Théorie du mouvement des corps célestes/Notes

Carl Friedrich Gauss

Théorie du mouvement des corps célestes

Traduction par Edmond Dubois.
1864 (p. Notes-354).

Note I (art. 1)^[1].

Le nombre constant

$k={\frac {g}{t{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}}$

n’a été considéré par l’illustre Gauss qu’au point de vue géométrique, qui est le seul sous lequel il a voulu considérer le mouvement des planètes autour du Soleil.

Ainsi envisagé, ce nombre représente le rapport constant qui existe entre l’aire décrite par le rayon vecteur de la planète, dans le temps $t$, et ce même temps multiplié par une constante ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}$ propre à chaque planète.

Dans la détermination numérique de ce nombre, Gauss a pris pour unité de distance, la distance moyenne de la Terre au Soleil, pour unité de temps le jour solaire moyen.

Le nombre

$k=0,1720209895$

qu’il a obtenu, a aussi une signification dynamique qu’il est utile de connaître, pour être bien certain que la détermination de cette constante, qui est établie dans l’hypothèse que les planètes de notre système n’exercent aucune action perturbatrice les unes sur les autres, n’est nullement altérée par la substitution, dans l’expression de $k$, de la valeur de l’année sidérale fournie par l’observation.

Rappelons succinctement la marche que l’on suit pour déduire du principe d’attraction le mouvement elliptique d’une planète autour du Soleil.

On sait que si l’on désigne par $f$ l’intensité de l’attraction exercée par l’unité de masse (la masse du Soleil) à l’unité de distance, par $\mu$ la masse d’une planète, par $r$ sa distance au Soleil à un moment donné, et par $x,\,y,\,z,$ ses trois coordonnées par rapport à trois axes rectangulaires passant par le Soleil, les équations différentielles du mouvement de la planète (en n’ayant pas égard aux actions perturbatrices des autres planètes) sont :

(1)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+f(1+\mu ){\frac {x}{r^{3}}}&=0,\\[0.75ex]{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(1+\mu ){\frac {y}{r^{3}}}&=0,\\[0.75ex]{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+f(1+\mu ){\frac {z}{r^{3}}}&=0.\end{aligned}}$

De ces équations on déduit facilement :

1^o Que l’orbite est entièrement située dans un plan passant par le Soleil ;

2^o Que les aires décrites par le rayon vecteur et projetées sur l’un quelconque des plans de coordonnées sont proportionnelles aux temps employés à les décrire. On en conclut la loi des aires pour le rayon vecteur même parcourant l’orbite.

En désignant par $\mathrm {K}$ le double de l’aire décrite dans le plan de l’orbite, dans l’unité de temps, on trouve, en combinant le principe des forces vives avec les équations (1), les deux équations suivantes :

(2)

$dv=\pm {\frac {\mathrm {K} {\dfrac {dr}{r^{2}}}}{\sqrt {2\mathrm {H} +{\dfrac {2f(1+\mu )}{r}}-{\dfrac {\mathrm {K} ^{2}}{r^{2}}}}}},$

(3)

$dt=\pm {\frac {dr}{\sqrt {2\mathrm {H} +{\dfrac {2f(1+\mu )}{r}}-{\dfrac {\mathrm {K} ^{2}}{r^{2}}}}}},$

dans lesquelles $v$ est la longitude de la planète dans l’orbite, et $\mathrm {H}$ une constante introduite par l’intégration de l’équation des forces vives.

En intégrant l’équation (2), on obtient

(4)

$r={\frac {\dfrac {\mathrm {K} ^{2}}{f(1+\mu )}}{1+{\sqrt {1+{\dfrac {2\mathrm {HK} ^{2}}{f^{2}(1+\mu )^{2}}}}}.\cos(v-\pi )}},$

$\pi$ étant une constante arbitraire.

Si l’on pose

(5)

${\frac {\mathrm {K} ^{2}}{f(1+\mu )}}=a(1-e^{2}),$

et

(6)

${\frac {2\mathrm {H.K} ^{2}}{f^{2}(1+\mu )^{2}}}=e^{2}-1,$

$a$ et $e$ étant de nouvelles constantes arbitraires, substituées à $\mathrm {K}$ et $\mathrm {H} ,$ l’équation du rayon vecteur devient

$r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(v-\pi )}}={\frac {p}{1+e\cos(v-\pi )}}$

qui, comme on le sait, est l’équation polaire d’une ellipse dans le cas où $e$ n’est ni égal à 1 ni plus grand que 1.

D’après la relation (5), et en remarquant que le $g$ de Gauss est égal à $\mathrm {K} t,$ c’est-à-dire que

$\mathrm {K} ^{2}={\frac {g^{2}}{t^{2}}},$

on en déduit,

${\frac {g^{2}}{t^{2}f(1+\mu )}}=p\,;$

d’où

$f={\frac {g^{2}}{t^{2}p(1+\mu )}},$

et enfin,

${\sqrt {f}}={\frac {g}{t.{\sqrt {\overset {}{p}}}{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}}.$

Ainsi ${\sqrt {f}}=k$ c’est-à-dire, qu’au point de vue dynamique, la constante $k$ de Gauss n’est autre chose que la racine carrée de l’intensité de l’attraction exercée par l’unité de masse, à l’unité de distance.

En remplaçant dans l’équation (3) les constantes $\mathrm {H}$ et $\mathrm {K}$ par leurs expressions en fonction de $a$ et $e,$ on a

$dt=\pm {\frac {1}{\sqrt {af(1+\mu )}}}.{\frac {r\,dr}{\sqrt {e^{2}-\left(1-{\dfrac {r}{a}}\right)^{2}}}}\,;$

pour intégrer cette expression, on introduit une quantité auxiliaire $u,$ telle que l’on ait

$e\cos u=1-{\frac {r}{a}},$  ou  $r=a(1-e\cos u),$

et il vient ensuite, en intégrant,

(7)

${\sqrt {\frac {f(1+\mu )}{a^{3}}}}(t-\tau )=u-e\sin u,$

$\tau$ étant une nouvelle constante arbitraire qui est l’époque du passage de la planète au périhélie. On reconnaît, dans la formule (7), la relation entre l’anomalie moyenne et l’anomalie excentrique.

En désignant donc par $n$ le mouvement moyen diurne de la planète, on a la relation

(8)

$a^{3}n^{2}=f(1+\mu ),$

qui contient la troisième loi de Képler sous sa véritable forme, et qui peut aussi servir à trouver la valeur de $f,$ si on l’applique, par exemple, au mouvement de la Terre.

Remarquons que $a$ est le demi-grand axe de l’ellipse, et $n$ le mouvement moyen, tels qu’ils existeraient si la Terre et le Soleil étaient seuls en présence. Mais, sous l’action perturbatrice des autres planètes, le mouvement moyen observé $n_{o}$ est différent de $n.$ Si l’on désigne, ainsi que l’a fait M. Le Verrier, par ${\mathfrak {b}}''$ la quantité dont se modifie séculairement le mouvement moyen diurne de la Terre, sous l’action perturbatrice des autres planètes, on doit avoir la relation

$n_{o}=n+{\mathfrak {b}}'',$

d’où

$n=n_{o}-{\mathfrak {b}}''.$

En substituant cette expression de $n$ dans la relation (8), elle peut se mettre sous la forme

$a={\sqrt[{3}]{\frac {f(1+\mu )}{n_{o}^{2}}}}\left(1-{\frac {{\mathfrak {b}}''}{n_{o}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}.$

Si l’on prend maintenant, pour unité de distance, la quantité

$a_{1}={\sqrt[{3}]{\frac {f(1+\mu )}{n_{o}^{2}}}},$

c’est-à-dire, si l’on pose

(9)

${\sqrt[{3}]{\frac {f(1+\mu )}{n_{o}^{2}}}}=1,$ d’où

(10)

${\sqrt {f}}={\frac {n_{o}}{\sqrt {1+\mu }}},$

on aperçoit que l’unité linéaire n’est pas le demi-grand axe $a$ de l’orbite terrestre considérée elliptiquement, mais en diffère d’une quantité représentée par

$a\left(-{\frac {2}{3}}{\frac {{\mathfrak {b}}''}{n_{o}}}-{\frac {1}{9}}{\frac {{\mathfrak {b}}''^{2}}{n_{o}^{2}}}-\mathrm {etc.} \dots \right)$

ou par

$-{\frac {2}{3}}a{\frac {{\mathfrak {b}}''}{n_{o}}},$

en négligeant les termes du second ordre et au delà.

D’après les valeurs trouvées pour ${\mathfrak {b}}''$ et $n_{o},$ le demi-grand axe de l’ellipse terrestre est non pas égal à $1,$ mais à

$1,00000129.$

Si dans la relation (10) on met pour $n_{o}$ la valeur

${\frac {2\pi }{365,256}}$

afin de rapporter la valeur de ${\sqrt {f}}$ au rayon, et si l’on fait $\mu ={\frac {1}{354936}},$ valeur donnée par Laplace dans son « Système du monde », on trouve

${\sqrt {f}}=k=0,017202099,$

qui ne diffère du nombre donné par Gauss qu’en raison de la valeur différente qu’il a attribuée à $\mu .$

On voit donc que la constante $k$ est tout à fait arbitraire, pourvu qu’elle soit la même pour toutes les planètes. Sa valeur numérique dépend complètement des unités adoptées.

Dans le n^o 1341 des Astronomische Nachrichten, M. Lehmann a donné une nouvelle valeur de la constante $k,$ obtenue en corrigeant de la variation séculaire de la longitude de l’époque le mouvement moyen $n_{o},$ déduit de l’observation.

