Théorie du mouvement des corps célestes/Notes


Traduction par Edmond Dubois.
(p. Notes-354).
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Notes du Traducteur

Note I (art. 1)[1].

Le nombre constant

n’a été considéré par l’illustre Gauss qu’au point de vue géométrique, qui est le seul sous lequel il a voulu considérer le mouvement des planètes autour du Soleil.

Ainsi envisagé, ce nombre représente le rapport constant qui existe entre l’aire décrite par le rayon vecteur de la planète, dans le temps , et ce même temps multiplié par une constante propre à chaque planète.

Dans la détermination numérique de ce nombre, Gauss a pris pour unité de distance, la distance moyenne de la Terre au Soleil, pour unité de temps le jour solaire moyen.

Le nombre

qu’il a obtenu, a aussi une signification dynamique qu’il est utile de connaître, pour être bien certain que la détermination de cette constante, qui est établie dans l’hypothèse que les planètes de notre système n’exercent aucune action perturbatrice les unes sur les autres, n’est nullement altérée par la substitution, dans l’expression de , de la valeur de l’année sidérale fournie par l’observation.

Rappelons succinctement la marche que l’on suit pour déduire du principe d’attraction le mouvement elliptique d’une planète autour du Soleil.

On sait que si l’on désigne par l’intensité de l’attraction exercée par l’unité de masse (la masse du Soleil) à l’unité de distance, par la masse d’une planète, par sa distance au Soleil à un moment donné, et par ses trois coordonnées par rapport à trois axes rectangulaires passant par le Soleil, les équations différentielles du mouvement de la planète (en n’ayant pas égard aux actions perturbatrices des autres planètes) sont :

(1)

De ces équations on déduit facilement :

1o Que l’orbite est entièrement située dans un plan passant par le Soleil ;

2o Que les aires décrites par le rayon vecteur et projetées sur l’un quelconque des plans de coordonnées sont proportionnelles aux temps employés à les décrire. On en conclut la loi des aires pour le rayon vecteur même parcourant l’orbite.

En désignant par le double de l’aire décrite dans le plan de l’orbite, dans l’unité de temps, on trouve, en combinant le principe des forces vives avec les équations (1), les deux équations suivantes :

(2)
(3)

dans lesquelles est la longitude de la planète dans l’orbite, et une constante introduite par l’intégration de l’équation des forces vives.

En intégrant l’équation (2), on obtient

(4)

étant une constante arbitraire.

Si l’on pose

(5)

et

(6)

et étant de nouvelles constantes arbitraires, substituées à et l’équation du rayon vecteur devient

qui, comme on le sait, est l’équation polaire d’une ellipse dans le cas où n’est ni égal à 1 ni plus grand que 1.

D’après la relation (5), et en remarquant que le de Gauss est égal à c’est-à-dire que

on en déduit,

d’où

et enfin,

Ainsi c’est-à-dire, qu’au point de vue dynamique, la constante de Gauss n’est autre chose que la racine carrée de l’intensité de l’attraction exercée par l’unité de masse, à l’unité de distance.

En remplaçant dans l’équation (3) les constantes et par leurs expressions en fonction de et on a

pour intégrer cette expression, on introduit une quantité auxiliaire telle que l’on ait

 ou 

et il vient ensuite, en intégrant,

(7)

étant une nouvelle constante arbitraire qui est l’époque du passage de la planète au périhélie. On reconnaît, dans la formule (7), la relation entre l’anomalie moyenne et l’anomalie excentrique.

En désignant donc par le mouvement moyen diurne de la planète, on a la relation

(8)

qui contient la troisième loi de Képler sous sa véritable forme, et qui peut aussi servir à trouver la valeur de si on l’applique, par exemple, au mouvement de la Terre.

