CHAPITRE VII
PRINCIPE DE HUYGHENS
89. Étude de l’équation fondamentale. — Reprenons
l’équation fondamentale, et supposons que la lumière soit
homogène, c’est-à-dire que
ait la forme particulière :
![{\displaystyle \xi =\xi _{1}\cos pt+\xi _{2}\sin pt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b588cbd4261f28a466bc7e60c73174489e6c0206)
ne dépendant que de
Comme l’équation
fondamentale ne contient pas le temps, l’expression suivante, obtenue
en changeant
en
vérifiera aussi l’équation
![{\displaystyle \xi =\xi _{1}\sin pt-\xi _{2}\cos pt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203829f332fd31acc2b3ce6aaf59e10549438f94)
et, l’équation étant linéaire, elle admettra encore comme
solution :
![{\displaystyle (\xi _{1}-i\xi _{2})e^{{\sqrt {-1}}pt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a834d6c0f324ce22e7d31658b86626f0ad5f02f4)
expression obtenue en ajoutant à la première solution la
seconde multipliée par ![{\displaystyle {\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da194323c439613b39681de03cc44f9631987c32)
La valeur de
correspondant au phénomène physique sera
la partie réelle de cette dernière solution.
Posons :
![{\displaystyle \xi _{1}-{\sqrt {-1}}\xi _{2}=\xi _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04d243c867e461a42789955bb17e35e9c8c0fda)
Alors :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi _{0}e^{{\sqrt {-1}}pt}}{dt^{2}}}=-p^{2}\xi _{0}e^{{\sqrt {-1}}pt}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b71aec6752b277f85c8118f5296b83d8b07f313)
Remplaçons dans l’équation fondamentale
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}\Delta \xi ={\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e5ace962b77f620446a71e5af5a2a535dbeeac)
et supprimons le facteur
il vient :
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}\Delta \xi _{0}=-p^{2}\xi _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938ac1ee5cad8932ff2f958bf941ddd2fc71431f)
ou :
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi _{1}&=-p^{2}\xi _{1}\\[1ex]\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi _{2}&=-p^{2}\xi _{2}\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49609751d4045f3bd952cd80b29b29fafab5c214)
Posons, pour abréger,
ceci pourra s’écrire :
![{\displaystyle \Delta \xi +\alpha ^{2}\xi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769b1f2ad5e1a3814af5b6f615a4c42589b12839)
Nous avons ainsi à considérer deux équations. Ces équations
rappellent par leur forme celle de Laplace
qui définit
le potentiel newtonien.
90. Nous allons tâcher de faire ressortir les relations qui
peuvent exister, en raison de cette analogie, entre les fonctions
et le potentiel newtonien.
À cet effet, supposons que
ne dépende que de
et de
étant défini par l’égalité :
![{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba79a34348a3f1af1c2efa2118a9b8686fb1545)
D’après une transformation bien connue :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\left({\frac {d^{2}\xi }{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\xi }{dr}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85fefd75f772f32884cb8202ddf062ddf10f771)
En posant
cette équation se ramène à la forme de
l’équation d’une corde vibrante :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dr^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e0e7e640e472a80d52118ad15a1ed446b740c4)
dont l’intégrale générale est, comme on le sait :
![{\displaystyle \varphi =f(r-\mathrm {V} t)+f_{1}(r+\mathrm {V} t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda0239085877c07233730983545803959ae89c3)
Par suite :
![{\displaystyle \xi ={\frac {f(r-\mathrm {V} t)}{r}}+{\frac {f_{1}(r+\mathrm {V} t)}{r}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb68b9917ef89566242498659b1bcf1623b0d326)
D’après la forme de l’équation différentielle,
et
en sont
des solutions particulières.
Nous avons supposé que :
![{\displaystyle \xi _{0}=\xi _{0}e^{{\sqrt {-1}}pt}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211afb9b550d37c8ddf21bc5e13790c1e8a84ca9)
Pour qu’il en soit ainsi, comme
est seulement fonction
de
il faut que
se réduise à
ce qui exige que :
![{\displaystyle f(r-\mathrm {V} t)=e^{-{\sqrt {-1}}{\frac {p}{\mathrm {V} }}(r-\mathrm {V} t)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb9b4ee257ecc3ef2f73be27c231e3ab6926685)
comme on a :
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{-{\sqrt {-1}}{\frac {p}{\mathrm {V} }}r}&=e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\\[1ex]f(r-\mathrm {V} t)&=e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}e^{{\sqrt {-1}}\,pt}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0186784be8cb6aaf2743b2d131faea9298ead2)
D’où :
![{\displaystyle \xi ={\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}e^{{\sqrt {-1}}\,pt}}{r}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0335a8d42e800f45eaca962ce6c8893308bfceba)
Cette expression vérifie l’équation :
![{\displaystyle \Delta \xi +\alpha ^{2}\xi =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09bb5ca0ba42a2b90ea443c94d3c4ba38e8bfe2b)
il en est de même de la fonction :
![{\displaystyle \xi _{0}={\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e624e43c12e8b0931efcb7df2fdf1a19d35975d3)
et de la suivante :
![{\displaystyle \xi _{1}={\frac {e^{+{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5dde16492d2c084a5773efe4952791b84a964f)
obtenue en changeant
en
puisque l’équation ne
contient que ![{\displaystyle \alpha ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74634cf2918e42f7ff1500ba66072c926c24e23b)
Enfin les parties réelles et imaginaires de
et
sont séparément
des solutions, ce qui nous conduit finalement aux solutions :
![{\displaystyle \xi ={\frac {\cos \alpha r}{r}}\qquad \quad \xi ={\frac {\sin \alpha r}{r}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd97e3a905a0e7cbfbf2ee12d3beff47b39397e2)
La seconde de ces fonctions présente une circonstance particulière,
qui doit fixer notre attention. Tandis que toutes les
autres deviennent infinies pour
celle-ci reste finie et
égale à
pour
de plus,
est très petit
pour
très grand.
Il semble donc que nous puissions satisfaire à toutes les
conditions du mouvement lumineux en prenant :
![{\displaystyle \xi ={\frac {\sin \alpha r\,\cos pt}{r}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50b9bdd39a070e3962a66cd8ceefa9c1b117c72)
Or, si la fonction était ainsi représentée à l’origine du temps,
le mouvement lumineux se continuerait indéfiniment sans
exiger l’intervention d’une énergie étrangère. Cette conséquence
nous avertit immédiatement que les solutions de cette
forme ne peuvent convenir à la question. Nous reviendrons
plus loin sur ce point.
91. Reportons-nous à la solution :
![{\displaystyle \xi ={\frac {f(r-\mathrm {V} t)}{r}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9192a6f6b6e52fd6309582aa67e0b65c0468fe)
Soient un certain nombre de points fixes ayant pour coordonnées
Soient
les distances du point mobile
à chacun de ces
points fixes.
Nous aurons comme solutions particulières de notre équation :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1}&={\frac {f_{1}(r_{1}-\mathrm {V} t)}{r_{1}}}\\[1.25ex]\xi _{2}&={\frac {f_{2}(r_{2}-\mathrm {V} t)}{r_{2}}}\\\dots &\dots \dots \dots \dots \dots \\[1ex]\xi _{n}&={\frac {f_{n}(r_{n}-\mathrm {V} t)}{r_{n}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28589ce27697cb7fe7c82da327fb0b118b4685cc)
L’équation étant linéaire, la somme de ces fonctions sera aussi une solution :
![{\displaystyle \xi =\left.\sum \right._{0}^{n}{\frac {f_{i}(r_{i}-\mathrm {V} t)}{r_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba2f1a7d9e25e06e35c3012595427c3082b9127)
L’équation de Laplace
![{\displaystyle \Delta \xi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92eb89c24f13ef0e5dd2b98d4d7d582bba56c779)
admet comme solutions :
![{\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}},\;{\frac {1}{r_{2}}},\cdots \;{\frac {1}{r_{i}}},\cdots \;{\frac {1}{r_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0b433d2ae7d64c8164bc30170913af386c6179)
et par conséquent :
![{\displaystyle \xi =\left.\sum \right._{0}^{n}{\frac {m_{i}}{r_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69a64bab6c3d7c52251022d79b0794b0cdfa755)
Quelles que soient les constantes
est alors le potentiel
des masses
situées aux points
![{\displaystyle (x_{n},\,y_{n},\,z_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc5546599e96aa0e92e214ae7d2c07f1a96fa58)
Nous voyons que l’analogie est complète.
Nous pouvons dire en effet qu’aux points fixes se trouvent
des masses attirantes, la loi d’attraction étant telle que le
potentiel soit représenté par :
![{\displaystyle \xi =\left.\sum \right._{0}^{n}{\frac {f_{i}(r_{i}-\mathrm {V} t)}{r_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba2f1a7d9e25e06e35c3012595427c3082b9127)
92. Dans l’étude du potentiel newtonien, on passe du potentiel
d’une masse attirante isolée à celui d’un volume attirant
et d’une surface attirante ; ces potentiels vérifient encore
l’équation de Laplace.
Nous allons procéder de même :
Soient
les coordonnées du point mobile,
celles du point attirant,
leur distance :
![{\displaystyle r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e1265996b6ff352157d572ad606b57ca25b7613)
Soit
l’élément de volume attirant dont le centre de gravité
est au point
Considérons l’expression :
![{\displaystyle \xi =\int {\frac {f(x',\,y',\,z',\,t-{\dfrac {r}{\mathrm {V} }})}{r}}\,d\tau ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/683d1bdb869828feae68030ee16c351b911f1342)
la somme étant étendue à tous les éléments du volume attirant.
L’élément
est multiplié par une fonction de
cette fonction variant d’ailleurs d’un élément à l’autre, puisqu’elle
dépend de
Posons pour abréger :
![{\displaystyle \varphi ={\frac {f(x',\,y',\,z',\,t-{\dfrac {r}{\mathrm {V} }})}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3c3e186fab154883087f69b4f60ff8333530df)
il vient :
![{\displaystyle \xi =\int \varphi \,d\tau '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d1b0f8c70e69afac010c81473a069d45ebfbdc3)
vérifiera la relation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7021fd130999607c593b37958a838e9ed23ca7)
En effet
dépend des coordonnées
et
et
aussi de
mais, si pour un moment nous laissons les coordonnées
constantes,
sera seulement une fonction
de
divisée par
Si le point
est extérieur au volume attirant,
reste fini et nous aurons :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\int {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,d\tau ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0679440a9beb03c031b86ea4ae1ec31cf7777b7)
puisque nous pourrons différencier sous le signe
De même :
![{\displaystyle \Delta \xi =\int \Delta \varphi \,d\tau '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169e7e3f59c176b0c25a7d1ad2feb5df2536af2f)
et par conséquent :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5284402a0d06a987c3c5f7512e7a5179b258a84f)
Donc
satisfait à l’équation fondamentale en dehors du
volume attirant, tout comme le potentiel newtonien satisfait
à l’équation de Laplace.
93. À l’intérieur du volume attirant le potentiel ne vérifie
plus l’équation de Laplace, mais celle de Poisson.
Pour savoir ce que devient
etc., à l’intérieur du
volume attirant, nous ne pouvons plus différencier sous le
signe
parce que
devient infini pour
Posons :
![{\displaystyle \varphi _{1}={\frac {f(x',\,y',\,z',\,t)}{r}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c94d96206e2510f6d450615fa74a962edc7d2d)
La différence
ne deviendra plus infinie pour
puisque le numérateur s’annule en même temps que le dénominateur.