Ainsi que M. Simon Newcomb l’a fait remarquer, (Ast. Nach., n^o 1349), cette correction est complètement inutile, et ne produit qu’un changement dans l’unité linéaire.

Si dans l’équation

$a^{3}={\frac {k^{2}(1+\mu )}{n^{2}}}$

on met pour $k$ la valeur de Gauss et pour $n$ le mouvement moyen déduit de l’observation, on trouve $a=1\,;$ à l’on met la valeur de $k$ proposée par M. Lehmann, et pour $n$ le mouvement moyen $(n_{o}-{\mathfrak {b}}''),$ c’est-à-dire, le mouvement moyen observé, corrigé de sa variation séculaire, on obtient encore $1\,;$ mais si l’on emploie la valeur de $k$ donnée par Gauss, et la valeur corrigée $(n_{o}-{\mathfrak {b}}''),$ on obtient

$a=1,00000129.$

Ainsi, avec les unités adoptées, le nombre

$k=0,017202099$

représente bien la racine carrée de l’intensité de l’attraction de la masse solaire à l’unité de distance.

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Note II (art. 11).

Plusieurs méthodes ont été proposées pour la résolution la plus prompte du Problème de Képler, c’est-à-dire de la solution de l’équation transcendante

(1)

$nt=u-{\frac {e}{\sin 1''}}\sin u.$

La méthode généralement adoptée est celle de M. Encke qui rentre, par le fait, dans celle donnée par Gauss dans l’art. 11.

Soit $u_{1}$ une valeur approchée de $u\,;$ on peut poser

$u=u_{1}+x.$

En substituant cette valeur dans l’équation (1), on a

$nt=(u_{1}+x)-{\frac {e}{\sin 1''}}\sin(u_{1}+x),$

ou, si x est suffisamment petit,

$nt=u_{1}-{\frac {e}{\sin 1''}}\sin u_{1}+x-e\cos u_{1}x$

ou

$nt-\left(u_{1}-{\frac {e}{\sin 1''}}\sin u_{1}\right)=x(1-e\cos u_{1})\,;$

d’où, en désignant par $\varphi$ la différence

$nt-\left(u_{1}+{\frac {e}{\sin 1''}}\sin u_{1}\right),$

on a

$x={\frac {\varphi }{1-e\cos u_{1}}}.$

Pour que cette valeur de $x$ n’ait plus besoin de correction, il faut que $u_{1}$ soit déjà suffisamment approché, autrement on recommence le même calcul avec la valeur $u_{2}=u_{1}+x.$

Nous croyons inutile de développer les solutions proposées, dans ces derniers temps, par MM. Grunert, Wolfers, Karlinski, Annibal de Gasparis, etc. Le problème tel qu’il a été résolu par Gauss, n’offre pas assez de longueur dans les calculs à effectuer, pour qu’il me semble nécessaire de rappeler toutes ces ingénieuses solutions ; je me bornerai donc à présenter ici une méthode que j’ai donnée pour résoudre graphiquement la question ; cette méthode a été insérée dans le n^o 1404 des astronomische Nachrichten.

L’équation

(1)

$nt=u-e\sin u,$

dans laquelle nous rapportons tout au rayon, peut être considérée comme résultant des deux équations

(2)	$y={}$	$\sin u,$
(3)	$y={}$	$(u-nt){\frac {1}{e}}.$

Posons ${\frac {1}{e}}=\operatorname {tang} \psi \,;$ $\psi$ sera toujours plus grand que 45° et plus petit que 90.

L’équation (2) est celle d’une sinusoïde ; l’équation (3) est celle d’une droite coupant l’axe des $x$ en un point distant de l’origine de la quantité $nt,$ et inclinée sur cet axe de l’angle $\psi ,$ constant pour chaque planète, et qui dépend de l’excentricité.

Solution. — D’après cela, on construira, une fois pour toutes, la sinusoïde $\mathrm {OMK}$ (fig. 1), planche I, sur une grande feuille de papier divisée en millimètres. L’axe des $x$ sera gradué de 0 à 180° ou moins, et ces graduations seront écrites aussi, sur la courbe aux extrémités des ordonnées correspondantes.

On mènera au point $\mathrm {B}$ de l’axe des $x,$ tel que

$\mathrm {OB} =nt,$

une droite $\mathrm {BM}$ faisant avec l’axe des $x,$ l’angle $\psi$ relatif à la planète considérée ; l’abscisse du point $\mathrm {M} ,$ intersection de la droite $\mathrm {BM}$ avec la sinusoïde, donnera l’anomalie excentrique $u.$

Pour une autre anomalie moyenne $\mathrm {OB} '=nt',$ on mènera $\mathrm {B'M} '$ parallèle à $\mathrm {BM}$ et on lira au point $\mathrm {M} '$ même la seconde anomalie excentrique $u',$ et ainsi de suite.

Si, par le point 90° de l’axe des $x$ on mène une droite inclinée de 45° sur cet axe, il est clair que pour des anomalies moyennes <90°, l’intersection des droites telles que $\mathrm {BM}$ donnera toujours une abscisse plus petite que l’abscisse du point $\mathrm {N}$ (les excentricités étant toujours plus petites que 1, et, par conséquent $\psi$ étant toujours plus grand que 45°), il est donc inutile, pour avoir les anomalies excentriques qui correspondent aux anomalies moyennes plus petites que 90°, de construire la courbe au delà du point $\mathrm {N} .$

Or, pour le point $\mathrm {N} ,$ on a évidemment

$y=(x-90)=\sin x,$

ou, en posant $x-90^{\circ }=x',$

(4)

$x'=\cos x'.$

En résolvant l’équation (4) par tâtonnements, on trouve

$x'=42^{\circ }20'48''\!,4.$

Mais si l’on fait attention que les excentricités de toutes les planètes connues sont inférieures à 0,4, on trouve facilement que pour les anomalies moyennes <90°, on peut encore réduire la sinusoïde puisque, dans ce cas, l’anomalie excentrique relative à une anomalie moyenne de 90° n’atteint jamais 111° 21′.

Pour résoudre graphiquement le problème, pour toutes les anomalies moyennes comprises de 0° à 180°, on tracera deux portions de la sinusoïde sur deux feuilles de papier différentes ; sur la première, l’abscisse $\mathrm {OQ}$ (fig. 2) ira jusqu’à 111° 30′, et sur l’autre (fig. 3), l’abscisse $\mathrm {OD}$ ira de 90° à 180°.

La même construction pourra servir aux anomalies moyennes plus grandes que 180°, en remarquant que si $nt$ et $nt'$ sont des anomalies dont la somme est égale à 360°, la somme des anomalies excentriques correspondantes $u$ et $u'$ sera aussi égale à 360°. Dans le cas où l’on a $nt>180^{\circ },$ on appliquera la construction que nous venons d’indiquer à l’anomalie moyenne $(360^{\circ }-nt)$ et l’anomalie excentrique qui en résultera, retranchée de $360^{\circ },$ donnera l’anomalie excentrique cherchée.

En employant les papiers divisés dont se servent les ingénieurs, et en prenant le millimètre pour représenter 24′ sur l’axe des $x,$ on pourra, par la construction précédente, avoir l’anomalie excentrique à 6′ près.

On obtiendra ensuite cette quantité avec la plus grande exactitude, soit par la méthode de Gauss, soit par une autre méthode.

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Note III (art. 18).

Si dans l’équation

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v={\frac {2tk{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}{p^{\frac {3}{2}}}},$

nous introduisons la distance périhélie $q={\frac {p}{2}},$ nous aurons, en négligeant la masse de la comète,

(1)

$t={\frac {2^{\frac {1}{2}}q^{\frac {3}{2}}}{k}}\left(\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v\right).$

Cette formule donne l’intervalle de temps que met le rayon vecteur d’une comète, dont la distance périhélie est $q,$ à décrire le secteur dont l’angle est $v.$

Si nous considérons une comète dont la distance périhélie serait égale à l’unité de distance, c’est-à-dire égale à la distance moyenne de la Terre au Soleil (voir note 1), on trouvera

(2)

$t'={\frac {2^{\frac {1}{2}}}{k}}\left(\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v\right)\,;$

donc, entre les temps $t$ et $t'$ que mettent deux comètes, dont l’une a une distance périhélie égale à 1 et l’autre égale à $q,$ pour décrire la même anomalie vraie $v,$ il existe la relation

$t=t'.q^{\frac {3}{2}}.$

Si dans la relation (2) nous supposons $v=90^{\circ },$ nous aurons le temps que la Comète, dont la distance périhélie est 1, met à décrire le secteur dont l’angle est droit ; on a ainsi

$t'={\frac {\sqrt {2}}{k}}\left(1+{\frac {1}{3}}\right)={\frac {4}{3}}{\frac {\sqrt {2}}{k}}\,;$

mais

$k={\frac {2\pi }{365,2564}},$

on a donc,

$t={\frac {4{\sqrt {2}}}{6.\pi }}365^{\mathrm {j} }\!,2564=109^{\mathrm {j} }\!,615581$

On a donné le nom de Comète de 109 jours à cette comète dont la distance périhélie serait 1 ; cet intervalle de temps $t'$ est celui pendant lequel le rayon vecteur de cette comète décrirait une aire égale à ${\frac {4}{3}},$ ainsi qu’on le voit facilement en faisant dans l’expression du secteur parabolique, ${\frac {2}{3}}xy,$

$x=1$  et  $y=2.$

De la relation

$109^{\mathrm {j} }\!,615581={\frac {4}{3}}{\frac {\sqrt {2}}{k}}$

on déduit

$k={\frac {4{\sqrt {2}}}{3.109,615581}}.$

En substituant cette expression dans la formule (1), on trouve, toutes réductions faites,

(3)

$t=27^{\mathrm {j} }\!,403895.q^{\frac {3}{2}}\left(\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v+3\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\right).$

Quand l’anomalie vraie sera connue, on aura le temps écoulé depuis le passage au périhélie jusqu’au moment considéré, au moyen de la relation (3).