Remarquons que est le demi-grand axe de l’ellipse, et le mouvement moyen, tels qu’ils existeraient si la Terre et le Soleil étaient seuls en présence. Mais, sous l’action perturbatrice des autres planètes, le mouvement moyen observé est différent de Si l’on désigne, ainsi que l’a fait M. Le Verrier, par la quantité dont se modifie séculairement le mouvement moyen diurne de la Terre, sous l’action perturbatrice des autres planètes, on doit avoir la relation

d’où

En substituant cette expression de dans la relation (8), elle peut se mettre sous la forme

Si l’on prend maintenant, pour unité de distance, la quantité

c’est-à-dire, si l’on pose

(9)  d’où
(10) 

on aperçoit que l’unité linéaire n’est pas le demi-grand axe de l’orbite terrestre considérée elliptiquement, mais en diffère d’une quantité représentée par

ou par

en négligeant les termes du second ordre et au delà.

D’après les valeurs trouvées pour et le demi-grand axe de l’ellipse terrestre est non pas égal à mais à

Si dans la relation (10) on met pour la valeur

afin de rapporter la valeur de au rayon, et si l’on fait valeur donnée par Laplace dans son « Système du monde », on trouve

qui ne diffère du nombre donné par Gauss qu’en raison de la valeur différente qu’il a attribuée à

On voit donc que la constante est tout à fait arbitraire, pourvu qu’elle soit la même pour toutes les planètes. Sa valeur numérique dépend complètement des unités adoptées.

Dans le no 1341 des Astronomische Nachrichten, M. Lehmann a donné une nouvelle valeur de la constante obtenue en corrigeant de la variation séculaire de la longitude de l’époque le mouvement moyen déduit de l’observation.

Ainsi que M. Simon Newcomb l’a fait remarquer, (Ast. Nach., no 1349), cette correction est complètement inutile, et ne produit qu’un changement dans l’unité linéaire.

Si dans l’équation

on met pour la valeur de Gauss et pour le mouvement moyen déduit de l’observation, on trouve à l’on met la valeur de proposée par M. Lehmann, et pour le mouvement moyen c’est-à-dire, le mouvement moyen observé, corrigé de sa variation séculaire, on obtient encore mais si l’on emploie la valeur de donnée par Gauss, et la valeur corrigée on obtient

Ainsi, avec les unités adoptées, le nombre

représente bien la racine carrée de l’intensité de l’attraction de la masse solaire à l’unité de distance.


Note II (art. 11).

Plusieurs méthodes ont été proposées pour la résolution la plus prompte du Problème de Képler, c’est-à-dire de la solution de l’équation transcendante

(1)

La méthode généralement adoptée est celle de M. Encke qui rentre, par le fait, dans celle donnée par Gauss dans l’art. 11.

Soit une valeur approchée de on peut poser

En substituant cette valeur dans l’équation (1), on a

ou, si x est suffisamment petit,

ou

d’où, en désignant par la différence

on a

Pour que cette valeur de n’ait plus besoin de correction, il faut que soit déjà suffisamment approché, autrement on recommence le même calcul avec la valeur

Nous croyons inutile de développer les solutions proposées, dans ces derniers temps, par MM. Grunert, Wolfers, Karlinski, Annibal de Gasparis, etc. Le problème tel qu’il a été résolu par Gauss, n’offre pas assez de longueur dans les calculs à effectuer, pour qu’il me semble nécessaire de rappeler toutes ces ingénieuses solutions ; je me bornerai donc à présenter ici une méthode que j’ai donnée pour résoudre graphiquement la question ; cette méthode a été insérée dans le no 1404 des astronomische Nachrichten.

L’équation

(1)

dans laquelle nous rapportons tout au rayon, peut être considérée comme résultant des deux équations

(2)
(3)

Posons sera toujours plus grand que 45° et plus petit que 90.

L’équation (2) est celle d’une sinusoïde ; l’équation (3) est celle d’une droite coupant l’axe des en un point distant de l’origine de la quantité et inclinée sur cet axe de l’angle constant pour chaque planète, et qui dépend de l’excentricité.