![{\displaystyle \xi _{1}=\int \varphi _{1}\,d\tau '=\int {\frac {f(x',\,y',\,z',\,t)}{r}}\,d\tau '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471430a61fd2a2099728a6325225da15598e0e43)
représente le potentiel newtonien du volume, rempli d’une
matière attirante dont la densité (variable avec le temps)
serait ![{\displaystyle f(x',\,y',\,z',\,t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917179889174acb49005ec3bc7af3eb4f68f3326)
Par suite, l’équation de Poisson nous donne :
(1)
|
|
|
(2)
|
|
|
Considérons l’expression :
![{\displaystyle \xi -\xi _{1}=\int (\varphi -\varphi _{1})\,d\tau '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247c72d368af31ad6f17ba9e2ce9a4e0793d824a)
Comme
reste fini, nous pouvons différencier sous le
signe
et écrire :
(3)
|
|
|
![{\displaystyle \Delta \xi -\Delta \xi _{1}=\int \left(\Delta \varphi -\Delta \varphi _{1}\right)d\tau '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1eb222eadc24f779a8eddf89481266cd4e2f5bf)
Or :
![{\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54dea63fa21d483db1c6c7ec26c4af80347b9c7)
et
![{\displaystyle \quad \Delta \varphi _{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff472e5ccef5aeaed7c853322efa00259319023)
D’où :
(4)
|
|
|
Ajoutons membre à membre (1) et (3) d’une part, (2) et (4) de l’autre :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\int {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,d\tau '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8e038c80279364c050846c35d5b3187e705e57)
![{\displaystyle \Delta \xi ={\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}\int {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,d\tau '-4\pi f(x',\,y',\,z',\,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1719fca5a128c6a8a43b88cbcf75dd5ea45d40c3)
relation qui est la généralisation de l’équation de Poisson et
qui peut s’écrire encore :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi +4\pi \mathrm {V} ^{2}f(x',\,y',\,z',\,t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362db93fae9dee1a94446741244416c6abfdd2cb)
94. La même généralisation peut se faire dans le cas d’une
surface attirante.
Soit
l’élément de surface ayant pour coordonnées
![{\displaystyle \xi =\int {\frac {f\left(x',\,y',\,z',\,t-{\dfrac {r}{\mathrm {V} }}\right)}{r}}\,d\omega '=\int \varphi \,d\omega '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eff9f130d212045b1da1d6ef248864691241748)
En dehors de la surface attirante,
satisfait à l’équation
fondamentale et est continu ainsi que ses dérivées. Sur la
surface même, le potentiel newtonien est continu quand on
traverse la surface, mais non sa dérivée
En deux points infiniment voisins situés sur une même normale,
mais, de part et d’autre de la surface, les valeurs de
diffèrent de
étant la densité superficielle.
Posons :
![{\displaystyle \xi _{1}=\int {\frac {f(x',\,y',\,z',\,t)}{r}}\,d\omega '=\int \varphi _{1}\,d\omega ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de3ac1015be18995c75e2b207e7cc89f2577900)
sera le potentiel newtonien de la surface supposée recouverte
d’une masse attirante ayant pour densité ![{\displaystyle f(x',\,y',\,z',\,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4725bf4ef51e74099a1e3f6f6bf8490869a4bcfa)
![{\displaystyle \xi -\xi _{1}=\int (\varphi -\varphi _{1})\,d\omega '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a94ca3d27ef2047dea68b57e5712e0a9b9bce7)
demeure fini pour
par conséquent
est
continu ainsi que ses dérivées, puisque
et
sont
continus ; il en est de même de leur somme ![{\displaystyle \xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301954fda87cb533b5ff06a995680fb94c521266)
D’autre part
![{\displaystyle {\frac {d\xi }{dn}}={\frac {d(\xi -\xi _{1})}{dn}}+{\frac {d\xi _{1}}{dn}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09aff91a97164089c206145107b8c7d59e61ce97)
Or
est continu ; mais
est discontinu et, quand
on franchit la surface, subit un saut brusque de
il en sera donc de même de
Cette remarque a une grande importance au sujet de
l’application du principe de Huyghens, et donne tort à Poisson
dans sa controverse avec Fresnel. Poisson voulait en effet que
les équations appliquées au cas d’un point extérieur fussent
aussi valables pour un point intérieur, exigence qui ne peut
se justifier. Poisson aurait dû d’autant moins tomber dans
cette erreur que lui-même avait montré que le potentiel d’une
sphère n’est pas représenté par la même fonction en dehors
et en dedans de la sphère.
On sait que les fonctions qui vérifient l’équation de Laplace
jouissent des propriétés suivantes (principe de Dirichlet) :
Étant donnée une surface fermée, si une fonction s’annule
sur toute la surface et satisfait en tout point extérieur à l’équation de Laplace, cette fonction est identiquement nulle.
Si la fonction doit prendre sur la surface des valeurs données
il y aura une fonction et une seule satisfaisant à cette condition.
Cette propriété ne peut être étendue aux solutions de l’équation :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\alpha ^{2}\Delta \xi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622e3f41459d02ab376aa504439bcdb882cf00d9)
En effet, prenons par exemple la fonction
Cette fonction
vérifie l’équation, elle s’annule sur la sphère
et
cependant n’est pas nulle identiquement.
Pour que le principe de Dirichlet pût se généraliser, il faudrait
que
fût négatif.
95. Envisageons maintenant l’équation
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\Delta \xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92586d53621628a9844fe7c842c2421d0176c85a)
Considérons un volume limité par une surface fermée, sur
laquelle on ait constamment
supposons que pour
et
la fonction
étant une solution de
l’équation :
sera identiquement nul.
En effet, prenons l’expression :
![{\displaystyle \mathrm {W} ={\frac {1}{2}}\int \left[\left({\frac {d\xi }{dt}}\right)^{2}+\mathrm {V} ^{2}\left\{\left({\frac {d\xi }{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {d\xi }{dy}}\right)^{2}+\left({\frac {d\xi }{dz}}\right)^{2}\right\}\right]\,d\tau ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc70201d0d1ee6e98fb05bee8d45a331423a1b0)
la somme étant étendue à tous les éléments du volume.
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {W} }{dt}}=\int \left({\frac {d\xi }{dt}}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\mathrm {V} ^{2}\sum {\frac {d^{2}\xi }{dx\,dt}}{\frac {d\xi }{dx}}\right)\,d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95e1ed0bf5a1a8c87aa9d6252d05329b6d86dfd)
D’après le théorème de Green,
![{\displaystyle \int \sum {\frac {d\xi }{dx}}{\frac {d^{2}\xi }{dx\,dt}}\,d\tau =\int {\frac {d\xi }{dt}}{\frac {d\xi }{dn}}\,d\omega -\int {\frac {d\xi }{dt}}\Delta \xi \,d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa499aaf74180bfea62520a844f72d081319b066)
Mais sur la surface
et
donc la première intégrale
est nulle et il reste seulement
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {W} }{dt}}=\int {\frac {d\xi }{dt}}\left({\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi \right)\,d\tau ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e028c52cd030ee270dd9f637ccf70ed51b8c0c)
la parenthèse est nulle identiquement ; donc ![{\displaystyle \mathrm {W} =\mathrm {C^{te}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7fe72c350df590d741cefa477dbba5f27f25359)
Pour
est nul par hypothèse.
Par conséquent
est identiquement nul. Comme le coefficient
de
dans
est une somme de carrés, il faut que
chacun de ces carrés soit nul : c’est-à-dire que
![{\displaystyle {\frac {d\xi }{dt}}=0\qquad {\frac {d\xi }{dx}}={\frac {d\xi }{dy}}={\frac {d\xi }{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ed295aa12f5cfd2cf9a5dfb653e6aef69c92c1)
autrement dit que
soit identiquement nul.
Supposons maintenant qu’on donne les valeurs que prennent
et
en chaque point du volume pour
soient par
exemple
et
étant des fonctions des coordonnées
et la valeur de
sur la surface limite :
sera une fonction de
supposons de plus qu’à
l’intérieur du volume
vérifie l’équation :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi =4\pi \mathrm {V} ^{2}f(x,\,y,\,z,\,t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4de6654ba1aa6910cd7651e510282541172a96)
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
étant une fonction donnée.
Le problème est déterminé et il existe une seule fonction
remplissant ces diverses conditions.
Admettons en effet qu’il y en ait deux,
et
de sorte que
pour
![{\displaystyle \xi =\xi _{1}=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0acb13fc26644c7d6e89c027cb665abdceba640c)
![{\displaystyle {\frac {d\xi }{dt}}={\frac {d\xi _{1}}{dt}}=\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc42799342b2032c3d077e6042b4afdf6bae58c0)
sur la surface :
![{\displaystyle \xi =\xi _{1}=\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7d609123279ebb8302659a86b88da963e6e6e0)
et que
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}-\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi _{1}=4\pi \mathrm {V} ^{2}f(x,\,y,\,z,\,t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc2bcc2bf3004a36a20b97b5a1ffcd0fbfeb9021)
Il est facile de voir alors que la fonction
jouit des
propriétés suivantes :
Pour
est nul ainsi que sa dérivée
Sur toute la surface
![{\displaystyle \xi -\xi _{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d7b07619702814da06d4b4d0c9c40fb66fc2387)
et enfin
![{\displaystyle {\frac {d^{2}(\xi -\xi _{1})}{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta (\xi -\xi _{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e04d806e9fead82dab6ea28908c0de5ba9ae0e2)
Cette fonction est donc identiquement nulle et
Il est probable, sans qu’on ait pu encore le démontrer, qu’il
existe toujours une solution.
Si nous considérions le volume extérieur à la surface fermée,
en ajoutant la condition que
soit nul à l’infini, le théorème
serait vrai encore pour ce volume entier.
Il peut donc être étendu à tout l’espace et énoncé comme il
suit :
Théorème. — Si une fonction
vérifie l’équation :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi +4\pi \mathrm {V} ^{2}f(x,\,y,\,z,\,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761ec0d6d236b041ca48d750a7fa2c02ce944b7d)
que pour
on ait en tout point de l’espace
![{\displaystyle \xi =0\qquad {\frac {d\xi }{dt}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec66147abc7766139181adf97955283970b9603)
et que
s’annule à l’infini, cette fonction
est entièrement
déterminée.
96. En écrivant l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f951d836bf10dcb926ccf789dd8a29bf8d86b9b1)
pour représenter le mouvement de l’éther, nous avons supposé
que ce fluide n’était pas soumis à d’autres forces que les
forces d’élasticité, produites par les actions mutuelles des
molécules.
Cette condition n’est plus remplie au point où il existe une
source lumineuse ; d’autres forces s’ajoutent alors aux forces
d’élasticité et il faut ajouter au second membre de l’équation
un terme complémentaire, qui est une fonction arbitraire de
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi +4\pi \mathrm {V} ^{2}f(x,\,y,\,z,\,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761ec0d6d236b041ca48d750a7fa2c02ce944b7d)
ce terme représente l’effet des forces qui produisent le mouvement
lumineux des sources.
Cela étant, nous nous proposons de résoudre le problème
suivant :
Supposons qu’avant l’instant choisi pour origine du temps et à cet instant même, c’est-à-dire pour
tout soit au
repos, autrement dit que pour :
![{\displaystyle t\leq 0,\qquad \xi ={\frac {d\xi }{dt}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f612574b7144f7bdc9435ae62e93d081ab20400a)
et que les forces complémentaires ne recommencent à faire
sentir leur action qu’à partir de l’origine du temps, alors
pour
que, pour
satisfasse à l’équation,
étant une fonction que nous regarderons comme donnée :
étant nul partout, sauf aux sources où cette fonction a une
valeur déterminée — enfin que
s’annule à l’infini. Nous
avons vu que ce problème ne comporte qu’une solution ; il
s’agit de trouver cette solution.
Soient
les coordonnées courantes d’un point,
les coordonnées du centre de gravité d’un élément
du volume occupé par les sources lumineuses,
la
distance de ces deux points.
La fonction
![{\displaystyle \xi =\int {\frac {f\left(x',\,y',\,z',\,t-{\dfrac {r}{\mathrm {V} }}\right)\,d\tau '}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916ce95c2e18bf5d929eec91377c32e297b2bfbe)
la sommation étant étendue à tous les éléments
du volume
occupé par les sources, remplit les conditions demandées ;
est d’ailleurs fonction de
puisque
en dépend.