Si, au contraire, c’est le temps écoulé $t$ qui est connu, on aura l’anomalie vraie $v$ au moyen de l’équation du 3^e degré

$\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v+3\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\frac {t}{27,403895.q^{\frac {3}{2}}}}.$

Posons

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v=2\operatorname {cotang} 2\mathrm {A} \,;$

mais comme

$\operatorname {cotang} 2\mathrm {A} ={\frac {\cos ^{2}\mathrm {A} -\sin ^{2}\mathrm {A} }{2\sin \mathrm {A} \cos \mathrm {A} }}={\frac {\operatorname {cotang} \mathrm {A} -\operatorname {tang} \mathrm {A} }{2}},$

on a donc aussi,

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v=\operatorname {cotang} \mathrm {A} -\operatorname {tang} \mathrm {A} ,$

ou, en élevant au cube,

${\begin{aligned}&\operatorname {tang} ^{3}\!{\frac {1}{2}}v\\&=\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -3\operatorname {cotang} ^{2}\!\mathrm {A} \operatorname {tang} \mathrm {A} +3\operatorname {cotang} \mathrm {A} \operatorname {tang} ^{2}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} \\&=-3\operatorname {cotang} \mathrm {A} \operatorname {tang} \mathrm {A} (\operatorname {cotang} \mathrm {A} -\operatorname {tang} \mathrm {A} )+\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} .\end{aligned}}$

Mais $\operatorname {cotang} \mathrm {A} \operatorname {tang} \mathrm {A} \!=\!1,$ et $\operatorname {cotang} \mathrm {A} \!-\!\operatorname {tang} \mathrm {A} \!=\!\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\,;$ on a donc,

$\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v+3\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v=\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} ,$

équation qui devient identique avec la proposée en posant

$\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} ={\frac {t}{27,403895.q^{\frac {3}{2}}}}\,;$

mais en posant aussi

$\operatorname {cotang} \mathrm {A} ={\sqrt[{3}]{\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}\mathrm {B} }},$

$\mathrm {B}$ étant un autre arc auxiliaire, on déduit

$\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} =\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}\mathrm {B} ,$ et  $\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} =\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {B} \,;$

et par suite ;

$\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} =2\operatorname {cotang} \mathrm {B} \,;$

on a donc

$2\operatorname {cotang} \mathrm {B} ={\frac {t}{27,403895.q^{\frac {3}{2}}}}\,;$

d’où

$\operatorname {tang} \mathrm {B} ={\frac {54,80779.q^{\frac {3}{2}}}{t}}.$

On conclut de là que pour résoudre l’équation

$\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v+3\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\frac {t}{27,403895.q^{\frac {3}{2}}}},$

il suffira d’employer les deux arcs auxiliaires $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ et l’on aura $v$ au moyen des relations

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\operatorname {tang} \mathrm {B} &={\frac {54,80779.q^{\frac {3}{2}}}{t}}\\[0.75ex]\operatorname {tang} \mathrm {A} &={\sqrt[{3}]{\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {B} }}\\\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v&=2\operatorname {cotang} 2\mathrm {A} \end{aligned}}\right.$

En dehors de la Table de Barker, indiquée par Gauss, on pourrait se servir, pour résoudre plus simplement ce problème, de la table générale du mouvement des comètes dans une orbite parabolique, table publiée d’abord par Halley dans sa Cométographie, et que l’on trouve dans l’Astronomie de Delambre ; ou mieux, de celle insérée par M. Le Verrier dans le premier volume des Annales de l’Observatoire impérial, page 226, table qui ne diffère de celle de Delambre que par les intervalles de l’argument, la valeur de la constante $k,$ et les coefficients relatifs à l’interpolation.

On peut encore se servir de la table de Burckhardt qui a pour argument $\log t{\frac {\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}{q^{\frac {3}{2}}}}\,;$ elle se trouve dans les notes de Bowditch, au troisième volume de la Mécanique céleste.

Comme application des formules (4), calculons l’exemple donné par M. Le Verrier (Annales de l’Observatoire impérial, p. 225, t. I^er).

Soient $q=0,1$ la distance périhélie d’une comète, et $t=6^{\mathrm {j} }\!,590997$ le temps écoulé depuis le passage au périhélie, on demande l’anomalie vraie $v.$

On a

	$\log 54,80779$	${}={}$	1,7388423	
	$\mathrm {c^{t}} \log 6,590997$	${}={}$	1,1810489
	$\mathrm {c^{t}} {\tfrac {3}{2}}\log 10$	${}={}$	2,5000000
	$\log \operatorname {tang} \mathrm {B}$	${}={}$	1,4198912
	 $\mathrm {B}$	${}={}$	114° 43′ 58,82″
	${\tfrac {1}{2}}\mathrm {B}$	${}={}$	107° 21′ 59,41″
	$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}\mathrm {B}$	${}={}$	1,1115410
	$\log \operatorname {tang} \mathrm {A}$	${}={}$	1,7038470
	 $\mathrm {A}$	${}={}$	126° 49′ 23,82″
	 $2\mathrm {A}$	${}={}$	153° 38′ 47,64″
	$\log \operatorname {cotang} 2\mathrm {A}$	${}={}$	1,8668836
	$\log 2$	${}={}$	0,301030
	$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v$	${}={}$	0,1679136
	${\tfrac {1}{2}}v$	${}={}$	155° 48′ 36,755″
d’où	$v$	${}={}$	111° 37′ 13,51″

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Note IV (art. 94).

En posant $\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v=\theta ,$ on a

$dv={\frac {2\,d\theta }{1+\theta ^{2}}},$ et  $\cos v={\frac {1-\theta ^{2}}{1+\theta ^{2}}}\,;$

d’où

$\int {\frac {(1+e)^{\frac {3}{2}}}{(1+e\cos v)^{2}{\sqrt {2}}}}$	${}=\int {\frac {(1+e)^{\frac {3}{2}}2\,d\theta (1+\theta ^{2})}{\left(1+\theta ^{2}\right)^{2}{\sqrt {2}}\left(1+{\dfrac {e(1-\theta ^{2})}{1+\theta ^{2}}}\right)^{2}}},$
	${}=\int {\frac {(1+e)^{\frac {3}{2}}2\,d\theta (1+\theta ^{2})}{\left(1+e\right)^{2}{\sqrt {2}}\left(1+{\dfrac {(1-e)}{(1+e)}}\theta ^{2}\right)^{2}}},$
	${}=\int {\frac {(1+e)^{-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2}}\,d\theta (1+\theta ^{2})}{\left(1+{\dfrac {(1-e)}{(1+e)}}\theta ^{2}\right)^{2}}},$

en posant aussi

${\frac {1-e}{1+e}}=\alpha ,$ d’où  $\left(1+e\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {\sqrt {1+{\overset {}{\alpha }}}}{\sqrt {2}}},$

il vient

$\int {\frac {\left(1+e\right)^{\frac {3}{2}}\,dv}{\left(1+e\cos v\right)^{2}{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+{\overset {}{\alpha }}}}\int {\frac {d\theta (1+\theta ^{2})}{\left(1+\alpha \theta ^{2}\right)^{2}}}.$

En effectuant la division ${\frac {1+\theta ^{2}}{1+2\alpha \theta ^{2}+\alpha ^{2}\theta ^{4}}},$ et intégrant par série, on trouve le développement donné par Gauss.

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Note V (art. 40).

Le développement de $\mathrm {E}$ en fonction du sinus est

(1)

${\begin{aligned}\mathrm {E} =\sin \mathrm {E} +{\frac {1}{2.3}}&\sin ^{3}\mathrm {E} +{\frac {1.3}{2.4.5}}\sin ^{5}\mathrm {E} +{\frac {1.3.5}{2.4.6.7}}\sin ^{7}\mathrm {E} \\+&{\frac {1.3.5.7}{2.4.6.8.9}}\sin ^{9}\mathrm {E} +\mathrm {etc.} \,;\end{aligned}}$

d’où l’on déduit

(2)

${\begin{aligned}15(\mathrm {E} -\sin \mathrm {E} )&={\frac {5}{2}}\sin ^{3}\mathrm {E} +{\frac {45}{40}}\sin ^{5}\mathrm {E} +{\frac {75}{112}}\sin ^{7}\mathrm {E} \\&+{\frac {525}{1152}}\sin ^{9}\mathrm {E} +\ldots \end{aligned}}$

on a aussi

$\sin \mathrm {E} ={\frac {2\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{1+\operatorname {tang} ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }}={\frac {2\mathrm {T} ^{\frac {1}{2}}}{(1+\mathrm {T} )}},$

et par suite

${\begin{aligned}2\mathrm {T} ^{\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {T} \right)^{-1}&=\sin \mathrm {E} \\2^{3}\mathrm {T} ^{\frac {3}{2}}\left(1+\mathrm {T} \right)^{-3}&=\sin ^{3}\mathrm {E} .\\\vdots \qquad \;\;&\quad \;\;\;\vdots \end{aligned}}$

En développant par le binôme de Newton et en substituant dans (2), on a le numérateur de l’expression de Gauss, multiplié par $20\mathrm {T} ^{\frac {3}{2}}\,;$ en agissant de la même manière pour le dénominateur $(9\mathrm {E} +\sin \mathrm {E} ),$ on trouve

$9\mathrm {E} \!+\!\sin \mathrm {E} =10\sin \mathrm {E} \!+\!{\frac {9}{2.3}}\sin ^{3}\!\mathrm {E} \!+\!{\frac {9.3}{2.4.5}}\sin ^{5}\!\mathrm {E} \!+\!{\frac {9.3.5}{2.4.6.7}}\sin ^{7}\!\mathrm {E} \!+\!\mathrm {etc.} \,;$

mais $10\sin \mathrm {E} =20\mathrm {T} ^{\frac {1}{2}}(1+\mathrm {T} )^{-1},$ et les autres termes sont ceux calculés pour le numérateur, multipliés par 9.