Solution. — D’après cela, on construira, une fois pour toutes, la sinusoïde (fig. 1), planche I, sur une grande feuille de papier divisée en millimètres. L’axe des sera gradué de 0 à 180° ou moins, et ces graduations seront écrites aussi, sur la courbe aux extrémités des ordonnées correspondantes.

On mènera au point de l’axe des tel que

une droite faisant avec l’axe des l’angle relatif à la planète considérée ; l’abscisse du point intersection de la droite avec la sinusoïde, donnera l’anomalie excentrique

Pour une autre anomalie moyenne on mènera parallèle à et on lira au point même la seconde anomalie excentrique et ainsi de suite.

Si, par le point 90° de l’axe des on mène une droite inclinée de 45° sur cet axe, il est clair que pour des anomalies moyennes <90°, l’intersection des droites telles que donnera toujours une abscisse plus petite que l’abscisse du point (les excentricités étant toujours plus petites que 1, et, par conséquent étant toujours plus grand que 45°), il est donc inutile, pour avoir les anomalies excentriques qui correspondent aux anomalies moyennes plus petites que 90°, de construire la courbe au delà du point

Or, pour le point on a évidemment

ou, en posant

(4)

En résolvant l’équation (4) par tâtonnements, on trouve

Mais si l’on fait attention que les excentricités de toutes les planètes connues sont inférieures à 0,4, on trouve facilement que pour les anomalies moyennes <90°, on peut encore réduire la sinusoïde puisque, dans ce cas, l’anomalie excentrique relative à une anomalie moyenne de 90° n’atteint jamais 111° 21′.

Pour résoudre graphiquement le problème, pour toutes les anomalies moyennes comprises de à 180°, on tracera deux portions de la sinusoïde sur deux feuilles de papier différentes ; sur la première, l’abscisse (fig. 2) ira jusqu’à 111° 30′, et sur l’autre (fig. 3), l’abscisse ira de 90° à 180°.

La même construction pourra servir aux anomalies moyennes plus grandes que 180°, en remarquant que si et sont des anomalies dont la somme est égale à 360°, la somme des anomalies excentriques correspondantes et sera aussi égale à 360°. Dans le cas où l’on a on appliquera la construction que nous venons d’indiquer à l’anomalie moyenne et l’anomalie excentrique qui en résultera, retranchée de donnera l’anomalie excentrique cherchée.

En employant les papiers divisés dont se servent les ingénieurs, et en prenant le millimètre pour représenter 24′ sur l’axe des on pourra, par la construction précédente, avoir l’anomalie excentrique à 6′ près.

On obtiendra ensuite cette quantité avec la plus grande exactitude, soit par la méthode de Gauss, soit par une autre méthode.


Note III (art. 18).

Si dans l’équation

nous introduisons la distance périhélie nous aurons, en négligeant la masse de la comète,

(1)

Cette formule donne l’intervalle de temps que met le rayon vecteur d’une comète, dont la distance périhélie est à décrire le secteur dont l’angle est

Si nous considérons une comète dont la distance périhélie serait égale à l’unité de distance, c’est-à-dire égale à la distance moyenne de la Terre au Soleil (voir note 1), on trouvera

(2)

donc, entre les temps et que mettent deux comètes, dont l’une a une distance périhélie égale à 1 et l’autre égale à pour décrire la même anomalie vraie il existe la relation

Si dans la relation (2) nous supposons nous aurons le temps que la Comète, dont la distance périhélie est 1, met à décrire le secteur dont l’angle est droit ; on a ainsi

mais

on a donc,

On a donné le nom de Comète de 109 jours à cette comète dont la distance périhélie serait 1 ; cet intervalle de temps est celui pendant lequel le rayon vecteur de cette comète décrirait une aire égale à ainsi qu’on le voit facilement en faisant dans l’expression du secteur parabolique,

 et 

De la relation

on déduit

En substituant cette expression dans la formule (1), on trouve, toutes réductions faites,

(3)

Quand l’anomalie vraie sera connue, on aura le temps écoulé depuis le passage au périhélie jusqu’au moment considéré, au moyen de la relation (3).