Nous savons que
vérifie l’équation ; il reste à montrer que
les conditions initiales sont remplies.
Or nous avons supposé que
étant nul pour
mais si
est
il en est de même a fortiori de
,
et
étant essentiellement positifs.
sera donc nul puisque la fonction
sous le signe
est nulle, de même
Au contraire la fonction
![{\displaystyle \xi =\int {\frac {f\left(x',\,y',\,z',\,t+{\dfrac {r}{\mathrm {V} }}\right)}{r}}\,d\tau '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc8eedaa2ce4cb5ad432b74ddde81ab77afc2b1b)
bien qu’elle vérifie l’équation ne peut convenir puisqu’elle ne
s’annule pas pour ![{\displaystyle t\leq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be6e3554d74cd7cf915ae0aaf559ffaf31df519)
97. Supposons maintenant que
[1] soit de la forme :
![{\displaystyle \xi =\xi _{0}e^{{\sqrt {-1}}\,pt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228d83ac7602ec0fc08c499d4ebf8057d2f4ae88)
étant une fonction de
En posant
l’équation fondamentale (première forme) devient :
(1)
|
|
|
Considérons la fonction :
![{\displaystyle \xi =\int {\frac {f(x',\,y',\,z')e^{{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\,d\tau '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31f3962e6012f9f41add64e6c86ba06229c9c4c)
Cette expression représente le potentiel d’une masse attirante
ayant une densité
et la loi d’attraction étant
telle que le potentiel de la masse unité soit
satisfait à l’équation (1) et, comme cette équation ne
dépend que de
il en sera de même de :
![{\displaystyle \xi =\int {\frac {f_{1}(x',\,y',\,z')e^{+{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\,d\tau '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56813aa5241692e291d5497e02aa6b9c95be8562)
La somme
![{\displaystyle \xi =\int {\frac {f(x',\,y',\,z')e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\,d\tau '+\int {\frac {f_{1}(x',\,y',\,z')e^{+{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\,d\tau '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f9ff99ee7a731e2a089ba4d2ef31a4e60d0046)
vérifie aussi l’équation : elle renferme deux fonctions arbitraires ;
il semble donc qu’elle doive convenir à la question. Mais il
n’en est rien, comme nous allons le montrer.
Soit, en effet, une source de lumière homogène ; prenons
pour origine du temps l’instant où commence le mouvement.
Ce mouvement étant périodique, pour
sera de la
forme :
![{\displaystyle f(x',\,y',\,z',\,t)=\varphi (x',\,y',\,z')\,e^{{\sqrt {-1}}\,pt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6954dde6ec5677dc773d9df345051864e59df7)
pour
on a ![{\displaystyle f=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c6fc749ee0eb6189e3942e276869c47dc258b7)
Supposons que
soit assez grand et
assez petit pour que
ou en d’autres termes, que le régime soit établi,
alors :
![{\displaystyle \xi =\int {\frac {\varphi (x',\,y',\,z')\,e^{{\sqrt {-1}}\,p\left(t-{\frac {r}{\mathrm {V} }}\right)}}{r}}\,d\tau '=\int {\frac {\varphi \,e^{{\sqrt {-1}}\,pt}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\,d\tau '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0db65b60ec56bade61edf9d75e3fccd0949049f3)
doit avoir le signe
c’est donc seulement la première
intégrale qui convient à la question. C’est pour cette raison
que la solution
ne convient pas à la question,
ainsi qu’on l’a expliqué plus haut.
Nous étudierons donc en particulier le cas où la loi d’attraction
est telle que le potentiel de la masse
placée au point
soit à une distance
égale à
98. Principe de Huyghens. — En poursuivant l’étude des
analogies que présentent les fonctions
avec le potentiel
newtonien, nous pourrons en déduire, ainsi que l’a fait pour
la première fois Kirchhoff, le principe de Huyghens comme
une généralisation d’une conséquence du théorème de Green.
Rappelons d’abord l’énoncé de ce théorème.
Considérons un certain volume
limité par une surface
fermée
soient
un élément du volume
un élément de la surface
est la distance du point
au centre
de gravité
de l’élément
de la surface qui limite le
volume. Les intégrales doubles doivent être étendues à tous
les éléments
de cette surface ; les intégrales triples, à tous
les éléments
de
Deux cas sont à distinguer :
1o Le point
est extérieur au volume
2o Le point
est intérieur au volume.
Je conviens enfin de désigner par
la valeur de
au point
On a, d’après le théorème de Green :
![{\displaystyle \int \left(\xi {\frac {d\varphi }{dn}}-\varphi {\frac {d\xi }{dn}}\right)\,d\omega =\int \left(\xi \,\Delta \varphi -\varphi \,\Delta \xi \right)\,d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55fe45755b7dabb3ad60baf89e565d84ad08b722)
si les fonctions
et
sont finies et continues ainsi que leurs
dérivées à l’intérieur du volume ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Supposons maintenant que,
jouissant encore de toutes ces
propriétés,
devienne infini en un point
de l’intérieur
du volume, mais de manière que
pour
L’énoncé du théorème doit alors être modifié et il faut écrire :
![{\displaystyle \int \left(\xi {\frac {d\varphi }{dn}}-\varphi {\frac {d\xi }{dn}}\right)\,d\omega =\int \left(\xi \,\Delta \varphi -\varphi \,\Delta \xi \right)\,d\tau -4\pi \xi ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb0485be66e1f63fb7b794d476542b5677813b63)
étant la valeur de
pour ![{\displaystyle r=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104782127065b7cffa391dde1ce19a40e98d2bac)
Pour appliquer ce théorème au cas qui nous occupe, supposons
que
vérifie l’équation :
(1)
|
|
|
et que :
![{\displaystyle \varphi ={\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a630df20e0c9113c458ab2843017d10b605828f5)
étant la distance des deux points
et
on
aura bien :
![{\displaystyle \lim \varphi r=1\;\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7716d5847ae21d8482d32c2be56ea0cb82b73e)
pour
![{\displaystyle \;\;r=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a70bf0d0c5d7698a1a3ab0195f563926ab56a72f)
Nous aurons encore :
(2)
|
|
|
Multiplions (1) par
la seconde par
et ajoutons :
![{\displaystyle \varphi \,\Delta \xi -\xi \,\Delta \varphi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437b9469d3f4495bbb5a4e2ab95d5a0f99c5af6b)
Dans la formule de Green, l’intégrale du second membre
disparaîtra donc, et il restera :
![{\displaystyle \int \left(\xi \,{\frac {d\varphi }{dn}}-\varphi \,{\frac {d\xi }{dn}}\right)d\omega ={\bigg |}_{\displaystyle -4\pi \xi '}^{\displaystyle \;0,}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84cb56687acf4dd6b2d6b3d5669d50af319d8a29)
si le point
est extérieur ;
si le point est
intérieur au volume ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Nous pouvons d’ailleurs écrire, en permutant les accents :
![{\displaystyle \int \left(\xi '\,{\frac {d\varphi '}{dn}}-\varphi '\,{\frac {d\xi '}{dn}}\right)d\omega '={\bigg |}_{\displaystyle -4\pi \xi }^{\displaystyle \;0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2e8f6d623cb44acb05ae626d70bf5c0356a498)
sera la valeur de
au point
centre de gravité de
c’est-à-dire en un point de la surface limite
dépendant de
est fonction à la fois de
et de
99. Le théorème s’applique-t-il encore quand le volume considéré
est la portion de l’espace extérieure à une certaine
surface
Soit
une sphère dont le rayon
soit très grand et puisse
être regardé comme un infiniment grand du premier ordre.
On pourra alors appliquer le théorème au volume
compris
entre la surface
et la sphère
puisque ce volume ne
s’étend pas à l’infini. On aura donc :
![{\displaystyle \int _{\mathrm {S} }\left(\xi '\,{\frac {d\varphi '}{dn}}-\varphi '\,{\frac {d\xi '}{dn}}\right)d\omega '+\int _{\mathrm {S} '}\left(\xi '\,{\frac {d\varphi '}{dn}}-\varphi '\,{\frac {d\xi '}{dn}}\right)d\omega '\!=0\;\mathrm {ou} \,-4\pi \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050f5926ba1095a5db1a24fa260eb83d2b53c907)
la première intégrale est étendue à la surface
et la seconde
à la sphère
Pour que le théorème s’applique à la région
de l’espace extérieure à
il suffit que
![{\displaystyle \lim \int _{\mathrm {S} '}\left(\xi '\,{\frac {d\varphi '}{dn}}-\varphi '\,{\frac {d\xi '}{dn}}\right)d\omega '=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0c7e5cf5915475de002c6ced3fcc5010cb7375)
quand
croît indéfiniment.
Il est clair d’abord que
et
sont des infiniment petits
du premier ordre, et que l’on a en négligeant les infiniment
petits du deuxième ordre :
![{\displaystyle \varphi '={\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{\mathrm {R} }},\quad {\frac {d\varphi '}{dn}}=-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{\mathrm {R} }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95fc4242393e62e523f6138ada3a130b48d4ed1d)
D’autre part nous avons vu à la fin du no 97 que, si
représente la projection sur l’axe des
du déplacement d’une
molécule d’éther, on aura :
(3)
|
|
|
représente un élément de volume occupé par les sources
lumineuses
sont les coordonnées de cet élément ;
est une fonction de
et
la distance de
à
Si le point
est sur la sphère
et que le
rayon de cette sphère soit très grand,
différera très peu de
et il viendra, aux infiniment petits près du deuxième
ordre :
![{\displaystyle \xi '={\frac {1}{\mathrm {R} }}\int \psi e^{{\sqrt {-1}}pt-{\sqrt {-1}}\alpha r}\,d\tau '\,;\;\;{\frac {d\xi '}{dn}}={\frac {-i\alpha }{\mathrm {R} }}\int \psi e^{{\sqrt {-1}}pt-{\sqrt {-1}}\alpha r}\,d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531eb8096e08a6ef3e04e2d4a854036ff4d9fe73)
Car
est égal à
à des infiniment petits près. La quantité
sous le signe
est donc du troisième ordre, et comme la
surface de la sphère est très grande, du deuxième ordre, l’intégrale
tend vers
Le théorème est donc vrai ; mais, pour qu’il
en soit ainsi, il ne suffit pas que
s’annule à l’infini, il faut
encore qu’il soit de la forme (3).
Il en résulte que, si on donne les valeurs de
et de
en tous les points de la surface limite
la formule donne la
valeur de
en un point quelconque du volume
Mais, en
général, il ne sera possible de se donner arbitrairement que
l’un des systèmes de valeurs, soit
soit
parce que ces fonctions sont liées par une relation, exprimant que l’intégrale
est nulle en un point extérieur.