En s’arrêtant aux termes en $\mathrm {T} ^{5}$ on trouve, en divisant haut et bas par $20\mathrm {T} ^{\frac {1}{2}},$ l’expression de $\mathrm {A} .$

Nicolai a donné (Von Zach’s, Monatliche correspondenz, vol. XXVII, p. 212) les formules exprimant les différentielles de l’anomalie vraie et du rayon vecteur, dans une ellipse très-excentrique, en fonction des différentielles de l’époque du passage de l’astre au périhélie, de la distance périhélie et de l’excentricité. Ces formules s’obtiennent à l’aide des équations de l’art. 40.

Si nous posons $\mathrm {B} =1,\;\mathrm {C} =0,$ nous avons, d’après l’art. 39,

(1)

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}w+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}w={\frac {\alpha t}{75}}$

et

$\alpha ={\frac {75k{\sqrt {{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {9}{5}}e}}}{2q^{\frac {3}{2}}}}$

en différentiant l’équation (1) par rapport à $w,$ $\alpha$ et $t,$ et en remarquant que l’on a

$d\alpha ={\frac {d\alpha }{dq}}\,dq+{\frac {d\alpha }{de}}\,de,$

il vient

${\frac {dw}{2\cos ^{4}{\dfrac {1}{2}}w}}={\frac {\alpha }{75}}\,dt-{\frac {3\alpha t}{2.q.75}}\,dq+{\frac {9\alpha }{2(1+9e)}}\times {\frac {t}{75}}\,de$

de la relation (art, 40),

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\frac {\gamma \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}w}{\sqrt {1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} }}},$

en faisant $\mathrm {C} \!=\!0,$ et prenant les logarithmes, nous avons

$\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v=\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}w-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {4}{5}}\beta \operatorname {tang} ^{2}\!{\frac {1}{2}}w\right)+\log \gamma \,;$

d’où, en différentiant,

${\frac {dv}{\sin v}}={\frac {dw}{2\sin {\dfrac {1}{2}}w\cos {\dfrac {1}{2}}w\left(1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)}}+{\frac {d\gamma }{\gamma }}+{\frac {{\dfrac {2}{5}}\mathrm {A} }{\left(1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)}}{\frac {d\beta }{\beta }}$

ou,

${\frac {dv}{\sin v}}={\frac {dw}{2\cos ^{4}\!{\dfrac {1}{2}}w}}\times {\frac {\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}w}{\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}w\left(1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)}}+{\frac {d\gamma }{\gamma }}+{\frac {{\dfrac {2}{5}}\mathrm {A} }{\left(1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)}}{\frac {d\beta }{\beta }}.$

Mais comme on a

$\gamma ={\sqrt {\frac {5+5{\overset {}{e}}}{1+9e}}},$  $\beta ={\frac {5-5e}{1+9e}},$

ou en déduit

${\frac {d\gamma }{\gamma }}={\frac {-2}{(1+e)(1+9e)}}\,de,$  ${\frac {d\beta }{\beta }}={\frac {-10}{(1+9e)(1-e)}}\,de.$

Il vient donc, en substituant ces valeurs dans ${\frac {dv}{\sin v}},$ et aussi l’expression trouvée pour ${\frac {dw}{2\cos ^{4}\!{\frac {1}{2}}w}}$

${\begin{aligned}{\frac {dv}{\sin v}}&={\frac {\alpha \cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}w}{75\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}w\left(1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)}}\,dt-{\frac {3\alpha t\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}w}{2.q.75\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}w\left(1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)}}\,dq\\&+{\frac {t\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}w.9\alpha }{75\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}w\left(1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)2(1\!+\!9e)}}\,de-{\frac {4}{(1\!+\!e)(1\!+\!9e)}}\,de\\&-{\frac {{\dfrac {2}{5}}\mathrm {A} }{1\!-\!{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} }}.{\frac {10}{(1\!+\!9e)(1\!-\!e)}}\,de\end{aligned}}$

ou, en posant

$\mathrm {K}$	${}={\frac {\alpha \cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}w}{75\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}w\left(1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} \right)}},$
$\mathrm {L}$	${}={\frac {3}{2q}},$
$\mathrm {M}$	${}={\frac {9}{2(1+9e)}},$
$\mathrm {N}$	${}={\frac {4}{(1+e)(1+9e)}},$
$\mathrm {O}$	${}={\frac {{\dfrac {2}{5}}\mathrm {A} }{1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} }},$
$\mathrm {P}$	${}={\frac {10}{(1+9e)(1-e)}},$

il vient

${\frac {dv}{\sin v}}=\mathrm {K} \,dt-\mathrm {KL} t\,dq+(\mathrm {KM} t-\mathrm {N} -\mathrm {OP} )\,de,$

ou, en appelant $\mathrm {T}$ l’époque du passage de l’astre au périhélie,

${\frac {dv}{\sin v}}=-\mathrm {K} \,d\mathrm {T} -\mathrm {KL} t\,dq+(\mathrm {KM} t-\mathrm {N} -\mathrm {OP} )\,de.$

Si l’on différentie l’équation

$r={\frac {q(1+e)}{1+e\cos v}},$

on trouve

$dr={\frac {r}{q}}\,dq+{\frac {2r^{2}\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}v}{q(1+e)^{2}}}\,de+{\frac {r^{2}e\sin v}{q(1+e)}}\,dv.$

---

Note VI (art. 57)

Pour trouver les équations différentielles données dans ce paragraphe, considérons le triangle ${\text{☊ }}n{\text{☊′}}$ (fig. 2 du texte), dans ce triangle on a

$\cos i'=\cos \varepsilon \cos i+\sin \varepsilon \sin i\cos({\text{☊ }}-n),$

d’où en différentiant,

${\begin{aligned}-\sin i'\,di'&=-\sin \varepsilon \cos i\,d\varepsilon +\cos \varepsilon \sin i\cos({\text{☊ }}-n)\,d\varepsilon \\&-\sin \varepsilon \sin i\sin({\text{☊ }}-n)\,d({\text{☊ }}-n),\end{aligned}}$

ou

$di'=d\varepsilon \left({\frac {\sin \varepsilon \cos i}{\sin i'}}-{\frac {\cos \varepsilon \sin i\cos({\text{☊ }}-n)}{\sin i'}}\right)$${}+{\frac {\sin \varepsilon \sin i\sin({\text{☊ }}-n)}{\sin i'}}\,d({\text{☊ }}-n)$

mais on a

(m)

$\quad {\frac {\sin i}{\sin i'}}={\frac {\sin {\text{☊′}}}{\sin({\text{☊ }}-n)}},$  et

(n)

${\frac {\sin \Delta }{\sin({\text{☊ }}-n)}}={\frac {\sin \varepsilon }{\sin i'}}\,;\quad$

on a aussi

${\begin{aligned}\cos {\text{☊′}}&=\cos \Delta \cos({\text{☊ }}-n)-\sin \Delta \sin({\text{☊ }}-n)\cos i,\\\cos \Delta &=\cos({\text{☊′}})\cos({\text{☊ }}-n)+\sin {\text{☊′}}\sin({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon ,\end{aligned}}$

d’où

$\cos {\text{☊′}}\sin ^{2}\!({\text{☊ }}-n)=\sin {\text{☊′}}\sin({\text{☊ }}-n)\cos({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon$${}-\sin \Delta \sin({\text{☊ }}-n)\cos i$

ou

$\cos {\text{☊′}}={\frac {\sin {\text{☊′}}\cos({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon }{\sin({\text{☊ }}-n)}}-{\frac {\sin \Delta }{\sin({\text{☊ }}-n)}}\cos i,$

ou, en ayant égard aux relations (m) et (n)

$\cos {\text{☊′}}={\frac {\sin i\cos({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon }{\sin i'}}-{\frac {\sin \varepsilon \cos i}{\sin i'}}\,;$

l’équation différentielle précédente devient donc, en ayant égard, pour son second terme, à l’équation (m)

$di'=-\cos {\text{☊′}}\,d\varepsilon +\sin \varepsilon \sin {\text{☊′}}\,d({\text{☊ }}-n).$

Telle est la première équation de l’art. 57. Pour avoir les deux autres, le même triangle donne

$\sin {\text{☊′}}\sin i'=\sin i\sin({\text{☊ }}-n),$

d’où, par différentiation,

${\begin{aligned}d{\text{☊′}}&=d\varepsilon {\frac {\sin {\text{☊ }}}{\operatorname {tang} i'}}+\left({\frac {\sin i\cos({\text{☊ }}-n)-\sin {\text{☊′}}\cos i'\sin \varepsilon \sin {\text{☊′}}}{\cos {\text{☊′}}\sin i'}}\right)d({\text{☊ }}-n)\\&={\frac {d\varepsilon .\sin {\text{☊ }}}{\operatorname {tang} i'}}+{\frac {\sin i}{\sin i'}}\!\left({\frac {\cos({\text{☊ }}-n)-\sin {\text{☊′}}\cos i'{\dfrac {\sin \varepsilon }{\sin i}}\sin {\text{☊′}}}{\cos {\text{☊′}}}}\right)d({\text{☊ }}-n)\end{aligned}}$

mais

${\frac {\sin \varepsilon }{\sin i}}={\frac {\sin \Delta }{\sin {\text{☊′}}}}$

et le même triangle donne

$\cos({\text{☊ }}-n)-\sin \Delta \sin {\text{☊′}}\cos i'=\cos \Delta \cos {\text{☊′}}\,;$

il vient donc, par substitution,

$d{\text{☊′}}={\frac {\sin {\text{☊′}}}{\operatorname {tang} i'}}\,d\varepsilon +{\frac {\sin i\cos \Delta }{\sin i'}}\,d({\text{☊ }}-n)$

qui est la seconde équation.