Si, au contraire, c’est le temps écoulé qui est connu, on aura l’anomalie vraie au moyen de l’équation du 3e degré

Posons

mais comme

on a donc aussi,

ou, en élevant au cube,

Mais et on a donc,

équation qui devient identique avec la proposée en posant

mais en posant aussi

étant un autre arc auxiliaire, on déduit

 et 

et par suite ;

on a donc

d’où

On conclut de là que pour résoudre l’équation

il suffira d’employer les deux arcs auxiliaires et et l’on aura au moyen des relations

(4)

En dehors de la Table de Barker, indiquée par Gauss, on pourrait se servir, pour résoudre plus simplement ce problème, de la table générale du mouvement des comètes dans une orbite parabolique, table publiée d’abord par Halley dans sa Cométographie, et que l’on trouve dans l’Astronomie de Delambre ; ou mieux, de celle insérée par M. Le Verrier dans le premier volume des Annales de l’Observatoire impérial, page 226, table qui ne diffère de celle de Delambre que par les intervalles de l’argument, la valeur de la constante et les coefficients relatifs à l’interpolation.

On peut encore se servir de la table de Burckhardt qui a pour argument elle se trouve dans les notes de Bowditch, au troisième volume de la Mécanique céleste.

Comme application des formules (4), calculons l’exemple donné par M. Le Verrier (Annales de l’Observatoire impérial, p. 225, t. Ier).

Soient la distance périhélie d’une comète, et le temps écoulé depuis le passage au périhélie, on demande l’anomalie vraie

On a

 1,7388423 
1,1810489
2,5000000
1,4198912
 114° 43′ 58,82″
 107° 21′ 59,41″
1,1115410
1,7038470
 126° 49′ 23,82″
 153° 38′ 47,64″
1,8668836
0,301030
0,1679136
 155° 48′ 36,755″
d’où  111° 37′ 13,51″

Note IV (art. 94).

En posant on a

 et 

d’où

en posant aussi

 d’où 

il vient

En effectuant la division et intégrant par série, on trouve le développement donné par Gauss.


Note V (art. 40).

Le développement de en fonction du sinus est

(1)

d’où l’on déduit

(2)

on a aussi

et par suite

En développant par le binôme de Newton et en substituant dans (2), on a le numérateur de l’expression de Gauss, multiplié par en agissant de la même manière pour le dénominateur on trouve

mais et les autres termes sont ceux calculés pour le numérateur, multipliés par 9.

En s’arrêtant aux termes en on trouve, en divisant haut et bas par l’expression de

Nicolai a donné (Von Zach’s, Monatliche correspondenz, vol. XXVII, p. 212) les formules exprimant les différentielles de l’anomalie vraie et du rayon vecteur, dans une ellipse très-excentrique, en fonction des différentielles de l’époque du passage de l’astre au périhélie, de la distance périhélie et de l’excentricité. Ces formules s’obtiennent à l’aide des équations de l’art. 40.

Si nous posons nous avons, d’après l’art. 39,

(1)

et

en différentiant l’équation (1) par rapport à et et en remarquant que l’on a

il vient

de la relation (art, 40),

en faisant et prenant les logarithmes, nous avons

d’où, en différentiant,

ou,

Mais comme on a



ou en déduit



Il vient donc, en substituant ces valeurs dans et aussi l’expression trouvée pour

ou, en posant

il vient

ou, en appelant l’époque du passage de l’astre au périhélie,

Si l’on différentie l’équation

on trouve


Note VI (art. 57)

Pour trouver les équations différentielles données dans ce paragraphe, considérons le triangle (fig. 2 du texte), dans ce triangle on a

d’où en différentiant,

ou

mais on a

(m)  et
(n)

on a aussi

d’où

ou

ou, en ayant égard aux relations (m) et (n)

l’équation différentielle précédente devient donc, en ayant égard, pour son second terme, à l’équation (m)

Telle est la première équation de l’art. 57. Pour avoir les deux autres, le même triangle donne

d’où, par différentiation,

mais

et le même triangle donne

il vient donc, par substitution,

qui est la seconde équation.