D’ailleurs il est en général impossible de calculer
quand
on donne
100. Mais dans le cas particulier du mouvement de l’éther il
nous sera possible, en profitant de la petitesse de la longueur
d’onde, c’est-à-dire de la grandeur de
de calculer avec une
approximation suffisante
étant donné
Dans le système de coordonnées curvilignes
que
nous avons déjà employé no 88, nous pouvons représenter
par
![{\displaystyle \xi '=\mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}p\left(t-{\frac {w}{\mathrm {V} }}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f71f273607a7ea987eefac1b04aa8de1309604ec)
est une fonction de
dont toutes les dérivées sont
finies ; le second facteur au contraire varie rapidement,
étant
très grand
![{\displaystyle \xi '=\mathrm {A} \,e^{{\sqrt {-1}}\,pt}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f034d8e9b9e5f457cb6921df6b7319b519706a35)
![{\displaystyle {\frac {d\xi '}{dn}}={\frac {d\mathrm {A} }{dn}}\,e^{{\sqrt {-1}}\,pt}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}+\mathrm {A} e^{{\sqrt {-1}}\,pt}\left(-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha w}\right){\frac {dw}{dn}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59fe6bb7c29f7a4d3d888b0d55e150620d48d1cd)
Le facteur
étant très grand, le premier terme peut être
négligé à côté du second et il reste :
![{\displaystyle {\frac {d\xi '}{dn}}=\xi '\,{\frac {dw}{dn}}\left(-{\sqrt {-1}}\,\alpha \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d58de2bea37ca9c2dca285b26f4273c2323437)
Soit
la surface considérée (fig. 13) ; traçons la surface
et la
surface infiniment voisine
— Menons au point
de
l’intersection de
avec
la normale à
soit
le point où
elle rencontre la surface
![{\displaystyle \mathrm {M} \mathrm {M} _{2}=dn\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e4bca373596cedb001942b0fe085658df10c791)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f13.png/320px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f13.png)
Fig. 13.
menons de même la normale
à la surface
:
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\mathrm {MM} _{1}=dw\\[1ex]{\dfrac {dw}{dn}}={\dfrac {\mathrm {MM} _{1}}{\mathrm {MM} _{2}}}=\cos(\mathrm {M_{2}MM_{1}} )=\cos \theta .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e462eff6725070935ee469acbbd6e3c62f4f9af7)
Par conséquent
![{\displaystyle {\frac {d\xi '}{dn}}=\xi '\cos \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e72d74b6df4cfd7e6f905636048b591ee2da47a)
D’autre part :
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\varphi '={\dfrac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}},\\[1ex]{\dfrac {d\varphi '}{dn}}={\dfrac {d\varphi '}{dr}}{\dfrac {dr}{dn}}={\dfrac {d\varphi '}{dr}}\cos \psi ,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49f8d31e4828c65417cd13ed4ba95cdd7710588)
étant l’angle sous lequel la surface
est coupée par la
sphère de rayon
décrite du point
comme centre.
![{\displaystyle {\frac {d\varphi '}{dn}}=-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}-{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r_{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7dd485674d04338aeb46d1a7073c7a0b54180a)
À cause de la grandeur de
le second terme est négligeable
et il reste
![{\displaystyle {\frac {d\varphi '}{dn}}=-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\cos \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a53b34759bda607b498373a195f3e4cc2e6bd0)
Remplaçons dans notre formule :
![{\displaystyle \int \left[\xi '\left(-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\cos \psi \right)-{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\left(-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,\xi '\cos \theta \right)\right]d\omega '={\bigg \{}_{\displaystyle \;0}^{\displaystyle -4\pi \xi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee54b5b3c48ba95dd503867d38e6d506baeb3125)
ou :
![{\displaystyle \int \xi 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,{\frac {d\omega '}{r}}\left(-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,\cos \psi +{\sqrt {-1}}\,\alpha \,\cos \theta \right)={\bigg \{}_{\displaystyle \;0}^{\displaystyle -4\pi \xi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f64383b18667555b3034110a4f27f5ba0413d57)
Dans les applications on choisit toujours pour la surface
la surface de l’onde, la lumière se propageant vers l’extérieur ;
la normale correspondant aux
croissants est dirigée vers
l’extérieur : en général on considère un point de l’espace
extérieur à
se rapporte donc à la normale intérieure
et il faut prendre
ou
![{\displaystyle \int {\frac {-{\sqrt {-1}}\,\alpha \,\xi 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\left(1+\cos \psi \right)}{r}}\,d\omega '={\bigg \{}_{\displaystyle -4\pi \xi }^{\displaystyle \;0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde47e3185c54f8a528d0f963cd443d5c8df8e9d)
relation qui exprime le principe de Huyghens. Comparons en
effet les conséquences de cette relation avec celles du principe
de Huyghens tel que l’applique Fresnel.
101. Fresnel suppose que
est connu sur la surface
par exemple, sous la forme :
![{\displaystyle \xi =\varphi (x',\,y',\,z')e^{{\sqrt {-1}}\,pt};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2902edacde82057b8935ce44db63f89597625d19)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f14.png/200px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f14.png)
Fig. 14.
il considère ensuite les points de
comme des centres d’ébranlement
et se propose de calculer quel
sera l’ébranlement en un point
extérieur (fig. 14).
À cet effet, il admet que
l’ébranlement provenant de l’élément
de coordonnées
situé sur
est représenté au point
par :
![{\displaystyle \varphi (x',\,y',\,z')\,e^{{\sqrt {-1}}\,p\left(t-{\frac {r}{\mathrm {V} }}\right)}\,d\omega '\,{\frac {f(\psi )}{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e64ff8826751bab83d159156b27e3d3acfd9780)
il suppose ainsi que l’amplitude de l’ébranlement varie comme
l’inverse de la distance
du point
au point
et
de plus varie avec la direction
suivant une certaine fonction
de l’angle
que fait la normale à
avec ![{\displaystyle \mathrm {MP} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/086f513e1b312b6b1bde7e9d1255368b7584c4ee)
Fresnel ne fait d’ailleurs aucune hypothèse sur la forme de
cette fonction
il suppose seulement qu’elle passe par un
maximum pour
à cause de la petitesse de
le
résultat sera d’ailleurs indépendant de la forme de
Enfin pour avoir l’ébranlement total, Fresnel fait ensuite la
somme des ébranlements partiels ; cette somme peut s’écrire :
![{\displaystyle \xi =\int {\frac {f(\psi )\,\xi '\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,d\omega '}{r}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a358838fe833ac53dab38549a84f3e7918fc9d)
En effet :
![{\displaystyle \varphi (x',\,y',\,z')e^{{\sqrt {-1}}\,p\left(t-{\frac {r}{\mathrm {V} }}\right)}=\xi 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93fa118e6de2f135db7d2d8ef20d1e1c6bb23f4)
Pour identifier cette expression de
avec celle que nous
avons trouvée, il suffit d’y faire :
![{\displaystyle f(\psi )={\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{4\pi }}\left(1+\cos \psi \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7419d6cb61320b570a8cd7ea2f2c16aff6bb04ed)
Seulement il faut bien remarquer que cette formule n’est
valable que pour un point extérieur à la surface, c’est-à-dire
faisant partie du volume
considéré ; en un point qui ne
ferait pas partie de ce volume l’intégrale serait nulle.
Reste maintenant à calculer cette intégrale, ce qui exige la
connaissance de
Fresnel suppose que
est nul sur l’écran et a même valeur
aux autres points que si l’écran n’existait pas ; qu’à l’intérieur
de
l’intensité a aussi même valeur qu’en l’absence de l’écran,
enfin que les conditions à remplir ne dépendent pas de la
nature de ce dernier.
Posons pour abréger :
![{\displaystyle \xi '(1+\cos \psi )=\mathrm {X} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bcf4caa79fd21e0d4b3a2ea18044cb4d5e4fb58)
Il faut calculer
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {X} 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}\,d\omega '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e83d8d6994d75098aeca1726fcd17c3bb2e31b1)
Du point
comme centre décrivons une sphère de rayon
qui coupe la surface
suivant une certaine courbe
puis
une autre de rayon
qui coupera
suivant une courbe
infiniment peu différente
entre ces deux courbes se trouve une bande infiniment mince. Considérons l’intégrale :
![{\displaystyle \int \mathrm {X} '\,d\omega '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c370f5d1217317c04b9d78ea87079766003e2fa8)
étendue à tous les éléments de cette bande ; cette intégrale
sera infiniment petite, soit
peut être considéré comme
une constante pour tous les éléments de cette bande. Il
viendra alors :
![{\displaystyle \int \mathrm {X} '\,d\omega '\,{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}=\int r\,\sigma \,dr\,{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r}}=\int \sigma '\,e^{{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb196a3f4b15d0e3d2191dbdd79d696b2f5e5be)
102. Dans ce qui suivra nous prendrons en général comme
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7b/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f15.png/280px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f15.png)
Fig. 15.
surface limite
une surface de l’onde, et la plupart du temps
nous supposerons cette
onde sphérique.
Soit donc
le centre
de cette onde (fig. 15),
le point considéré
ses coordonnées,
le
centre de gravité de
ses coordonnées ;
sera la distance
et
l’angle que fait la normale
à la sphère avec
Joignons
cette droite rencontre la sphère aux points
et
Si nous décrivons du point
comme centre, comme
tout à l’heure, deux sphères de rayon
et
les deux
courbes
se réduiront à deux petits cercles de la
sphère
ayant pour pôle
et que nous appellerons pour
abréger cercles
et
Ces deux petits cercles limiteront une bande infiniment mince et nous aurons
![{\displaystyle \sigma \,r\,dr=\int \mathrm {X} '\,d\omega ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07ea120b47c05e4d67bf2d05554db4008118414)
l’intégrale étant étendue à tous les éléments de la bande.
Faisons un changement de coordonnées et prenons pour
déterminer la position d’un point de la sphère
sa distance
au point
et l’angle
que fait le plan
avec un plan fixe passant aussi par
Menons par
deux plans infiniment voisins
et
ces deux plans coupant la sphère suivant deux méridiens passant
par
et
Ces deux méridiens et les deux parallèles
et
découpent sur la sphère un petit quadrilatère
qui sera l’élément
Un calcul très simple montre que
![{\displaystyle d\omega '={\frac {\mathrm {R} }{a}}\,r\,dr\,d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfbb1406c93c67ecb41aeb5b431053cd5d5dbcb)
étant le rayon de la sphère et
la distance
Par conséquent
![{\displaystyle \sigma ={\frac {\mathrm {R} }{a}}\int \mathrm {X} \,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a010691b5bbcf3b1ead831bb8bd01af98ec2ac1f)
Il faut maintenant fixer les limites de cette intégrale.
Si la sphère est entièrement éclairée, il faut intégrer entre
et
S’il y a un écran, deux cas peuvent se présenter : ou bien le
cercle
est entièrement éclairé, et alors il faut intégrer encore
entre
et
ou bien le cercle
est en partie sur l’écran et
il faut intégrer entre les valeurs de
et
qui
correspondent aux bords de l’écran.
Supposons que nous ayons calculé
: nous avons
![{\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{4\pi }}\int \sigma e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8f0dd2eb87c2a1a97ebd0ed63a1e8a67d0a9bd)
Intégrons par parties en remarquant que
![{\displaystyle {\begin{array}{c}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr=-\ d{\dfrac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{{\sqrt {-1}}\,\alpha }}\\[1ex]\xi =-{\dfrac {\sigma }{4\pi }}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}+\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int \sigma 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053415e5b716eff808fb972ccc18bb1f99b20878)
où
![{\displaystyle \sigma '={\frac {d\sigma }{dr}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fff10fc28a68fcb4a2af88f44fdb55f333cfffc)
Pour calculer la valeur du terme intégré, il faut savoir
quelle est la plus petite valeur que puisse prendre
Deux cas
peuvent se présenter :
1o Le point
est sur la partie éclairée de la sphère : la
limite inférieure de
est alors
D’autre part, dans l’expression
![{\displaystyle \sigma ={\frac {\mathrm {R} }{a}}\int \mathrm {X} \,d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a34e6290d05a623bcc7deaa05d0e9b5c2227a7)
on peut regarder
comme une constante sur le cercle
et il
vient :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\frac {\mathrm {R} }{a}}\mathrm {X} \int _{0}^{2\pi }\!\!d\varphi =2\pi {\frac {\mathrm {R} }{a}}\mathrm {X} \\[1ex]&=2\pi {\frac {\mathrm {R} }{a}}\xi '_{0}(1+\cos \psi ).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a35c10effd9fbfada6451fb2582c5aab11cc72)
Or au point
et
ce qui donne en définitive
![{\displaystyle \sigma =4\pi {\frac {\mathrm {R} }{a}}\xi '_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d357fceb9c80f1792d667779471cc32dffbcfe)
À la limite inférieure, le terme tout connu se réduit donc à :
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {R} }{a}}\,\xi '_{0}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c39800ec0c54f0fae23fefb1b9440f048ae7c29)
2o Le point
est sur l’écran,
est la plus courte distance
de
au bord de l’écran ; pour
le cercle
est tout entier sur l’écran et
pour
il y a
au contraire un arc infiniment petit du cercle sur la portion
éclairée ;
est infiniment petit et tend vers
en même temps
que
le terme tout connu est donc nul à la limite inférieure.