Pour trouver la troisième, on a

$\sin \Delta \sin i=\sin \varepsilon \sin {\text{☊′}},$

d’où, en différentiant,

$d\Delta =d\varepsilon \,{\frac {\sin {\text{☊′}}}{\sin i\cos \Delta }}\left({\frac {\cos i'\cos {\text{☊′}}\sin \varepsilon +\cos \varepsilon \sin i'}{\sin i'}}\right)$$+{\frac {\sin \varepsilon \cos {\text{☊′}}}{\sin i'}}\,d({\text{☊ }}-n),$

mais

$\cos i'\cos {\text{☊′}}\sin \varepsilon +\cos \varepsilon \sin i'=\sin i\cos \Delta ,$

car on a la relation

$\operatorname {cotang} i'\sin \varepsilon +\cos \varepsilon \cos {\text{☊′}}=\sin {\text{☊′}}\operatorname {cotang} ({\text{☊ }}-n)$

qui devient, à cause de l’égalité

${\begin{aligned}&{\frac {\sin i}{\sin i'}}={\frac {\sin {\text{☊′}}}{\sin({\text{☊ }}-n)}}\\\cos i'\sin \varepsilon +&\sin i'\cos \varepsilon \cos {\text{☊′}}=\sin i\cos({\text{☊ }}-n)\end{aligned}}$

ou, en multipliant par $\cos {\text{☊′}},$

$\cos i'\sin \varepsilon \cos {\text{☊′}}+\sin i'\cos \varepsilon \cos ^{2}{\text{☊′}}=\sin i\cos {\text{☊′}}\cos({\text{☊ }}-n)$

ou

$\cos i'\sin \varepsilon \cos {\text{☊′}}+\sin i'\cos \varepsilon =\sin i\cos {\text{☊′}}\cos({\text{☊ }}-n)$${}+\sin i'\cos \varepsilon \sin ^{2}{\text{☊′}}$

et en remarquant que $\sin i\sin({\text{☊ }}-n)=\sin i'\sin {\text{☊′}},$ il vient

$\cos i'\sin \varepsilon \cos {\text{☊′}}+\sin i'\cos \varepsilon =\sin i{\big [}\cos {\text{☊′}}\cos({\text{☊ }}-n)$${}+\sin {\text{☊′}}\sin({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon {\big ]}$

c’est-à-dire,

$\cos i'\cos {\text{☊′}}\sin \varepsilon +\sin i'\cos \varepsilon =\sin i\cos \Delta$

On a donc enfin, en ayant égard à cette relation,

$d\Delta ={\frac {\sin {\text{☊′}}}{\sin i'}}\,d\varepsilon +{\frac {\sin \varepsilon \cos {\text{☊′}}}{\sin i'}}\,d({\text{☊ }}-n)$

qui est la troisième équation.

---

Note VII (art. 90).

On a, dans l’art. 62, § II,

[1]

$\operatorname {tang} (l-\lambda )={\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {Q} }}={\frac {\begin{array}{c}\\\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \sin(\lambda -\mathrm {L} )\end{array}}{r\cos \beta \left[1-{\dfrac {\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos(\lambda -\mathrm {L} )}{r\cos \beta }}\right]}}$

En posant

$(l-\lambda )=f(\mathrm {R} )$

on a, d’après le théorème de Maclaurin,

$(l-\lambda )=f(\mathrm {R} )_{0}+\left({\frac {df}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}\mathrm {R} +\ldots \mathrm {etc.}$

de l’équation (1) on déduit

$f(\mathrm {R} )_{0}=0$

et

$\left[{\frac {d(l-\lambda )}{d\mathrm {R} }}\right]_{0}={\frac {\cos \mathrm {B} \sin(\lambda -\mathrm {L} )}{r\cos \beta }},$

d’où, en s’arrêtant à ce terme,

$l-\lambda ={\frac {\mathrm {R} .\cos \mathrm {B} \sin(\lambda -\mathrm {L} )}{r\cos \beta }}.$

On a aussi, dans le même art. 62, § II,

$\operatorname {tang} b={\frac {r'\operatorname {tang} \beta -\mathrm {R} '\operatorname {tang} \mathrm {B} }{\Delta '}}\,;$

mais des deux premières relations données dans cet article on déduit, en faisant $\mathrm {N} =\lambda ,$

${\begin{aligned}r'&=\Delta '\cos(l-\lambda )+\mathrm {R} '\cos(\lambda -\mathrm {L} )\\\Delta '&={\frac {\mathrm {R} '\sin(\lambda -\mathrm {L} )}{\sin(l-\lambda )}}.\end{aligned}}$

Ces valeurs, substituées dans l’expression de $\operatorname {tang} b,$ donnent

$\operatorname {tang} b$

${}={\frac {\operatorname {tang} \beta \sin(\lambda \!-\!\mathrm {L} )\cos(l\!-\!\lambda )+\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )\sin(l\!-\!\lambda )}{\sin(\lambda -\mathrm {L} )}}$${}-{\frac {\operatorname {tang} \mathrm {B} \sin(l\!-\!\lambda )}{\sin(\lambda -\mathrm {L} )}}$

Si l’on développe $b$ suivant les puissances croissantes de $\mathrm {R} ,$ en remarquant que $l-\lambda$ est une fonction de $\mathrm {R}$ qui devient nulle pour $\mathrm {R} =0,$ on trouve

$b_{0}$	${}=\beta$
$\left({\frac {db}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}$	${}=\left[{\frac {\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}{\sin(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}}\left({\frac {d(l\!-\!\lambda )}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}\right.$$\left.{}-{\frac {\operatorname {tang} \mathrm {B} }{\sin(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}}\left({\frac {d(l\!-\!\lambda )}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}\right]\cos ^{2}\beta ,$

mais

$\left({\frac {d(l\!-\!\lambda )}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}={\frac {\cos \mathrm {B} \sin(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}{r\cos \beta }}\,;$

on a donc

$\left({\frac {db}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}=\left({\frac {\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )\cos \mathrm {B} }{r\cos \beta }}-{\frac {\operatorname {tang} \mathrm {B} \cos \mathrm {B} }{r\cos \beta }}\right)\cos ^{2}\beta ,$

d’où

$b-\beta ={\frac {\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos \beta }{r}}{\big [}\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )-\operatorname {tang} \mathrm {B} {\big ]}.$

On a aussi, dans le même art. 62, § II,

${\frac {\Delta '}{r'}}={\frac {\mathrm {Q} }{\cos(l\!-\!\lambda )}}={\frac {r'-\mathrm {R} '\cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}{r\cos(l\!-\!\lambda )}},$

d’où

(2)

$\Delta \cos b={\frac {r\cos \beta -\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}{\cos(l\!-\!\lambda )}}.$

Développons $\Delta$ suivant les puissances croissantes de $\mathrm {R} ,$ et remarquons que pour $\mathrm {R} =0,$ on a $b=\beta ,$ $(l-\lambda )=0,$ et par suite, $\Delta _{0}=r.$

En différentiant la relation (2), on trouve, après avoir fait $\mathrm {R} =0,$

$\left({\frac {d\Delta }{d\mathrm {R} }}\right)_{0}\cos \beta -r\sin \beta \left({\frac {db}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}=-\cos \mathrm {B} \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} ),$

mais

$\left({\frac {db}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}={\frac {\cos \mathrm {B} \cos \beta }{r}}{\big [}\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )-\operatorname {tang} \mathrm {B} {\big ]}\,;$

on a donc,

$\left({\frac {d\Delta }{d\mathrm {R} }}\right)_{0}\cos \beta -\sin \beta \cos \beta \cos \mathrm {B} {\big [}\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )-\operatorname {tang} \mathrm {B} {\big ]}={}$$-\cos \mathrm {B} \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )$

d’où

$\left({\frac {d\Delta }{d\mathrm {R} }}\right)_{0}=\sin \beta \cos \mathrm {B} \left[\left(\operatorname {tang} \beta -{\frac {1}{\sin \beta \cos \beta }}\right)\cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )-\operatorname {tang} \mathrm {B} \right],$

mais

$\operatorname {tang} \beta -{\frac {1}{\sin \beta \cos \beta }}=-\operatorname {cotang} \beta \,;$

on a donc,

$\left({\frac {d\Delta }{d\mathrm {R} }}\right)_{0}=-\sin \beta \cos \mathrm {B} {\big [}\operatorname {cotang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )+\operatorname {tang} \mathrm {B} {\big ]},$

d’où l’on déduit

$\Delta -r=-\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \sin \beta {\big [}\operatorname {cotang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )+\operatorname {tang} \mathrm {B} {\big ]}.$

---

Note VIII (art. 72).

Soient menés par le lieu vrai $\mathrm {A}$ de l’observateur (fig. 4 des notes) et par le centre de la Terre des plans parallèles au plan de l’écliptique.