Pour trouver la troisième, on a

d’où, en différentiant,

mais

car on a la relation

qui devient, à cause de l’égalité

ou, en multipliant par

ou

et en remarquant que il vient

c’est-à-dire,

On a donc enfin, en ayant égard à cette relation,

qui est la troisième équation.


Note VII (art. 90).

On a, dans l’art. 62, § II,

[1]

En posant

on a, d’après le théorème de Maclaurin,

de l’équation (1) on déduit

et

d’où, en s’arrêtant à ce terme,

On a aussi, dans le même art. 62, § II,

mais des deux premières relations données dans cet article on déduit, en faisant

Ces valeurs, substituées dans l’expression de donnent

Si l’on développe suivant les puissances croissantes de en remarquant que est une fonction de qui devient nulle pour on trouve

mais

on a donc

d’où

On a aussi, dans le même art. 62, § II,

d’où

(2)

Développons suivant les puissances croissantes de et remarquons que pour on a et par suite,

En différentiant la relation (2), on trouve, après avoir fait

mais

on a donc,

d’où

mais

on a donc,

d’où l’on déduit


Note VIII (art. 72).

Soient menés par le lieu vrai de l’observateur (fig. 4 des notes) et par le centre de la Terre des plans parallèles au plan de l’écliptique.

Soit le point fictif, des parallèles à la ligne des équinoxes menées par le Soleil, la projection du centre de la Terre

sur le plan de l’écliptique et le lieu vrai

Menons une droite arbitraire faisant l’angle avec la ligne des équinoxes. Joignons ( étant la projection sur l’écliptique du point ), joignons aussi et

On peut considérer comme la résultante des deux lignes et en projetant ce système sur la ligne on aura

En considérant comme la résultante des deux lignes et on aura, en projetant ce système sur la ligne

d’où

Si l’on fait les mêmes projections sur une perpendiculaire à on aura

On trouve enfin, en menant parallèle à

d’où


Note IX (art. 90 et 100).

Gauss a donné dans le Berliner Astronomische Jahrbuch de 1814, une autre méthode pour calculer et

On a, dans l’art. 90,

Si l’on substitue, dans le numérateur de cette fraction, à la place de la série

on obtient

ou, en posant

on a

d’où

Substituant cette valeur dans l’expression il vient

formule à l’aide de laquelle on peut toujours trouver facilement avec exactitude.

Pour avoir de l’art. 100, il suffit de substituer à la place de dans les formules précédentes.

sera déterminé d’une manière plus convenable par la formule


Note X (art. 96).

Pour arriver à la relation [25], nous déduirons d’abord de la relation [3] (art. 88),

La relation

devient, en mettant à la place de cette valeur,

ou

on en déduit

(m)

Mais, des relations

on déduit aussi,

ou, à cause de la relation (m),

d’où enfin,


Note XI (art. 99).

Pour démontrer la relation

nous avons d’abord, entre et la relation

d’où

On peut aussi mettre la relation entre et (art. 99), sous la forme

on a ensuite,

mais

il vient donc, en substituant et réduisant,

on a par suite,

on a aussi,

ou

Enfin, en substituant dans les valeurs trouvées, et en divisant par 8 haut et bas, on trouve la relation donnée par Gauss.


Note XII (art. 102).

L’équation en art. 101, est

On voit d’abord que puisque est positif, le produit des trois racines est négatif ; donc dans le cas où les racines sont réelles, l’équation doit en avoir deux positives et une négative.