Il faut faire la même discussion pour la limite supérieure
En effet, si la sphère est entièrement éclairée ou au moins si
le point
est sur la partie éclairée,
et
![{\displaystyle \sigma =2\pi \,{\frac {\mathrm {R} }{a}}\,\mathrm {X} =2\pi \,{\frac {\mathrm {R} }{a}}\,\xi '_{0}\,(1+\cos \psi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b7c45b161b27ceb9ea39d5de145c2c098c4b298)
seulement au point
on a
![{\displaystyle \psi =\pi \qquad \qquad \cos \psi =-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094a57842d6fe610b91be521823f0b091744d211)
et par suite
est nul.
Si
est sur l’écran,
est la plus grande distance de
au
bord de l’écran ; pour
il y a sur la partie éclairée
un arc infiniment petit du cercle
cet arc tend vers
en même temps que
Donc à la limite supérieure
est encore
nul. — Ces résultats s’étendent aux cas où la surface limite
n’est pas une sphère ; quand le point n’est pas sur l’écran,
on trouve en appelant
et
les centres de courbure
principaux situés sur la normale
![{\displaystyle \sigma =4\pi \xi '_{0}{\sqrt {\frac {\mathrm {QC} _{1}.\mathrm {QC} _{2}}{\mathrm {PC} _{1}.\mathrm {PC} _{2}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8613f03600cbcea15c40627e8cd51c3a733a47c)
103. Revenons au cas de la sphère. — Il résulte de ce qui
précède que le terme tout connu est nul à la limite supérieure,
qu’à la limite inférieure il est nul si le point
est sur l’écran,
et si le point
n’est pas sur l’écran, il est égal à
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {R} }{a}}\,\xi '_{0}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4253ba89855c640bb9e4d2e5cb0fcd305ba191)
En général l’intégrale du deuxième membre est négligeable,
et on a simplement
![{\displaystyle \xi ={\frac {\mathrm {R} }{a}}\,\xi '_{0}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829d877873e88f51d6178c837fd992d4b473a185)
Dans ces conditions,
a donc la même valeur au point
qu’au point
au facteur près
qui exprime la variation de l’amplitude avec la distance
et la différence
de phase
on trouve par conséquent la même valeur
de
que dans la théorie géométrique des ombres.
— Si le point
est à l’intérieur de la sphère,
est nul au
point
et au point
car en chacun de ces points
et
donc
et
104. Puisqu’on négligeant l’intégrale
![{\displaystyle \int \sigma 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c7f9eee74643c9a53eebe77a49b47d21ab9df5)
nous retrouvons les propriétés géométriques des ombres, c’est
cette intégrale qui doit représenter l’influence des phénomènes
de diffraction.
L’intégration doit être effectuée entre les limites
et
Nous partagerons cet intervalle en intervalles partiels :
dans les uns,
restera fini ; dans les autres
deviendra très
grand de l’ordre de
Nous pourrons négliger les intervalles
où
reste fini, comme nous allons le montrer.
Soit en effet
un de ces intervalles, nous pouvons
toujours admettre que
varie constamment dans le même
sens, c’est-à-dire que
conserve toujours le même signe,
sans quoi nous n’aurions qu’à subdiviser l’intervalle
en
intervalles partiels où ce signe ne changerait pas.
Intégrons par parties :
![{\displaystyle \int \sigma '\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr=-{\frac {\sigma '\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{{\sqrt {-1}}\,\alpha }}+{\frac {1}{{\sqrt {-1}}\,\alpha }}\int \sigma ''\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f435aa8ba7d772a1e4da438983ffcec41931292)
Le terme intégré est négligeable : en effet
est
est fini ; le rapport
est négligeable, puisque
est très grand ; d’autre part puisque
a toujours le même signe :
![{\displaystyle \int \sigma ''e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr<\int \sigma ''\,dr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e27ae21694cfdd632fdeb6f978fedd2e43875bba)
ou
![{\displaystyle \int \sigma ''e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr<\sigma '_{3}-\sigma '_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a18c1cbe4b645e5fc3581dbd511de08d4a529c)
cette quantité est finie, son quotient par
est donc négligeable.
Il nous suffira par conséquent de tenir compte des intervalles
où
devient très grand, du même ordre de grandeur que ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Représentons le bord de l’écran : soient
les points
où le cercle
rencontre ce bord (fig. 16),
les valeurs de
et de
en
,
ces valeurs en
Nous aurons :
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f16.png/240px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f16.png)
Fig. 16.
Donnons à
un accroissement
nous obtenons le cercle
qui rencontre le bord de l’écran
en
et
la valeur de
en
sera
et en
Appliquons la règle des variations sous le signe
![{\displaystyle {\frac {a}{\mathrm {R} }}\,\sigma '=\int {\frac {d\mathrm {X} }{dr}}\,d\varphi +\mathrm {X} _{1}\,{\frac {d\varphi _{1}}{dr}}-\mathrm {X} _{2}\,{\frac {d\varphi _{2}}{dr}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1991e604ef6f0ca235668aaa357e28e6a236baf)
Nous ne savons pas comment varie
mais nous admettrons
que
varie très lentement le long de la surface, puisque
la phase doit rester la même ;
sera fini et aussi
ce
terme sera négligeable, puisque nous ne considérons que les
intervalles où
est très grand et que nous pouvons par conséquent
négliger dans l’expression de
les termes qui sont
seulement de grandeur finie.
Supposons qu’on parcoure le bord de l’écran dans le sens
indiqué par la flèche ; soit
l’arc décrit dans ce sens :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\mathrm {M'_{2}M_{2}} }}&=ds_{2}\\{\overline {\mathrm {M_{1}M'_{1}} }}&=ds_{1}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0964f75bf51c88e92b08098554890304c6b4bd)
Quand on marche dans le sens de la flèche,
diminue de
augmente de ![{\displaystyle d\varphi _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63449b9bd3cd04db0b5a21d0aaf41147ab5b79b2)
Posons
![{\displaystyle \varphi '={\frac {d\varphi }{ds}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e50db91195f4839ad3f96464c1502f2643c960)
et soient
et
les valeurs de
respectivement
aux points
et ![{\displaystyle \mathrm {M} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50176ce7d9cda57dc2b0647f64248d634cc5081d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\varphi _{1}&=\varphi _{1}'\,ds_{1}\\d\varphi _{2}&=\varphi _{2}'\,ds_{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4edd8463b81c9f0decdba237f8a8619be20d6617)
et en substituant il viendra :
![{\displaystyle {\frac {a}{\mathrm {R} }}\,\sigma '=\mathrm {X} _{1}\,\varphi _{1}'\,ds_{1}+\mathrm {X} _{2}\,\varphi _{2}'\,ds_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c6e2573ef3ac3e18038b0da51d52d54344f7c5)
et en multipliant par
et intégrant :
![{\displaystyle {\frac {a}{\mathrm {R} }}\int \sigma 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr=\int \mathrm {X} \,\varphi '\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}ds=\int \mathrm {X} \,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee0fd44b1fdaeb25b7e631b3c5fa0862daf8d14)
cette intégrale étant comptée le long du bord de l’écran et
seulement dans les intervalles où
est du même ordre de
grandeur que ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Supposons donc que
soit un arc tel que
et par conséquent
soit de l’ordre de
il faut voir si l’intégrale
![{\displaystyle \int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\mathrm {X} e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34435a99823ef6d19eacb1732d61fee1f086a51b)
sera finie ou non.
Admettons que
varie toujours dans le même sens, de
à
et aille par exemple en croissant :
sera
reste inférieur à
une certaine quantité finie
est
Donc
![{\displaystyle \int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\mathrm {X} e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,d\varphi <\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\mathrm {L} \,d\varphi =\mathrm {L} (\varphi _{2}-\varphi _{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37f216852054c287b0855c239c1f9a0ccbca9b5)
Par conséquent, deux conditions sont nécessaires pour que
l’intégrale soit finie :
1o
doit être de l’ordre de
de l’ordre de
ou de la
longueur d’onde
2o
c’est-à-dire l’angle sous lequel l’arc
est
vu de
doit être fini.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f17.png/160px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f17.png)
Fig. 17.
Deux cas peuvent se présenter :
1o L’arc
est fini : comme
doit
être sensiblement constant, il faut que
diffère peu d’un arc de cercle ;
2o L’arc
est infiniment petit ; pour
qu’il soit vu de
sous un angle fini
(fig. 17), il est nécessaire alors que cet
arc passe très près du point
et par suite
que la droite
passe très près du bord de l’écran.
105. Supposons que ces dernières conditions soient remplies.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bd/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f18.png/280px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f18.png)
Fig. 18.
Nous pourrons prendre
seulement les portions de
l’écran voisines de
qui
ont seules de l’influence,
réduire la sphère à son plan
tangent et le cercle
à
une droite ; enfin, puisqu’on
ne s’éloigne pas de
considérer
comme une constante,
par exemple
Menons
perpendiculaire sur le bord de l’écran (fig. 18).
Posons :
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}\mathrm {QH} =\delta &&\mathrm {MH} =x&&{\widehat {\mathrm {MQH} }}=\varphi \\[1ex]&&\varphi =\mathrm {arc~tg} \,{\dfrac {x}{\delta }}\cdot &&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ddd43f0b0f786bc842368ca2b729830a1e6c5d)
Comme, dès qu’on s’écarte tant soit peu de
les portions
situées au-delà n’ont pour ainsi dire plus d’influence, il reviendra
au même de conserver les limites précédentes ou bien,
ce qui sera plus commode, de prendre comme limites
et
ou
et
Nous aurons ainsi à calculer
![{\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7e36057683696fcaab0e8bfa8f92b71982fc85)
Soit
![{\displaystyle r={\sqrt {r_{0}^{2}+x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bba26753d20b953d4a759a7495716b9b2f35431)
Comme
est très petit, nous pouvons développer le second
membre, en nous bornant aux deux premiers termes :
![{\displaystyle r=r_{0}+{\frac {x^{2}}{2r_{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d63c4e43a6f72424be47a7546dfba6777019b20)
d’ailleurs :
![{\displaystyle d\varphi ={\frac {\delta \,dx}{x^{2}+\delta ^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577bf00275db0091e414e100d8912275c91ba6d8)
En substituant dans notre intégrale, elle prend la forme
![{\displaystyle e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{2r_{0}}}\,x^{2}}\,{\frac {\delta \,dx}{x^{2}+\delta ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409ec6190aac19102c77c8e89eabe0975001f285)
c’est l’intégrale de Fresnel. On a vu (1er volume, no 93) comment
on peut lui donner sa forme habituelle ; mais ce n’est
pas celle-là que je veux lui donner ici.
Par une transformation convenable, on retrouve la formule
donnée par M. Gilbert.
Remarquons en effet que la fonction sous le signe
étant paire :
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{2r_{0}}}\,x^{2}}\,{\frac {\delta \,dx}{x^{2}+\delta ^{2}}}=2\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{2r_{0}}}\,x^{2}}\,{\frac {\delta \,dx}{x^{2}+\delta ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad574d26017cc402e3994c23f56eb652529a84ec)
ce qui ramène à calculer
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{2r_{0}}}\,x^{2}}\,{\frac {\delta \,dx}{x^{2}+\delta ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d199ed2f9c026933372b8e3a63a73e5db6d868c9)
décrivant l’axe OA des quantités réelles.
Menons une droite
inclinée à 45° sur
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f19.png/200px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f19.png)
Fig. 19.
et du point
avec un rayon très grand, décrivons
l’arc de cercle
(fig. 19).