Soit $\mathrm {K}$ le point fictif, $\mathrm {S} {\text{♈}},$ $t{\text{♈}},$ $\mathrm {A} {\text{♈}},$ des parallèles à la ligne des équinoxes menées par le Soleil, la projection du centre de la Terre

sur le plan de l’écliptique et le lieu vrai $\mathrm {A} .$

Menons une droite arbitraire $\mathrm {SH}$ faisant l’angle $\mathrm {N}$ avec la ligne des équinoxes. Joignons $\mathrm {K} a,\,\mathrm {S} a$ ($a$ étant la projection sur l’écliptique du point $\mathrm {A}$), joignons aussi $\mathrm {ST}$ et $\mathrm {SA} .$

On peut considérer $a\mathrm {S}$ comme la résultante des deux lignes $\mathrm {SK}$ et $\mathrm {K} a\,;$ en projetant ce système sur la ligne $\mathrm {SH}$ on aura

$a\mathrm {S} .\cos a\mathrm {SH} =\mathrm {R} '\cos(\mathrm {L} '-\mathrm {N} )+\delta \cos \beta \cos(\lambda -\mathrm {N} ).$

En considérant $a\mathrm {S}$ comme la résultante des deux lignes $\mathrm {S} t$ et $at,$ on aura, en projetant ce système sur la ligne $\mathrm {SH} ,$

$a\mathrm {S} .\cos a\mathrm {SH} =\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos(\mathrm {L} -\mathrm {N} )+\pi \cos b\cos(l-\mathrm {N} ).$

d’où

$\mathrm {R} '\!\cos(\mathrm {L} '\!\!-\!\mathrm {N} )+\delta \cos \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {N} )=\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos(\mathrm {L} \!-\!\mathrm {N} )+\pi \cos b\cos(l\!-\!\mathrm {N} ).$

Si l’on fait les mêmes projections sur une perpendiculaire à $\mathrm {SH} ,$ on aura

$\mathrm {R} '\!\sin(\mathrm {L} '\!\!-\!\mathrm {N} )+\delta \cos \beta \sin(\lambda \!-\!\mathrm {N} )=\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \sin(\mathrm {L} \!-\!\mathrm {N} )+\pi \cos b\sin(l\!-\!\mathrm {N} ).$

On trouve enfin, en menant $\mathrm {T} i$ parallèle à $ta,$

$\mathrm {A} a=\mathrm {A} i+ia,$

d’où

$\delta \sin \beta =\pi \sin b+\mathrm {R} \sin \mathrm {B} .$

---

Note IX (art. 90 et 100).

Gauss a donné dans le Berliner Astronomische Jahrbuch de 1814, une autre méthode pour calculer $\xi$ et $\zeta .$

On a, dans l’art. 90,

$\xi =x-{\frac {5}{6}}+{\frac {10}{9\mathrm {X} }}={\frac {x\mathrm {X} -{\dfrac {5}{6}}\mathrm {X} +{\dfrac {10}{9}}}{\mathrm {X} }}.$

Si l’on substitue, dans le numérateur de cette fraction, à la place de $\mathrm {X}$ la série

$\mathrm {X} ={\frac {4}{3}}+{\frac {4.6}{3.5}}x+{\frac {4.6.8}{3.5.7}}x^{2}+{\frac {4.6.8.10}{3.5.7.9}}x^{3}+\ldots \mathrm {etc.} ,$

on obtient

$x\mathrm {X} -{\frac {5}{6}}\mathrm {X} +{\frac {10}{9}}={\frac {8}{105}}x^{2}\left(1+{\frac {2.8}{9}}x+{\frac {3.8.10}{9.11}}x^{2}+{\frac {4.8.10.12}{9.11.13}}x^{3}+\mathrm {etc.} \!\right),$

ou, en posant

$\mathrm {A} =1+{\frac {2.8}{9}}x+{\frac {3.8.10}{9.11}}x^{2}+\ldots \mathrm {etc.} ,$

on a

$x\mathrm {X} -{\frac {5}{6}}\mathrm {X} +{\frac {10}{9}}={\frac {8}{105}}\mathrm {A} x^{2},$

d’où

$\mathrm {X} ={\frac {{\dfrac {4}{3}}\left(1-{\dfrac {12}{175}}\mathrm {A} x^{2}\right)}{1-{\dfrac {6}{5}}x}}.$

Substituant cette valeur dans l’expression $\xi ,$ il vient

$\xi ={\frac {{\dfrac {2}{35}}\mathrm {A} x^{2}\left(1-{\dfrac {6}{5}}x\right)}{1-{\dfrac {12}{175}}\mathrm {A} x^{2}}},$

formule à l’aide de laquelle on peut toujours trouver facilement $\xi$ avec exactitude.

Pour avoir $\zeta$ de l’art. 100, il suffit de substituer $z$ à la place de $x$ dans les formules précédentes.

$\mathrm {A}$ sera déterminé d’une manière plus convenable par la formule

$\mathrm {A} =\left(1-x\right)^{-{\frac {3}{2}}}\left(1+{\frac {1.5}{2.9}}x+{\frac {1.3.5.7}{2.4.9.11}}x^{2}+\ldots \mathrm {etc.} \right).$

---

Note X (art. 96).

Pour arriver à la relation [25], nous déduirons d’abord de la relation [3] (art. 88),

$e={\frac {p\cos g-\cos f{\sqrt {rr'}}}{\cos \mathrm {F} {\sqrt {rr'}}}}$

La relation

${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}={\frac {2}{p}}+{\frac {2e}{p}}\cos f\cos \mathrm {F}$

devient, en mettant à la place de $e$ cette valeur,

${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}={\frac {2}{p}}+{\frac {2(p\cos g-\cos f{\sqrt {rr'}})\cos f}{p{\sqrt {rr'}}}}$

ou

$p{\frac {{\sqrt {rr'}}(r'+r)}{rr'}}=2{\sqrt {rr'}}\sin ^{2}f+2p\cos g\cos f$

on en déduit

(m)

${\frac {2rr'}{p}}={\frac {(r+r')-2\cos g\cos f{\sqrt {rr'}}}{\sin ^{2}f}}$

Mais, des relations

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r'}}&={\frac {2e}{p}}\sin f\sin \mathrm {F} \\{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}&={\frac {2}{p}}+{\frac {2e}{p}}\cos f\cos \mathrm {F} ,\end{aligned}}\right.$

on déduit aussi,

$\operatorname {tang} f\operatorname {tang} \mathrm {F} ={\frac {r'-r}{(r+r')-{\dfrac {2rr'}{p}}}}$

ou, à cause de la relation (m),

${\begin{aligned}\operatorname {tang} f\operatorname {tang} \mathrm {F} &={\frac {r'-r}{(r+r')-{\dfrac {(r+r')-2\cos g\cos f{\sqrt {rr'}}}{\sin ^{2}f}}}}\\&={\frac {(r'-r)\sin ^{2}f}{2\cos g\cos f{\sqrt {rr'}}-(r'+r)\cos ^{2}f}},\end{aligned}}$

d’où enfin,

$\operatorname {tang} \mathrm {F} ={\frac {(r'-r)\sin f}{2\cos g{\sqrt {rr'}}-(r'+r)\cos f}}$

---

Note XI (art. 99).

Pour démontrer la relation

$\mathrm {Z} ={\frac {(1+2z){\sqrt {z+z^{2}}}-\log({\sqrt {1+z}}+{\sqrt {z}})}{2\left(z+z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

nous avons d’abord, entre $z$ et $c,$ la relation

${\sqrt {\overset {}{c}}}-{\frac {1}{\sqrt {\overset {}{c}}}}=2{\sqrt {\overset {}{z}}},$

d’où

${\sqrt {\overset {}{c}}}={\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}.$

On peut aussi mettre la relation entre $\mathrm {Z}$ et $c$ (art. 99), sous la forme

$\mathrm {Z} ={\frac {c^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}-8\log {\sqrt {\overset {}{c}}}}{{\dfrac {1}{4}}\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}={\frac {c^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}-8\log \left({\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {1+{\overset {}{z}}}}\right)}{{\dfrac {1}{4}}\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}\,;$

on a ensuite,

$c-{\frac {1}{c}}=\left({\sqrt {\overset {}{c}}}+{\frac {1}{\sqrt {\overset {}{c}}}}\right)\left({\sqrt {\overset {}{c}}}-{\frac {1}{\sqrt {\overset {}{c}}}}\right)=\left({\sqrt {\overset {}{c}}}+{\frac {1}{\sqrt {\overset {}{c}}}}\right)2{\sqrt {\overset {}{z}}},$

mais

${\sqrt {\overset {}{c}}}+{\frac {1}{\sqrt {\overset {}{c}}}}=\left({\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}}}\right),$

il vient donc, en substituant et réduisant,

${\begin{aligned}c-{\frac {1}{c}}&={\frac {2z+2+2{\sqrt {\overset {}{z}}}{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}}{{\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}}}2{\sqrt {\overset {}{z}}}={\frac {2[(z+1)+{\sqrt {\overset {}{z}}}{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}]}{{\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}}}2{\sqrt {\overset {}{z}}}\\&=2{\sqrt {(z+1)}}2{\sqrt {\overset {}{z}}}=4\left(z^{2}+z\right)^{\frac {1}{2}},\end{aligned}}$

on a par suite,

${\frac {1}{4}}\left(c-{\frac {1}{c}}\right)^{3}=16\left(z^{2}+z\right)^{\frac {3}{2}}\,;$

on a aussi,

$\left(c^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\right)$	${}=\left(c-{\frac {1}{c}}\right)\left(c+{\frac {1}{c}}\right)$
	${}=4\left(z^{2}+z\right)^{\frac {1}{2}}\left[\left({\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}\right)^{2}+{\frac {1}{({\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}})^{2}}}\right]$
	${}=4\left(z^{2}+z\right)^{\frac {1}{2}}\left\{{\frac {\left[(2z+1)+2{\sqrt {\overset {}{z}}}{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}\right]^{2}+1}{\left({\sqrt {\overset {}{z}}}+{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}\right)^{2}}}\right\}$
	${}={\frac {8z^{2}+8z+2+4(2z+1){\sqrt {\overset {}{z}}}{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}}{2z+1+2{\sqrt {\overset {}{z}}}{\sqrt {{\overset {}{z}}+1}}}}4\left(z^{2}+z\right)^{\frac {1}{2}}$
	${}=2(2z+1)4\left(z^{2}+z\right)^{\frac {1}{2}}$

ou

$c^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}=8(2z+1){\sqrt {z^{2}+z}}.$

Enfin, en substituant dans $\mathrm {Z}$ les valeurs trouvées, et en divisant par 8 haut et bas, on trouve la relation donnée par Gauss.