En cherchant la valeur de qui rend les deux racines positives égales entre elles, on trouve

et l’on obtient bien alors, en égalant à zéro le plus grand commun diviseur de l’équation proposée et de sa dérivée, pour valeur de ces racines égales,


Note XIII (art. 113).

Pour démontrer le théorème énoncé par Gauss dans cet article, considérons une sphère. Soient (fig. (5) des notes) trois lieux portés sur cette sphère dont nous supposons le rayon égal à 1 ; ces lieux étant placés d’après leurs coordonnées héliocentriques ou géocentriques. Appelons les longitudes et les latitudes de ces trois points,

La pyramide est égale au prisme tronqué augmenté de la pyramide et diminué des deux pyramides

La valeur du prisme tronqué

mais

or on a

étant la hauteur du triangle ;

si l’on mène perpendiculaire à on aura

et par suite

on aura donc, par analogie,

donc

prisme tronqué

La pyramide

trapèze

mais est la surface du triangle

on a donc,

Pyramide

et par analogie,

Pyramide
Pyramide '

En effectuant les produits et en faisant la somme algébrique indiquée, on obtiendra pour volume de la pyramide

c’est-à-dire,

ou égal à

ce qui démontre le théorème.


Note XIV (art. 140 et 143).

L’équation de Gauss

en posant

et

devient

(1)

Nous considérerons comme positif. Si dans une application numérique cette quantité était négative, on prendrait au lieu de qui est donné par une tangente, ±180.

Si l’on développe l’équation (1) de manière qu’elle ne contienne plus que des termes en on trouve

(2)

équation du huitième degré.

L’angle représente l’angle à l’astre, c’est-à-dire un angle plus petit que 180°, donc doit toujours être positif.

Si est positif, l’équation (2) contient trois variations, donc cette équation n’a pas plus de trois racines positives ; si est négatif l’équation ne contient plus qu’une variation, donc elle a au plus une racine positive ; le dernier terme de l’équation étant essentiellement négatif, il est évident qu’elle a toujours au moins une racine positive, c’est celle qui répond à la solution relative à la Terre.

Comme lorsqu’on calcule l’orbite d’une planète observée, il doit évidemment y avoir une valeur de autre que celle relative à la Terre, on en conclut que dans la pratique (si les observations sont aussi exactes qu’elles peuvent l’être) on doit toujours avoir

positif,

c’est-à-dire, toujours compris entre ±90°. Nous trouverons tout à l’heure des limites plus resserrées.

Si l’on change en dans l’équation (2), on voit que lorsque est positif, l’équation transformée n’a qu’une variation ; donc dans ce cas, qui est le seul que nous considérons, la proposée ne peut pas avoir plus d’une racine négative ; dans le cas où est négatif, la transformée a trois variations, donc la proposée ne peut pas avoir plus de trois racines négatives. Ainsi, dans tous les cas, il ne peut pas y avoir plus de quatre racines réelles, et comme il y en a toujours au moins une, celle de la Terre, et que las racines imaginaires sont conjuguées deux à deux, c’est-à-dire sont en nombre pair, il est bien évident que l’équation (2) admet deux ou quatre racines réelles dont nous ne devons considérer que les racines positives.

La solution de l’équation de Gauss a donné lieu à plusieurs travaux que nous n’entreprendrons pas de développer ici complètement. Le but que tous les savants se sont proposé à ce sujet, a été d’obtenir graphiquement une première détermination de la valeur de sur laquelle on put baser ensuite, les essais à l’aide desquels on arrive à une détermination exacte de la racine cherchée.

Déjà, en 1827, M. Binet avait donné une élégante solution graphique de l’équation à laquelle l’a conduit sa méthode relative à la « Détermination des orbites des planètes et des comètes. » Cette équation, qui contient comme inconnue la distance de la planète à la Terre, se ramène facilement à l’équation de Gauss par un changement d’inconnue, c’est-à-dire en substituant à l’angle à la planète qui est l’inconnue de Gauss, à l’aide des relations qui existent entre ces deux quantités.