Comme à l’intérieur du
secteur
l’intégrale ne
présente aucun point singulier,
il est indifférent de prendre le
chemin direct
ou le chemin
Mais le long de
l’intégrale
est d’autant plus petite
que le rayon
est plus grand, il n’y a donc pas de
différence entre les deux chemins
et
Posons :
![{\displaystyle {\frac {\alpha x^{2}}{2r_{0}}}=-{\sqrt {-1}}\,y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a8b4b99e070f83fbc8622e05cb12911b8b4fd1)
ou :
![{\displaystyle x={\sqrt {-{\sqrt {-1}}}}\,y\,{\sqrt {\frac {2r_{0}}{\alpha }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0acade670db8ac79dee3ba3fbf7300970e40f9)
sera réel quand on ira de
en
l’intégrale s’écrira :
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-y^{2}}\,\delta \,{\sqrt {-{\sqrt {-1}}}}\,{\sqrt {\dfrac {2r_{0}}{\alpha }}}\,dy}{\delta ^{2}-{\sqrt {-1}}\,y^{2}\,{\dfrac {2r_{0}}{\alpha }}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7667e0e08bff4c2aa1a0d92a38cf8de3c6b9b1c1)
Posons enfin :
![{\displaystyle {\frac {2r_{0}}{\alpha \delta ^{2}}}=\beta ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b287c2af02004cc044033ac309b890f0d945a246)
nous trouvons :
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-y^{2}}\,{\sqrt {-{\sqrt {-1}}}}\,\beta \,\,dy}{1-{\sqrt {-1}}\,y^{2}\beta ^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d025b3bcaa55a47d4d6371eb979dade015546ab)
c’est la forme donnée par M. Gilbert aux notations près.
Pour que l’intégrale soit sensible, il faut que
soit très
petit. En effet,
étant en facteur, il est nécessaire que
soit
fini, ce qui exige que
et
soient du même ordre de
grandeur.
doit donc être du même ordre que
ou que
sera de l’ordre de
Comme
est de l’ordre de nos unités habituelles, on voit
que la largeur des franges sera comparable à la racine carrée
de la longueur d’onde.
Si
devient du même ordre de grandeur que
est de
l’ordre de
et
de l’ordre de
ou de
les franges deviennent
donc de plus en plus fines quand on s’approche de l’écran.
106. Principe de Huyghens appliqué aux ondes réfléchies ou réfractées. —
Dans l’étude que nous venons
de faire du principe de Huyghens, nous avons supposé que la lumière partie de la source arrivait au point
sans avoir subi
ni réflexion ni réfraction.
Le principe peut être étendu aux cas où les ondes se sont
réfléchies ou réfractées. Mais dans les applications, il faut
substituer à l’exponentielle
l’exponentielle
où
représente le temps que met la lumière pour aller de la source
au point
en tenant compte des milieux réfringents,
La démonstration peut se faire comme précédemment, mais
elle est plus compliquée, parce qu’il est impossible de séparer
alors les trois composantes
— Nous admettrons donc le
résultat sans répéter la démonstration (la démonstration est
analogue à celle que nous avons donnée dans la Théorie de l’Élasticité, no 50).
107. Correction relative aux lignes focales. —
M. Gouy, dans un récent travail, a montré que dans le calcul
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f20.png/240px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f20.png)
Fig. 20.
de la quantité
il était nécessaire
d’introduire une
correction relative aux lignes
focales. Rappelons ce
que sont les lignes focales.
Soient
la surface de
l’onde,
un point de cette
surface ; la normale à
au
point
sera un rayon lumineux.
Soient
et
les
centres de courbure principaux
situés sur cette normale
(fig. 20) ; considérons les points infiniment voisins de
et le faisceau des normales menées par chacun d’eux. Ce faisceau forme un pinceau de rayons lumineux extrêmement
délié. Un plan perpendiculaire à
détermine dans ce
faisceau une section qui, en général, sera infiniment petite.
Si ce plan passe par
ou par
cette section se réduit à une
ligne infiniment petite qui s’appelle ligne focale. Si les points
et
sont confondus, la section se réduit à un point qui
est un foyer.
La correction à faire est la suivante :
À la différence de phase
résultant de la différence de
marche
il faut retrancher
si l’un des rayons interférents
a passé par une ligne focale ; il faut retrancher
s'il a passé
par un foyer.
M. Gouy a donné une démonstration expérimentale en
répétant l’expérience des miroirs de Fresnel avec un miroir
plan et un miroir concave, les franges observées au-delà du
centre de courbure du miroir présentent une frange centrale
noire.
Il a également donné de ce fait une démonstration analytique
que je vais reproduire avec d’assez grandes modifications.
1. Ondes sphériques. — Considérons une certaine fonction
assujettie aux conditions suivantes :
est nulle pour
toute valeur de
sauf celles comprises entre deux limites
déterminées
et
; de plus
Supposons qu’une fonction
de
et de
soit solution de
l’équation fondamentale
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f951d836bf10dcb926ccf789dd8a29bf8d86b9b1)
que pour
elle se réduise à
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F} (r)}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6f3af1fbd66b2186a45bb086436c9cbe83b8b9)
et par suite soit nulle pour toute valeur de
non comprise
entre
et
que pour
on ait
![{\displaystyle {\frac {d\xi }{dt}}=\mathrm {V} \,{\frac {\mathrm {F} '(r)}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b0d72fe4fc4a5b0936e77c3761bb3e5ab63122)
enfin que
fini et continu dans tout l’espace ainsi que ses
dérivées, s’annule à l’infini — cette fonction
sera entièrement
déterminée, ainsi que nous l’avons vu au no 95. Si cette fonction
existe, il n’y en a qu’une seule. Or la fonction
(1)
|
|
|
satisfait à l’équation fondamentale — elle reste finie et continue
ainsi que ses dérivées dans tout l’espace ; il ne pourrait
y avoir doute que pour l’origine, c’est-à-dire pour ![{\displaystyle r=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104782127065b7cffa391dde1ce19a40e98d2bac)
Mais pour
les deux termes du numérateur se détruisent ;
donc le numérateur et le dénominateur s’annulent
simultanément et par conséquent
reste fini au voisinage de
l’origine et peut même, si
est assez petit, être développé
suivant les puissances croissantes de
et aussi de
En effet le numérateur change de signe quand on change
en
donc son développement par la formule de Mac-Laurin
ne contient que des puissances impaires de
Comme il faut
diviser par
le quotient
ne renfermera que des puissances
paires — il sera donc développé suivant les puissances de
et par conséquent suivant les puissances de
Pour
![{\displaystyle \xi ={\frac {\mathrm {F} (r)-\mathrm {F} (-r)}{r}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b7fc63d207135569e5162df71496dd03e96efe)
Mais
étant nul pour toute valeur de
non comprise
entre les valeurs positives
et
est a fortiori nul pour les
valeurs négatives de
donc
et
![{\displaystyle \left(\xi \right)_{t=0}={\frac {\mathrm {F} (r)}{r}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb71d08f59c3eed6e4cf7fed05021a929161a3a)
De même
![{\displaystyle \left({\frac {d\xi }{dt}}\right)_{t=0}=\mathrm {V} \,{\frac {\mathrm {F} '(r)-\mathrm {F} '(-r)}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cddc13161e435192827c66d06828dcdb4010cbc)
et comme ![{\displaystyle \mathrm {F} '(-r)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d5b5ccc43944dae87b5441a90e45e4b9fb24aea)
![{\displaystyle \left({\frac {d\xi }{dt}}\right)_{t=0}=\mathrm {V} \,{\frac {\mathrm {F} '(r)}{r}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4fe9c388a9bc703fc266dd5ea8f5d346843c3d6)
La fonction (1) satisfait donc à toutes les conditions du problème.
Or, nous avons vu que ce problème ne peut comporter
qu’une seule solution ; donc la fonction (1) est la solution
unique du problème proposé.
108. Supposons d’abord que
![{\displaystyle \mathrm {V} t<r_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1b9238c60389012b858bdbec72bfa44e24dade)
on aura a fortiori
![{\displaystyle \mathrm {V} t-r<r_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699b71b93fb023f7b2a2f10f24d56f96cf19dfaa)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {F} (\mathrm {V} t-r)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935aa40b075274a2ddba673cf83396f5f6b1867f)
il reste
![{\displaystyle \xi ={\frac {\mathrm {F} (\mathrm {V} t+r)}{r}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb179929351b8a07e058a7a38ac606031d0e7409)
Cette valeur de
représente une onde sphérique convergente,
c’est à-dire qui se propage vers le centre de la sphère.
Si au contraire
![{\displaystyle \mathrm {V} t>r_{1}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7367104ffebfb14ae82293f28ad9a6af68c2adcf)
ou
![{\displaystyle \quad \mathrm {V} t+r>r_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014eface0d9f9da13acb6cc27eb477805f782c54)
c’est alors
![{\displaystyle \mathrm {F} (\mathrm {V} t+r)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf7783738e7db4eca87bb5d731f84a3bdda23c8)
et
![{\displaystyle \xi =-{\frac {\mathrm {F} (\mathrm {V} t-r)}{r}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71d42dc49fe117a988fcb2b38a89971ced4b3d0)
L’onde est divergente, c’est-à-dire se propage en s’éloignant
du centre de la sphère. Pour
![{\displaystyle r_{0}<\mathrm {V} t<r_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ea5a86f5309681305ee4fea0691a54147772bf)
nous aurons une combinaison des deux.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f21.png/240px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f21.png)
Fig. 21.
Nous voyons donc que
change
de signe quand l’onde sphérique
de convergence devient divergente.
— Supposons pour fixer
les idées qu’au temps
c’est-à-dire que l’onde
soit en
et au temps
l’onde soit en
de
l’autre côté du centre
(fig. 21).
Si
![{\displaystyle \mathrm {V} (t_{1}-t_{0})=r_{0}+r_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25fabfb6c0ee101568191344b5291edf785fda87)
l’onde aura parcouru, pendant le temps
le chemin
![{\displaystyle r_{0}+r_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c14802178fe052ce1e45ea2c31a73228c3f68cc)
Au point
à l’instant
l’onde est convergente
![{\displaystyle \xi ={\frac {\mathrm {F} (\mathrm {V} t_{0}+r_{0})}{r_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7b0c101b5297ed7245a5e7b4c96041824243b1)
Au point
à l’instant
l’onde est divergente
![{\displaystyle \xi =-{\frac {\mathrm {F} (\mathrm {V} t_{1}-r_{1})}{r_{1}}}=-{\frac {\mathrm {F} (\mathrm {V} t_{0}+r_{0})}{r_{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1c2bd53de0f18b51d3ff628410e40184e76426)
Par conséquent la valeur de
au point
à l’instant
est
la même qu’au point
à l’instant
au facteur près
et au signe près ; il y a donc une différence de phase de
correspondant
à un retard de
Il nous faudra donc, quand une
onde passe par un foyer, introduire cette correction. On
pourrait objecter qu’une onde de cette nature, c’est-à-dire
telle que
soient fonction de
et de
seulement, ne saurait
être transversale, mais il est aisé d’étendre le résultat à
une onde sphérique quelconque.
109. Si nous avions choisi pour
la forme suivante :
![{\displaystyle \xi ={\frac {d}{dx}}{\frac {\mathrm {F} (\mathrm {V} t+r)-\mathrm {F} (\mathrm {V} t-r)}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8628ca66bc5c20142e1b52973f67e9986e8d9088)
vérifierait encore l’équation fondamentale, serait fini et
continu ainsi que ses dérivées même pour
Pour
![{\displaystyle \mathrm {V} t<r_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49226a18a6b3ede428efe266ba858f4ce0a96b03)
on a
![{\displaystyle \xi ={\frac {d}{dx}}{\frac {\mathrm {F} (\mathrm {V} t+r)}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765aeed0e53c8d6866c95f2ec3f47bf11e1c5731)
l’onde est convergente.
Pour
![{\displaystyle \mathrm {V} t>r_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09064ce91c813e7228acab6038f8320ce5b9b688)
![{\displaystyle \xi ={\frac {d}{dx}}{\frac {\mathrm {F} (\mathrm {V} t-r)}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b052b13679249c6833d529fa440e4f23b453b336)
l’onde est divergente.
change encore de signe quand l’onde change de nature en
passant par un foyer.