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Note XII (art. 102).

L’équation en $\mathrm {Y} ,$ art. 101, est

$\mathrm {Y^{3}+Y^{2}-HY} +{\frac {1}{9}}\mathrm {H} =0.$

On voit d’abord que puisque $\mathrm {H}$ est positif, le produit des trois racines est négatif ; donc dans le cas où les racines sont réelles, l’équation doit en avoir deux positives et une négative.

En cherchant la valeur de $\mathrm {H}$ qui rend les deux racines positives égales entre elles, on trouve

$\mathrm {H} ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{6}}$

et l’on obtient bien alors, en égalant à zéro le plus grand commun diviseur de l’équation proposée et de sa dérivée, pour valeur de ces racines égales,

${\frac {1}{6}}{\sqrt {5}}-{\frac {1}{6}}.$

---

Note XIII (art. 113).

Pour démontrer le théorème énoncé par Gauss dans cet article, considérons une sphère. Soient $\mathrm {A,\,A',\,A''}$ (fig. (5) des notes) trois lieux portés sur cette sphère dont nous supposons le rayon égal à 1 ; ces lieux étant placés d’après leurs coordonnées héliocentriques ou géocentriques. Appelons $\alpha ,\,\alpha ',\,\alpha '',$ $\beta ,\,\beta ',\,\beta ''$ les longitudes et les latitudes de ces trois points,

La pyramide $\mathrm {SAA'A} ''$ est égale au prisme tronqué $\mathrm {AA'A} ''aa''',$ augmenté de la pyramide $\mathrm {SAA} ''a''a$ et diminué des deux pyramides $\mathrm {SAA} 'a'a,$ $\mathrm {SA'A} ''a''a'.$

La valeur du prisme tronqué

${\begin{aligned}\mathrm {AA'A} ''a''a'a&={\frac {1}{3}}\operatorname {surf} aa'a''(\mathrm {A} a+\mathrm {A} 'a'+\mathrm {A} ''a'')\\&={\frac {1}{3}}\operatorname {surf} aa'a''(\sin \beta +\sin \beta '+\sin \beta ''),\end{aligned}}$

mais

$\operatorname {surf} aa'a''=\operatorname {triangle} \mathrm {S} aa'+\operatorname {triangle} \mathrm {S} a'a''-\operatorname {triangle} a\mathrm {S} a''\,;$

or on a

$\operatorname {triangle} \mathrm {S} aa'={\frac {\mathrm {S} a}{2}}.a'\mathrm {K}$

$a'\mathrm {K}$ étant la hauteur du triangle ;

si l’on mène $\mathrm {D} 'a$ perpendiculaire à $\mathrm {SD} ,$ on aura

$a'\mathrm {K} =\mathrm {D} 'a.\mathrm {S} a'=\sin(\alpha '-\alpha )\cos \beta ',$

et par suite

$\operatorname {triangle} \mathrm {S} aa'={\frac {\cos \beta }{2}}\cos \beta '\sin(\alpha '-\alpha )\,;$

on aura donc, par analogie,

${\begin{aligned}\operatorname {surf} aa'a''&={\frac {\cos \beta \cos \beta '}{2}}\sin(\alpha '-\alpha )+{\frac {\cos \beta '\cos \beta ''}{2}}\sin(\alpha ''-\alpha ')\\&-{\frac {\cos \beta \cos \beta ''}{2}}\sin(\alpha ''-\alpha )\,;\end{aligned}}$

donc

prisme tronqué	${}={\frac {1}{6}}{\big [}\cos \beta \cos \beta '\sin(\alpha '\!\!-\!\alpha )+\cos \beta '\cos \beta ''\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha ')$
	$\quad \;\;-\cos \beta \cos \beta ''\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha ){\big ]}(\sin \beta +\sin \beta '+9\sin \beta '').$

La pyramide

$\mathrm {SAA} ''\!a''\!a=$ trapèze $a\mathrm {AA} ''\!a''\!\!\times \!{\frac {1}{3}}\mathrm {SI}$ $=\left({\frac {\mathrm {A} a\!+\!\mathrm {A} ''a''}{2}}\right){\frac {aa''.\mathrm {SI} }{3}}\,;$

mais $aa''.\mathrm {SI}$ est la surface du triangle

$a\mathrm {S} a''={\frac {\cos \beta '\cos \beta ''}{2}}\sin(\alpha ''\!-\alpha )\,;$

on a donc,

Pyramide $\mathrm {SAA} ''a''a={\frac {1}{6}}(\sin \beta +\sin \beta '')\cos \beta \cos \beta ''\sin(\alpha ''\!-\alpha ),$

et par analogie,

Pyramide $\mathrm {SA} a\mathrm {A} 'a'$	${}={\frac {1}{6}}(\sin \beta +\sin \beta ')\cos \beta \cos \beta '\sin(\alpha '\!-\alpha )$
Pyramide $\mathrm {SA'A} ''a''a'$	${}={\frac {1}{6}}(\sin \beta '\!+\sin \beta '')\cos \beta '\cos \beta ''\sin(\alpha ''\!-\alpha ')$'

En effectuant les produits et en faisant la somme algébrique indiquée, on obtiendra pour volume de la pyramide $\mathrm {SAA'A} '',$

${\begin{aligned}\sin \beta \cos \beta '\cos \beta ''&\sin(\alpha ''\!-\alpha ')-\sin \beta '\cos \beta \cos \beta ''\sin(\alpha ''\!-\alpha )\\+&\sin \beta ''\cos \beta \cos \beta '\sin(\alpha '\!-\alpha ),\end{aligned}}$

c’est-à-dire,

$\cos \beta \cos \beta '\cos \beta ''{\big [}\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''\!-\alpha ')+\operatorname {tang} \beta '\sin(\alpha -\alpha '')$ ${}+\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha '\!-\alpha ){\big ]}$

ou égal à

$\cos \beta \cos \beta '\cos \beta ''{\text{(0.1.2)}},$

ce qui démontre le théorème.

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Note XIV (art. 140 et 143).

L’équation de Gauss

$c\mathrm {Q} \sin \omega \sin ^{4}z=\sin(z-\omega -\sigma ),$

en posant

$c\mathrm {Q} \sin \omega =\mathrm {Q} ',$

et

$\omega +\sigma =\omega '$

devient

(1)

$\mathrm {Q} '\sin ^{4}z=\sin(z-\omega ').$

Nous considérerons $\mathrm {Q} '$ comme positif. Si dans une application numérique cette quantité était négative, on prendrait au lieu de $\omega ,$ qui est donné par une tangente, $\omega$±180.

Si l’on développe l’équation (1) de manière qu’elle ne contienne plus que des termes en $\sin z,$ on trouve

(2)

$\mathrm {Q} '^{2}\sin ^{8}z-2\mathrm {Q} '\cos \omega '\sin ^{5}z+\sin ^{2}z-\sin ^{2}\omega '=0,$

équation du huitième degré.

L’angle $z$ représente l’angle à l’astre, c’est-à-dire un angle plus petit que 180°, donc $\sin z$ doit toujours être positif.

Si $\cos \omega '$ est positif, l’équation (2) contient trois variations, donc cette équation n’a pas plus de trois racines positives ; si $\cos \omega '$ est négatif l’équation ne contient plus qu’une variation, donc elle a au plus une racine positive ; le dernier terme de l’équation étant essentiellement négatif, il est évident qu’elle a toujours au moins une racine positive, c’est celle qui répond à la solution relative à la Terre.

Comme lorsqu’on calcule l’orbite d’une planète observée, il doit évidemment y avoir une valeur de $\sin z$ autre que celle relative à la Terre, on en conclut que dans la pratique (si les observations sont aussi exactes qu’elles peuvent l’être) on doit toujours avoir

$\cos \omega '\;$ positif,

c’est-à-dire, $\omega +\sigma$ toujours compris entre ±90°. Nous trouverons tout à l’heure des limites plus resserrées.

Si l’on change $z$ en $-z$ dans l’équation (2), on voit que lorsque $\cos \omega '$ est positif, l’équation transformée n’a qu’une variation ; donc dans ce cas, qui est le seul que nous considérons, la proposée ne peut pas avoir plus d’une racine négative ; dans le cas où $\cos \omega '$ est négatif, la transformée a trois variations, donc la proposée ne peut pas avoir plus de trois racines négatives. Ainsi, dans tous les cas, il ne peut pas y avoir plus de quatre racines réelles, et comme il y en a toujours au moins une, celle de la Terre, et que las racines imaginaires sont conjuguées deux à deux, c’est-à-dire sont en nombre pair, il est bien évident que l’équation (2) admet deux ou quatre racines réelles dont nous ne devons considérer que les racines positives.

La solution de l’équation de Gauss a donné lieu à plusieurs travaux que nous n’entreprendrons pas de développer ici complètement. Le but que tous les savants se sont proposé à ce sujet, a été d’obtenir graphiquement une première détermination de la valeur de $z,$ sur laquelle on put baser ensuite, les essais à l’aide desquels on arrive à une détermination exacte de la racine cherchée.