En 1848, M. Encke présenta aussi à l’Académie des sciences de Berlin une note sur la solution graphique de l’équation

Dans cette note, le savant astronome discutait les solutions qui peuvent se présenter, et le moyen de les déterminer. Son moyen graphique consiste à déterminer les points d’intersection des deux courbes

 et 

Après avoir déterminé les limites et entre lesquelles doit tomber, et aussi la limite supérieure de pour que, étant donnée une équation

une valeur réelle de soit possible, M. Encke donne les conditions d’après lesquelles on peut trouver une orbite différente de celle de la Terre, satisfaisant à trois observations complètes d’une planète. Une table fut aussi construite, donnant pour l’argument de degré en degré, les racines correspondantes des limites et disposées suivant leur ordre de grandeur. Les racines exactes de l’équation proposée doivent tomber entre ces racines limites.

Il me paraît inutile de parler d’un grand nombre d’autres solutions graphiques résolvant le problème plus ou moins facilement, en employant, soit une ligne courbe et une ligne droite, soit une ligne courbe et un cercle.

Nous allons simplement donner, avec quelque développement, l’élégante solution insérée par M. Yvon Villarceau dans les Annales de l’Observatoire impérial, tome III.

Reprenons l’équation

(1)

En prenant les logarithmes népériens des deux membres, nous obtenons

(2)

Désignons par la longueur d’une ligne quelconque ; nous pouvons poser

Introduisant ces relations dans l’équation (2), après l’avoir multipliée par elle devient

(3)

Pour résoudre cette équation il suffit de construire les deux courbes ayant pour équations

(4)
(5)

La construction de ces deux courbes peut se ramener à celle de la courbe

(6)  ou 

puisque la courbe (4) n’est autre chose que la courbe (6) dans laquelle on a pris pour nouvelle origine le point dont les deux coordonnées sont et la courbe (5) peut se déduire de la courbe (6) en quadruplant les ordonnées.

La première chose à faire est donc de construire la courbe

Si nous prenons égal au module des tables, c’est-à-dire

nous aurons, en désignant par les logarithmes vulgaires,

(7)

et de plus

Pour construire l’équation (7), portons sur l’axe des fig. (6), une longueur égale à celle qui correspond à 180° ; en la désignant par on aura

d’où

Ainsi, la longueur qui sur l’axe des représente les 180e développés, est égale à 1,364376 unités de longueur.

Nous pouvons diviser cette ligne en 180 parties égales représentant les degrés développés ; mais aux points de divisions nous inscrirons le nombre de degrés correspondants ; de cette manière, l’axe des nous indiquera tout de suite les nombres de degrés de l’arc

Si aux extrémités de la ligne on élève des perpendiculaires, ces deux droites seront évidemment asymptotes à la courbe qui sera tangente à l’axe des au point qui correspond à

On peut évidemment prendre l’unité de longueur arbitrairement ; nous l’avons prise de telle sorte que

De cette manière, chaque demi-millimètre nous représente un degré, et il a été facile de diviser en 180 parties égales.

D’après la longueur adoptée pour on a évidemment, pour unité de longueur,

unité

Nous avons porté cette unité sur l’axe des en considérant négativement les longueurs comptées au-dessus de l’axe des et nous avons divisé chaque intervalle en dix parties égales.

Pour avoir maintenant les points de la courbe correspondant aux abscisses notées , , , , 10°, 20°, 30°,… etc., nous avons déterminé, au moyen des tables de Callet, les nombres correspondants à etc.

En multipliant les nombres trouvés par l’unité 0m,066 on aura chaque ordonnée exprimée en millimètres, ce qui sera plus commode, si l’on se sert d’un double décimètre.