Nous serions conduits aux mêmes conclusions en prenant
pour
une dérivée d’ordre quelconque, prise un nombre
quelconque de fois par rapport à chacune des variables
de
ou même une combinaison
linéaire de ces dérivées. Ces conclusions s’appliquent aussi
à une onde sphérique quelconque qui, ainsi que nous l’avons
vu au No 90, peut toujours se mettre sous cette forme ;
et
égalées à des combinaisons linéaires des dérivées de fonctions
de
et de
110. Passage des ondes par une ligne focale. — Nous
allons d’abord considérer un cas particulier simple, celui des
ondes cylindriques.
Soit
la distance du point
à l’axe des
![{\displaystyle \rho ^{2}=y^{2}+z^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75a6e07d47c4c59299be08c9d286a18e704289f)
Si on a
![{\displaystyle \xi =f(\rho ,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9107ffcfcec5e9bd1a76eede7a63eddd5cb018e8)
l’onde sera cylindrique ; les surfaces d’onde seront des
cylindres ayant
pour axe.
Par un calcul facile on trouve
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\left({\frac {d^{2}\xi }{d\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\xi }{d\rho }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd8e817f0f27923d89565a626343d2b40e181ac)
ou
(1)
|
|
|
Je dis que
![{\displaystyle \xi =\int _{-1}^{+1}{\frac {\mathrm {F} (z\rho +\mathrm {V} t)\,dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042d80e032218b67a1089c36f4684e4b4c11e3be)
est l’intégrale de cette équation.
L’intégrale générale devrait contenir deux fonctions arbitraires ;
mais celle que nous avons donnée est la plus générale
parmi les intégrales de l’équation qui restent finies pour
Vérifions que
est bien une solution de l’équation (1) :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\int _{-1}^{+1}{\frac {\mathrm {V} ^{2}\mathrm {F} ''\,dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\\{\frac {d^{2}\xi }{d\rho ^{2}}}&=\int _{-1}^{+1}{\frac {z^{2}\mathrm {F} ''\,dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\\{\frac {d\xi }{d\rho }}\;&=\int _{-1}^{+1}{\frac {z\mathrm {F} '\,dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec57e4a37d6a7357eb96cf1146db7278ae6ffc14)
Substituons dans l’équation (1) ; il faut que
![{\displaystyle \int _{-1}^{+1}{\frac {dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\left[\rho \mathrm {F} ''(1-z^{2})-z\mathrm {F} '\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf07c0355e2a8dac3889a9ef8f2d98062862715)
Or
![{\displaystyle \int dz\left(\rho \mathrm {F} ''{\sqrt {1-z^{2}}}-{\frac {z\mathrm {F} '}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)={\sqrt {1-z^{2}}}\,\mathrm {F} '\left(z\rho +\mathrm {V} t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e790a586f1116aff583dd1074eaad07dab77937)
cette expression s’annule aux deux limites
et ![{\displaystyle +1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e039756ac096f0262a484713fab2ffdd833c9f3)
— Comme nous supposons le mouvement périodique, nous
allons donner à la fonction arbitraire
une forme particulière.
ayant toujours la même signification et
étant égal à
nous poserons :
![{\displaystyle \mathrm {F} (z\rho +\mathrm {V} t)=\cos(\alpha z\rho +\alpha \mathrm {V} t)=\cos(\alpha z\rho +pt).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed64f54b6df68c1f5b00795154b71c88745302d)
Alors
deviendra :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=\int _{-1}^{+1}{\frac {\cos(\alpha z\rho +pt)\,dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\\&=\int _{-1}^{+1}{\frac {\cos \alpha z\rho \,dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\cos pt-\int _{-1}^{+1}{\frac {\sin \alpha z\rho \,dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\sin pt.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a705c705e9f5b0c60a410b0a241e2d93fdcfe8f3)
La seconde intégrale est nulle, car la seconde fonction sous
le signe
est impaire, et les limites sont égales et de signe
contraire.
Il reste donc
![{\displaystyle \xi =\int _{-1}^{+1}{\frac {\cos \alpha z\rho }{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\,\cos pt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e320f070970667cb20d49d461f7fdeba06a8d974)
d’où
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-p^{2}\xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b6bc0cb4fd4054ee3afa6b23f9baf159e5f2f4)
Substituons dans l’équation (1)
![{\displaystyle \alpha ^{2}\xi +{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\xi }{d\rho }}+{\frac {d^{2}\xi }{d\rho ^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffb2f286022d9ee78f9a95e826f8cca65df4abc)
Nous retombons sur l’équation qui définit la fonction de
Bessel, donc :
![{\displaystyle \xi =\mathrm {J} _{0}(\alpha \rho )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953bdcdd9b826a82e48110ddf2f0a0381745b8b9)
c’est la seule parmi les intégrales de cette équation linéaire
qui se réduise à
pour
D’autre part :
![{\displaystyle \left(\xi \right)_{\rho =0}=\int _{-1}^{+1}{\frac {dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\cos pt=\pi \,\cos pt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f24c9aad5705e56e03b67ee5ab7cfd1f4d5ce2c)
Par conséquent :
![{\displaystyle \xi =\mathrm {J} _{0}(\alpha \rho )\,\pi \,\cos pt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c31ffbf68b2154cbbaa46ecd602e7877c9c69d)
Cherchons une valeur approchée de
quand
devient
très grand :
![{\displaystyle \pi \mathrm {J} _{0}(\rho )=\int _{-1}^{+1}{\frac {\cos z\rho }{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz=2\int _{0}^{1}{\frac {\cos(z\rho )}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec2bdc6a19dbfcda2089ffcedde9c4d9a3b82d5)
puisque la fonction sous le signe
est paire. En posant :
![{\displaystyle \varphi =\int _{0}^{1}{\frac {e^{{\sqrt {-1}}\,z\rho }}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d8baf55f94e5d665bb4e04ba682a5b7c44451b)
nous pouvons écrire :
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\mathrm {J} _{0}(\rho )=\mathrm {p.~r{\acute {e}}elle~de~} \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e862a6291bbfc09d43d583be7d1f14e8a69e5740)
Prenons une nouvelle variable
définie par la condition :
![{\displaystyle {\begin{aligned}z\rho &=\rho -u\\[1ex]dz&=-{\frac {du}{\rho }}\cdot \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa87c2e731a0ee97db21af3916bb68db6cb34ee8)
Pour
![{\displaystyle z=0,\quad u=\rho \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cbf3f6410fc0de2a2b3be607db794ca1713d2e8)
et pour
![{\displaystyle \quad z=1,\quad u=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3f96b2377b240470bd89500dcb85723560ce68)
Substituons dans l’expression de
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\int _{\rho }^{0}{\frac {-e^{{\sqrt {-1}}(\rho -u)}\,{\dfrac {du}{\rho }}}{\sqrt {1-{\dfrac {(\rho -u)^{2}}{\rho ^{2}}}}}}\\[1ex]&=\int _{0}^{\rho }{\frac {-e^{{\sqrt {-1}}(\rho -u)}\,du}{\sqrt {\rho ^{2}-(\rho -u)^{2}}}}=\int _{0}^{\rho }{\frac {e^{{\sqrt {-1}}(\rho -u)}\,du}{\sqrt {u(2\rho -u)}}}\\[1ex]&={\frac {e^{{\sqrt {-1}}\,\rho }}{\sqrt {2\rho }}}\int _{0}^{\rho }{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,u}\,du}{\sqrt {u\left(1-{\dfrac {u}{2\rho }}\right)}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56bf0ecbdf98031463b955c8e8258a2d06e02bc8)
Si nous supposons que
soit très grand,
sera négligeable
vis-à-vis de l’unité et nous pourrons prendre
comme limite
supérieure.
![{\displaystyle \varphi ={\frac {e^{{\sqrt {-1}}\,\rho }}{\sqrt {2\rho }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}\,u}\,du}{\sqrt {u}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/003178eab3956cf7763bbcc39fc3b34974360b4f)
Cette dernière intégrale est connue : elle se ramène facilement
d’ailleurs aux intégrales de Fresnel ; sa valeur est
![{\displaystyle \varphi ={\sqrt {\frac {\pi }{2\rho }}}\,e^{{\sqrt {-1}}\left(\rho -{\frac {\pi }{4}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a609a138e705403344c7e893bc26bfc9be434be)
et :
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\mathrm {J} _{0}(\rho )={\sqrt {\frac {\pi }{2\rho }}}\,\cos \left(\rho -{\frac {\pi }{4}}\right)\;\mathrm {~et~} \;\mathrm {J} _{0}(\rho )={\sqrt {\frac {2}{\pi \rho }}}\,\cos \left(\rho -{\frac {\pi }{4}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbd52a06e7cdc964d75078398c3fdf783bdb1e9)
Par conséquent :
![{\displaystyle \xi =\pi \,\cos pt\,{\sqrt {\frac {2}{\pi \alpha \rho }}}\,\cos \left(\alpha \rho -{\frac {\pi }{4}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63213cdd4a4f76742e9fe808ffe3a67b8e8730e0)
111. Supposons d’abord que l’onde soit convergente et devienne
divergente. Elle part d’un point
situé à une distance
de l’axe des
traverse cet axe et aboutit au point
situé
à une distance
— elle a donc parcouru un chemin
— Admettons pour simplifier que les points
et
correspondent à des maxima du cosinus : la phase y sera nulle ; il
faut donc que :
![{\displaystyle \alpha \rho -{\frac {\pi }{4}}=2\mathrm {K} \pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494a59a3743bf0132e9e352dc41d2a7072c5aca4)
ce qui donne :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \rho _{0}-{\frac {\pi }{4}}=2\mathrm {K} _{0}\pi \\[1ex]\alpha \rho _{1}-{\frac {\pi }{4}}=2\mathrm {K} _{1}\pi \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3a0017f03487577df91acbacff7eba06709ecd)
ou en remplaçant
par
et divisant par ![{\displaystyle {\frac {2\pi }{\lambda }}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441fcee22f708ddb7e74c1cdc461809757520d3d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}-{\frac {\lambda }{8}}&=\mathrm {K} _{0}\lambda \\[1ex]\rho _{1}-{\frac {\lambda }{8}}&=\mathrm {K} _{1}\lambda \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ef256c7231c2d930f8d9d150922c7d5fe25d269)
![{\displaystyle \rho _{0}+\rho _{1}=(\mathrm {K} _{0}+\mathrm {K} _{1})\lambda +{\frac {\lambda }{4}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66b56b3b9509fabe91ab4b90882ccc44c773c02)
Le chemin parcouru est donc égal non pas à un nombre
entier de longueurs d’onde, mais à un nombre entier de longueurs
d’onde augmenté de
Le passage par la ligne focale nécessite donc dans le calcul
des phases une correction de
112. L’application du principe de Huyghens nous conduira
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f22.png/240px-H.Poincar%C3%A9-Limi%C3%A8re-t2f22.png)
Fig. 22.
à la même conclusion :
Soient
une surface quelconque ;
un point extérieur ;
une normale à
le centre de gravité d’un
élément
de
ayant pour
coordonnées
(fig. 22). En conservant les notations
que nous avons adoptées,
nous aurons pour la
première composante
de
la vibration au point
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &={\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{4\pi }}\int {\frac {\mathrm {X} e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,d\omega '}{r}}\\[0.75ex]&={\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{4\pi }}\int {\sigma e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dz}\\[0.75ex]&=-\sigma e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}+{\frac {1}{4\pi }}\int \sigma 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dz.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829b05af6d44d05e61f745254134e49a0119a4fe)
Si le point
n’est pas très voisin du bord de l’écran, les
portions de l’intégrale relatives aux éléments
voisins du
point
exercent seules une influence sensible sur la valeur de l’intégrale. (Dans le cas où du point
on peut mener
plusieurs normales à la surface
il faudrait prendre les éléments
voisins du pied de chacune de ces normales.) Par
conséquent la valeur de l’intégrale ne changera pas si on étend
la sommation à une portion quelconque de la surface
entourant le point
et elle sera encore la même si la sommation
est étendue à la surface
tout entière. Nous avons
vu d’ailleurs que l’intégrale
est en général
négligeable.
