plus générale
parmi les intégrales de l’équation qui restent finies pour
Vérifions que est bien une solution de l’équation (1) :
Substituons dans l’équation (1) ; il faut que
Or
cette expression s’annule aux deux limites et
— Comme nous supposons le mouvement périodique, nous
allons donner à la fonction arbitraire une forme particulière.
ayant toujours la même signification et étant égal à
nous poserons :
Alors deviendra :
La seconde intégrale est nulle, car la seconde fonction sous
le signe est impaire, et les limites sont égales et de signe
contraire.
Il reste donc
d’où
Substituons dans l’équation (1)
Nous retombons sur l’équation qui définit la fonction de
Bessel, donc :
c’est la seule parmi les intégrales de cette équation linéaire
qui se réduise à pour D’autre part :
Par conséquent :
Cherchons une valeur approchée de quand devient
très grand :
puisque la fonction sous le signe est paire. En posant :
nous pouvons écrire :
Prenons une nouvelle variable définie par la condition :
Pour
et pour
Substituons dans l’expression de
Si nous supposons que soit très grand, sera négligeable
vis-à-vis de l’unité et nous pourrons prendre comme limite
supérieure.
Cette dernière intégrale est connue : elle se ramène facilement
d’ailleurs aux intégrales de Fresnel ; sa valeur est
et :
Par conséquent :
111. Supposons d’abord que l’onde soit convergente et devienne
divergente. Elle part d’un point situé à une distance
de l’axe des traverse cet axe et aboutit au point situé
à une distance — elle a donc parcouru un chemin
— Admettons pour simplifier que les points et
correspondent à des maxima du cosinus : la phase y sera nulle ; il
faut donc que :
ce qui donne :
ou en remplaçant par
et divisant par
Le chemin parcouru est donc égal non pas à un nombre
entier de longueurs d’onde, mais à un nombre entier de longueurs
d’onde augmenté de
Le passage par la ligne focale nécessite donc dans le calcul
des phases une correction de
112. L’application du principe de Huyghens nous conduira
Fig. 22.
à la même conclusion :
Soient une surface quelconque ;
un point extérieur ;
une normale à
le centre de gravité d’un
élément de ayant pour
coordonnées
(fig. 22). En conservant les notations
que nous avons adoptées,
nous aurons pour la
première composante de
la vibration au point
Si le point n’est pas très voisin du bord de l’écran, les
portions de l’intégrale relatives aux éléments voisins du
point exercent seules une influence sensible sur la valeur de l’intégrale. (Dans le cas où du point on peut mener
plusieurs normales à la surface il faudrait prendre les éléments
voisins du pied de chacune de ces normales.) Par
conséquent la valeur de l’intégrale ne changera pas si on étend
la sommation à une portion quelconque de la surface
entourant le point et elle sera encore la même si la sommation
est étendue à la surface tout entière. Nous avons
vu d’ailleurs que l’intégrale est en général
négligeable.
Pour traiter d’abord un cas particulier simple, supposons
que, au voisinage du point la surface soit une portion de
sphère concave du côté de et que nous étendions l’intégrale
à cette calotte sphérique. Soit le centre de la sphère.
Deux cas peuvent se présenter :
1o Le point se trouve entre et alors de tous les
points de la calotte sphérique, est le plus rapproché de
les limites d’intégration sont et
2o Le point est au-delà de alors est le
point de la calotte le plus éloigné de les limites d’intégration sont
et étant la plus courte distance de
à la courbe qui limite la calotte.
Dans les deux cas, nous savons que (§ 102) :
étant le rayon de la sphère et la distance
la valeur de au point
Or, en ce point l’angle que nous avons
appelé est nul et donc :
et :
(2)
|
|
|
Pour évaluer comme nous avons vu que était
négligeable, il suffit de substituer les limites dans le terme
intégré. Pour la limite qui correspond au bord on a
pour celle qui correspond au point a la valeur (2).
Seulement dans le cas où les points sont dans l’ordre cette
dernière limite est la limite inférieure ; quand les points sont
dans l’ordre c’est la limite supérieure. Par conséquent,
il faut changer le signe quand on passe d’un cas à l’autre et
écrire :
(QPC)
|
|
|
(QCP)
|
|
|
Tout se passe donc comme si changeait de signe par le
passage de l’onde à travers un foyer ; il y a une perte de
phase de correspondant à un retard de
113. Des raisonnements analogues s’appliquent à une surface
quelconque, sans faire d’hypothèse sur la forme de
cette surface au voisinage du point
Toujours avec les mêmes notations nous aurons au point
Prenons un autre système de coordonnées avec le point comme origine ; l’axe des sera et les plans des et
des seront les sections principales de la surface au point
Un point de la surface aura pour coordonnées
(nous supprimons les accents, ce qui n’a pas d’inconvénient
puisque nous avons pris comme origine). Ce point est le
centre de gravité d’un élément faisant avec le plan des
un angle que nous appellerons Par conséquent :
Nous savons qu’il suffit d’étendre l’intégration aux éléments
voisins de sera donc toujours très voisin de
L’expression sous se compose de deux facteurs :
1o qui ne varie pas rapidement et a sensiblement la
même valeur en et en
2o qui varie au contraire très rapidement car sa
dérivée est très grande puisque est très
grand.
Nous pourrons donc prendre dans l’évaluation de la somme
le facteur avec la valeur qu’il a en
Au point
donc :
Quant au second facteur il faut calculer sa valeur
au point c’est-à-dire la valeur de en ce point. Or et
étant les centres de courbure principaux de la surface au point
le point étant très voisin de on démontre que :
en posant :
Les segments étant pris avec leur signe ; nous conviendrons
donc de regarder comme positif si le point est à droite
de comme négatif si le point est à gauche.
Cette expression de n’est qu’une valeur approchée, obtenue
en regardant et comme des infiniment petits du
premier ordre et négligeant les infiniment petits d’ordre supérieur
au second.
L’expression de prendra donc la forme :
Posons, pour mettre les signes en évidence
et représentant les valeurs absolues de et de
ou en posant :
114. Trois cas sont à distinguer :
Premier cas. — Les points sont dans l’ordre (fig. 20)
(1) ; autrement dit, pour aller de en le rayon ne rencontre
aucune ligne focale, alors :
Deuxième cas. — Des points sont dans l’ordre
(fig. 20) (2) ; le rayon allant de en rencontre une seule
ligne focale.
Troisième cas. — Les points sont dans l’ordre
(fig. 20) (3), le rayon rencontre deux lignes focales :
Dans ce dernier, rentre le cas particulier où, et étant
confondus, le rayon passe par un foyer.
Transformons l’intégrale en réunissant ces trois cas dans la
même formule, nous aurons :
Comme nous l’avons dit déjà, les portions de la surface voisine
de ont seules une influence ; sans changer la valeur de
nous pouvons donc prendre comme limites et
L’intégrale se décomposera alors en un produit de deux
autres :
La valeur de ces intégrales est connue. On sait en effet que :
En posant on trouve aisément :
ou en changeant en
ou en réunissant ces deux résultats
et de même
Substituons dans
Si le rayon ne traverse aucune ligne focale il faut prendre
et par conséquent
Si le rayon rencontre une seule ligne focale,
Enfin si le rayon rencontre deux lignes focales ou un foyer :
Les valeurs de sont les mêmes dans les trois cas aux facteurs
près il faut donc dans le second cas :
retrancher à la différence de marche et dans le troisième,
retrancher