En joignant tous les points ainsi obtenus, par un trait continu, nous avons enfin la courbe (M).

Pour construire la courbe (N), (fig. 7), dont l’équation est

nous prendrons les mêmes abscisses que dans la courbe (M), et pour

avoir les ordonnées correspondantes, il suffira de multiplier par 4 tous les nombres que nous avons obtenus pour valeurs des ordonnées

de la courbe (M).

Dans la pratique, on calquera sur une feuille de papier transparent la courbe (M), et c’est en la portant sur la courbe (N) de manière que l’origine se trouve aux points dont l’ordonnée est et l’abscisse et aussi que les axes des coordonnées des deux courbes soient parallèles, que l’on obtient les points d’intersection des deux courbes. Les abscisses de ces points d’intersection donnent les trois racines positives de l’équation

les seules dont nous ayons à nous occuper.

Les deux courbes ayant chacune une seule branche, on voit bien qu’il ne peut y avoir plus de trois points d’intersection.

Lorsque ces courbes ne se coupent qu’en un point, c’est la solution relative à la Terre, il n’y a pas à s’en occuper.

Cherchons les relations qui doivent exister entre et pour que deux des racines de l’équation proposée deviennent égales entre elles. Cette relation entre et donnera un lieu géométrique dont la surface comprise entre les deux branches et s’étendant le long de l’axe des contiendra tous les points du plan qui pourront seuls convenir à la position de l’origine de la courbe (M) transportée sur la courbe (N).

Pour que l’équation (2) ait des racines égales, il faut que la même valeur de satisfasse à cette équation et à sa dérivée

(8)

Pour obtenir le lieu qui, dans le cas des racines égales, existerait entre et il faudrait éliminer entre les équations (2) et (8).

Cette élimination nous conduirait à une équation trop compliquée ; aussi allons-nous la construire par points, après avoir discuté sa forme.

Nous remarquerons d’abord que pour il faut, d’après l’équation (8), que et d’après l’équation (2), que ce qui indique que l’axe des est asymptote à la courbe. Pour on a et c’est-à-dire que la courbe passe par l’origine.

Nous remarquons en outre que l’équation (8) ne change pas quand on change à la fois en et en la quantité reste la même. Par conséquent, à la même valeur de correspondent deux valeurs de égales et de signes contraires, c’est-à-dire que la courbe que nous voulons construire est symétrique par rapport à l’axe des

Nous pouvons voir tout de suite que la courbe est limitée suivant l’axe des car si nous cherchons la valeur de qui rend ω’ maximum, nous trouvons, en différentiant l’équation (8),

(9)

Comme nous savons que la courbe n’a pas de minimum, puisqu’elle passe par l’origine, nous allons égaler à zéro le second membre de l’équation (9) ; nous trouvons ainsi

(10)

En multipliant cette équation par l’équation

nous trouvons

(11)

Éliminons entre (10) et (11) nous trouvons

d’où l’on déduit

En substituant cette valeur dans l’équation (10), on trouve

Ainsi, le lieu géométrique qui représente la relation devant exister entre et pour que deux des racines soient égales, est compris dans un rectangle ayant pour axe l’axe des et dont les côtés latéraux passent par les points de l’axe des qui correspondent à ± 36° 52′ 11,64″.

Si nous substituons dans l’équation (2) les logarithmes sinus relatifs aux angles que nous venons de trouver, nous obtenons, en employant les logarithmes vulgaires,

Ainsi en prenant (fig. 7), nous aurons en menant par ce point une parallèle à l’axe des une ligne que le lieu géométrique ne devra pas dépasser ; les points et dont les coordonnées sont respectivement,

sont donc deux points de la courbe cherchée. Cette courbe ne pouvant passer ni à droite de ni à gauche de ni au-dessous de il est clair que les points et sont des points de rebroussement.

Si nous différentions l’équation (2), il vient