Pour traiter d’abord un cas particulier simple, supposons
que, au voisinage du point
la surface
soit une portion de
sphère concave du côté de
et que nous étendions l’intégrale
à cette calotte sphérique. Soit
le centre de la sphère.
Deux cas peuvent se présenter :
1o Le point
se trouve entre
et
alors de tous les
points de la calotte sphérique,
est le plus rapproché de
les limites d’intégration sont
et
2o Le point
est au-delà de
alors
est le
point de la calotte le plus éloigné de
les limites d’intégration sont
et
étant la plus courte distance de
à la courbe
qui limite la calotte.
Dans les deux cas, nous savons que (§ 102) :
![{\displaystyle \sigma =2\pi \,{\frac {\mathrm {R} }{a}}\,\mathrm {X} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2af3089f18eb0227086dc494270cc5e13e5b0a)
étant le rayon de la sphère et
la distance
la valeur de
au point
Or, en ce point
l’angle que nous avons
appelé
est nul et
donc :
![{\displaystyle \mathrm {X} _{0}=\xi '_{0}(1+\cos \psi )=2\xi '_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335bcd0b977660644212367cab8a2056aa93c0e5)
et :
(2)
|
|
|
Pour évaluer
comme nous avons vu que
était
négligeable, il suffit de substituer les limites dans le terme
intégré. Pour la limite qui correspond au bord
on a
pour celle qui correspond au point
a la valeur (2).
Seulement dans le cas où les points sont dans l’ordre
cette
dernière limite est la limite inférieure ; quand les points sont
dans l’ordre
c’est la limite supérieure. Par conséquent,
il faut changer le signe quand on passe d’un cas à l’autre et
écrire :
(QPC)
|
|
|
(QCP)
|
|
|
Tout se passe donc comme si
changeait de signe par le
passage de l’onde à travers un foyer ; il y a une perte de
phase de
correspondant à un retard de
113. Des raisonnements analogues s’appliquent à une surface
quelconque, sans faire d’hypothèse sur la forme de
cette surface au voisinage du point
Toujours avec les mêmes notations nous aurons au point
![{\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{4\pi }}\int {\frac {-\mathrm {X} e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,d\omega '}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7871dad91774eb6b675ecb6bace434613cb4ba3a)
Prenons un autre système de coordonnées avec le point
comme origine ; l’axe des
sera
et les plans des
et
des
seront les sections principales de la surface au point
Un point
de la surface aura pour coordonnées
(nous supprimons les accents, ce qui n’a pas d’inconvénient
puisque nous avons pris
comme origine). Ce point est le
centre de gravité d’un élément
faisant avec le plan des
un angle que nous appellerons
Par conséquent :
![{\displaystyle d\omega '={\frac {dx\,dy}{\cos \varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58a2e865f028568b88dfb95e21df1816723d06d)
![{\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{4\pi }}\int {\frac {\mathrm {X} e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{r\cos \varphi }}\,dx\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2bfd1246f3acee77dd1b3a8dcc8709ffb5e9c6)
Nous savons qu’il suffit d’étendre l’intégration aux éléments
voisins de
sera donc toujours très voisin de
L’expression sous
se compose de deux facteurs :
1o
qui ne varie pas rapidement et a sensiblement la
même valeur en
et en
2o
qui varie au contraire très rapidement car sa
dérivée
est très grande puisque
est très
grand.
Nous pourrons donc prendre dans l’évaluation de la somme
le facteur
avec la valeur qu’il a en
Au point
![{\displaystyle r=\mathrm {PQ} =r_{0}\qquad \xi '=\xi '_{0}\qquad \psi =\varphi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2bb3376b8e98e66443c20d1def837c33d4a2af)
donc :
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {X} }{r\cos \varphi }}={\frac {2\xi '_{0}}{r_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad16a98c9c4f470df05e256c02bccff456d4d942)
Quant au second facteur
il faut calculer sa valeur
au point
c’est-à-dire la valeur de
en ce point. Or
et
étant les centres de courbure principaux de la surface
au point
le point
étant très voisin de
on démontre que :
![{\displaystyle r=r_{0}+mx^{2}+ny^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f124ef524b07be4c65986f8bca4d18411df90e98)
en posant :
![{\displaystyle m={\frac {\mathrm {PC} _{1}}{2\mathrm {QP} .\mathrm {QC} _{1}}}\qquad n={\frac {\mathrm {PC} _{2}}{2\mathrm {QP} .\mathrm {QC} _{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/503c130f0c4c8aa08a701f6c3b07102c270816a0)
Les segments étant pris avec leur signe ; nous conviendrons
donc de regarder
comme positif si le point
est à droite
de
comme négatif si le point
est à gauche.
Cette expression de
n’est qu’une valeur approchée, obtenue
en regardant
et
comme des infiniment petits du
premier ordre et négligeant les infiniment petits d’ordre supérieur
au second.
L’expression de
prendra donc la forme :
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{4\pi }}\int {\frac {2\xi '_{0}}{r_{0}}}\,ne^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha (r_{0}+mx^{2}+ny^{2})}dx\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08de89bec8082490418cb1f80bfb4970810d9786)
Posons, pour mettre les signes en évidence
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=+{\sqrt {|m|}}\\[0.75ex]\nu &=+{\sqrt {|n|}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831b306c3931f3f6c90900b019981e01d2e95714)
et
représentant les valeurs absolues de
et de ![{\displaystyle n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
![{\displaystyle \mu \nu ={\sqrt {|mn|}}={\sqrt {\frac {\mathrm {PC} _{1}\,\mathrm {PC} _{2}}{4{\overline {\mathrm {QP} }}^{2}.\mathrm {QC} _{1}.\mathrm {QC} _{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc62de9374921cb98d69be1bec7f76c96450dd0)
ou en posant :
![{\displaystyle h={\sqrt {\left|{\dfrac {\mathrm {PC} _{1}.\mathrm {PC} _{2}}{\mathrm {QC} _{1}.\mathrm {QC} _{2}}}\right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671c91433af5ea8dca785fd087089a2b4cb09c88)
![{\displaystyle \mu \nu ={\frac {h}{2r_{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0c5b1fbfd15a37b292b0f4d54bc121eaece7de)
114. Trois cas sont à distinguer :
Premier cas. — Les points sont dans l’ordre
(fig. 20)
(1) ; autrement dit, pour aller de
en
le rayon ne rencontre
aucune ligne focale, alors :
![{\displaystyle m=+\mu ^{2}\qquad n=+\nu ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/955238bd81250dff47974f291762510a0745d632)
Deuxième cas. — Des points sont dans l’ordre
(fig. 20) (2) ; le rayon allant de
en
rencontre une seule
ligne focale.
![{\displaystyle m=-\mu ^{2}\qquad n=+\nu ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4585c8f637abfbc211967650ea03aabaaf4441)
Troisième cas. — Les points sont dans l’ordre
(fig. 20) (3), le rayon rencontre deux lignes focales :
![{\displaystyle m=-\mu ^{2}\qquad n=-\nu ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec6ff843c807a8c2b1c675c5adb0caba80936737)
Dans ce dernier, rentre le cas particulier où,
et
étant
confondus, le rayon passe par un foyer.
Transformons l’intégrale en réunissant ces trois cas dans la
même formule, nous aurons :
![{\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{2\pi }}{\frac {\xi '_{0}}{r_{0}}}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}\int e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha (\pm \mu ^{2}x^{2}\pm \nu ^{2}y^{2})}\,dx\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f765c34e4f92e5a04836a1f41468e8ffd5f7fb)
Comme nous l’avons dit déjà, les portions de la surface voisine
de
ont seules une influence ; sans changer la valeur de
nous pouvons donc prendre comme limites
et
L’intégrale se décomposera alors en un produit de deux
autres :
![{\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{2\pi }}{\frac {\xi '_{0}}{r_{0}}}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!\!e^{\pm {\sqrt {-1}}\,\alpha \mu ^{2}x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{+\infty }\!\!e^{\pm {\sqrt {-1}}\,\alpha \nu ^{2}y^{2}}\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3932e92681912862519a25c40f4fea4741868be)
La valeur de ces intégrales est connue. On sait en effet que :
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!\!e^{{\sqrt {-1}}\,x^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}(1+{\sqrt {-1}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1341789d9db03a2b0760ae2084b13639b4a045f)
En posant
on trouve aisément :
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!\!e^{{\sqrt {-1}}\,\alpha \mu ^{2}x^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{2\alpha }}}{\frac {1+{\sqrt {-1}}}{\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259341a3fb0d3e88944ae33afdf0dcd52b178d10)
ou en changeant
en ![{\displaystyle -{\sqrt {-1}}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fbf2f11f0c2b91adc1ae8f1c8ee0435869088b)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!\!e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha \mu ^{2}x^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{2\alpha }}}{\frac {1-{\sqrt {-1}}}{\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2b9621024c397209100b672eddf1e96fef7e90)
ou en réunissant ces deux résultats
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!\!e^{\mp {\sqrt {-1}}\,\alpha \mu ^{2}x^{2}}\,dx={\frac {1}{\mu }}{\sqrt {\frac {\pi }{2\alpha }}}(1\mp {\sqrt {-1}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64cd198cd51fa831dbe6bbb7229b1d884d5d1a3)
et de même
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!\!e^{\mp {\sqrt {-1}}\,\alpha \nu ^{2}y^{2}}\,dx={\frac {1}{\nu }}{\sqrt {\frac {\pi }{2\alpha }}}(1\mp {\sqrt {-1}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f09f8b2449a867352f7955fc884e2af701edf1c)
Substituons dans
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &={\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{2\pi }}{\frac {\xi '_{0}}{r_{0}}}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}{\frac {1}{\mu \nu }}{\frac {\pi }{2\alpha }}\left(1\mp {\sqrt {-1}}\right)\left(1\mp {\sqrt {-1}}\right)\\[0.75ex]&={\frac {{\sqrt {-1}}\,\xi '_{0}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}}{2h}}\left(1\mp {\sqrt {-1}}\right)\left(1\mp {\sqrt {-1}}\right).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e1076ae0aee7b24dd25d336cfee84e751491659)
Si le rayon ne traverse aucune ligne focale il faut prendre
et par conséquent
![{\displaystyle \left(1-{\sqrt {-1}}\right)\left(1-{\sqrt {-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a320305b846af90aab2d8aed2633424e5ede60)
![{\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt {-1}}\,\xi '_{0}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}}{2h}}\left(1-{\sqrt {-1}}\right)^{2}={\frac {\xi '_{0}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}}{h}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06311e432ce4b13583ac0dd88a9592e0f0925ed4)
Si le rayon rencontre une seule ligne focale,
![{\displaystyle m=-\mu ^{2}\qquad n=+\nu ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4212f4b589046ff875722ad1495b477c696d464a)
![{\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt {-1}}\,\xi '_{0}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}}{2h}}\left(1+{\sqrt {-1}}\right)\left(1-{\sqrt {-1}}\right)={\frac {{\sqrt {-1}}\,\xi '_{0}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}}{h}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb36ffb6d400200893c53b050521783852c398ce)
Enfin si le rayon rencontre deux lignes focales ou un foyer :
![{\displaystyle m=-\mu ^{2}\qquad n=-\nu ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61309057bcf983975a0f4ca2d57f27788cd1666c)
![{\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt {-1}}\,\xi '_{0}\,e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}}{2h}}\left(1+{\sqrt {-1}}\right)^{2}=-{\frac {\xi '_{0}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r_{0}}}{h}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e35c6d0c7cbf8d56d1439a31a17f8308ab5747)
Les valeurs de
sont les mêmes dans les trois cas aux facteurs
près
il faut donc dans le second cas :
retrancher à la différence de marche
et dans le troisième,
retrancher