Déjà, en 1827, M. Binet avait donné une élégante solution graphique de l’équation à laquelle l’a conduit sa méthode relative à la « Détermination des orbites des planètes et des comètes. » Cette équation, qui contient comme inconnue la distance $\rho$ de la planète à la Terre, se ramène facilement à l’équation de Gauss par un changement d’inconnue, c’est-à-dire en substituant à $\rho$ l’angle à la planète $z,$ qui est l’inconnue de Gauss, à l’aide des relations qui existent entre ces deux quantités.

En 1848, M. Encke présenta aussi à l’Académie des sciences de Berlin une note sur la solution graphique de l’équation

$m\sin ^{4}z=\sin(z-q).$

Dans cette note, le savant astronome discutait les solutions qui peuvent se présenter, et le moyen de les déterminer. Son moyen graphique consiste à déterminer les points d’intersection des deux courbes

$y=m\sin ^{4}z$  et  $y=\sin(z-q).$

Après avoir déterminé les limites $m'$ et $m'',$ entre lesquelles $m$ doit tomber, et aussi la limite supérieure de $q,$ pour que, étant donnée une équation

$m\sin ^{4}z=\sin(z-q),$

une valeur réelle de $z$ soit possible, M. Encke donne les conditions d’après lesquelles on peut trouver une orbite différente de celle de la Terre, satisfaisant à trois observations complètes d’une planète. Une table fut aussi construite, donnant pour l’argument $q,$ de degré en degré, les racines correspondantes des limites $m'$ et $m'',$ disposées suivant leur ordre de grandeur. Les racines exactes de l’équation proposée doivent tomber entre ces racines limites.

Il me paraît inutile de parler d’un grand nombre d’autres solutions graphiques résolvant le problème plus ou moins facilement, en employant, soit une ligne courbe et une ligne droite, soit une ligne courbe et un cercle.

Nous allons simplement donner, avec quelque développement, l’élégante solution insérée par M. Yvon Villarceau dans les Annales de l’Observatoire impérial, tome III.

Reprenons l’équation

(1)

$\mathrm {Q} '\sin ^{4}z=\sin(z-\omega ').$

En prenant les logarithmes népériens des deux membres, nous obtenons

(2)

$\log \mathrm {Q} '-\log \sin(z-\omega ')=-4\log \sin z.$

Désignons par $\nu$ la longueur d’une ligne quelconque ; nous pouvons poser

${\begin{aligned}x&=\nu z,&\Omega &=\nu \omega ',&\mathrm {Q} ''&=\nu \log \mathrm {Q} '.\end{aligned}}$

Introduisant ces relations dans l’équation (2), après l’avoir multipliée par $\nu ,$ elle devient

(3)

$\mathrm {Q} ''-\nu \log \sin {\frac {(x-\Omega )}{\nu }}=-\ 4\nu \log \sin {\frac {x}{\nu }}.$

Pour résoudre cette équation il suffit de construire les deux courbes ayant pour équations

(4)

$y=\mathrm {Q} ''-\,\nu \log \sin {\frac {(x-\Omega )}{\nu }},$

(5)

$y=-\ 4\nu \log \sin {\frac {x}{\nu }},\qquad \qquad$

La construction de ces deux courbes peut se ramener à celle de la courbe

(6)

$y=-\ \nu \log \sin {\frac {x}{\nu }},$  ou  ${\frac {y}{\nu }}=-\ \log \sin {\frac {x}{\nu }},$

puisque la courbe (4) n’est autre chose que la courbe (6) dans laquelle on a pris pour nouvelle origine le point dont les deux coordonnées sont $y=\mathrm {Q} ''$ et $x=\Omega \,;$ la courbe (5) peut se déduire de la courbe (6) en quadruplant les ordonnées.

La première chose à faire est donc de construire la courbe

$y=-\ \nu \log \sin {\frac {x}{\nu }}.$

Si nous prenons $\nu$ égal au module des tables, c’est-à-dire

$\nu =0,43429448,$

nous aurons, en désignant par $l$ les logarithmes vulgaires,

(7)

$y=-\ l.\sin {\frac {x}{\nu }},$

et de plus

$\mathrm {Q} ''=\ l.\mathrm {Q} '.$

Pour construire l’équation (7), portons sur l’axe des $x,$ fig. (6), une longueur égale à celle qui correspond à $z=$180° ; en la désignant par $a,$ on aura

${\frac {a}{\nu }}=\pi \,;$

d’où

$a=\pi \nu =1,364376.$

Ainsi, la longueur qui sur l’axe des $x$ représente les 180^e développés, est égale à 1,364376 unités de longueur.

Nous pouvons diviser cette ligne en 180 parties égales représentant les degrés développés ; mais aux points de divisions nous inscrirons le nombre de degrés correspondants ; de cette manière, l’axe des $x$ nous indiquera tout de suite les nombres de degrés de l’arc $z.$

Si aux extrémités de la ligne $\mathrm {OX} =a$ on élève des perpendiculaires, ces deux droites seront évidemment asymptotes à la courbe qui sera tangente à l’axe des $x$ au point $x={\frac {a}{2}}$ qui correspond à $z=90^{\circ }.$

On peut évidemment prendre l’unité de longueur arbitrairement ; nous l’avons prise de telle sorte que

$\mathrm {OX} =a=0^{\mathrm {m} }\!,09.$

De cette manière, chaque demi-millimètre nous représente un degré, et il a été facile de diviser $\mathrm {OX}$ en 180 parties égales.

D’après la longueur adoptée pour $a,$ on a évidemment, pour unité de longueur,

unité ${}={\frac {0^{\mathrm {m} },\!09}{1,364376}}=0^{\mathrm {m} },\!066.$

Nous avons porté cette unité sur l’axe des $y,$ en considérant négativement les longueurs comptées au-dessus de l’axe des $x,$ et nous avons divisé chaque intervalle en dix parties égales.

Pour avoir maintenant les points de la courbe correspondant aux abscisses notées 2°, 4°, 6°, 8°, 10°, 20°, 30°,… etc., nous avons déterminé, au moyen des tables de Callet, les nombres correspondants à $l.\sin 2^{\circ },$ $l.\sin 10^{\circ },...$ etc.

En multipliant les nombres trouvés par l’unité 0^m,066 on aura chaque ordonnée exprimée en millimètres, ce qui sera plus commode, si l’on se sert d’un double décimètre.

En joignant tous les points ainsi obtenus, par un trait continu, nous avons enfin la courbe (M).

Pour construire la courbe (N), (fig. 7), dont l’équation est

$y=-4l.\sin {\frac {x}{\nu }},$

nous prendrons les mêmes abscisses que dans la courbe (M), et pour

avoir les ordonnées correspondantes, il suffira de multiplier par 4 tous les nombres que nous avons obtenus pour valeurs des ordonnées

de la courbe (M).

Dans la pratique, on calquera sur une feuille de papier transparent la courbe (M), et c’est en la portant sur la courbe (N) de manière que l’origine se trouve aux points dont l’ordonnée est $\mathrm {Q} ''$ et l’abscisse $\omega ',$ et aussi que les axes des coordonnées des deux courbes soient parallèles, que l’on obtient les points d’intersection des deux courbes. Les abscisses de ces points d’intersection donnent les trois racines positives de l’équation

$\mathrm {Q} '\sin ^{4}z=\sin(z-\omega '),$

les seules dont nous ayons à nous occuper.

Les deux courbes ayant chacune une seule branche, on voit bien qu’il ne peut y avoir plus de trois points d’intersection.

Lorsque ces courbes ne se coupent qu’en un point, c’est la solution relative à la Terre, il n’y a pas à s’en occuper.

Cherchons les relations qui doivent exister entre $l.\mathrm {Q} '$ et $\omega '$ pour que deux des racines de l’équation proposée deviennent égales entre elles. Cette relation entre $l.\mathrm {Q} '$ et $\omega '$ donnera un lieu géométrique dont la surface comprise entre les deux branches et s’étendant le long de l’axe des $y,$ contiendra tous les points du plan qui pourront seuls convenir à la position de l’origine de la courbe (M) transportée sur la courbe (N).

Pour que l’équation (2) ait des racines égales, il faut que la même valeur de $z$ satisfasse à cette équation et à sa dérivée

(8)

$\operatorname {cotang} (z-\omega ')=4\operatorname {cotang} z.$

Pour obtenir le lieu qui, dans le cas des racines égales, existerait entre $\log \mathrm {Q} '$ et $\omega ',$ il faudrait éliminer $z$ entre les équations (2) et (8).

Cette élimination nous conduirait à une équation trop compliquée ; aussi allons-nous la construire par points, après avoir discuté sa forme.

Nous remarquerons d’abord que pour $\omega '=0,$ il faut, d’après l’équation (8), que $z=0,$ et d’après l’équation (2), que $l.\mathrm {Q} '=\infty ,$ ce qui indique que l’axe des $y$ est asymptote à la courbe. Pour $z=90^{\circ },$ on a $\omega '=0$ et $l.\mathrm {Q} '=0,$ c’est-à-dire que la courbe passe par l’origine.

Nous remarquons en outre que l’équation (8) ne change pas quand on change à la fois $z$ en $180-z$ et $\omega '$ en $-\omega '\,;$ la quantité $l.\mathrm {Q} '$ reste la même. Par conséquent, à la même valeur de $l.\mathrm {Q} '$ correspondent deux valeurs de $\omega '$ égales et de signes contraires, c’est-à-dire que la courbe que nous voulons construire est symétrique par rapport à l’axe des $y.$

Nous pouvons voir tout de suite que la courbe est limitée suivant l’axe des $x,$ car si nous cherchons la valeur de $z$ qui rend ω’ maximum, nous trouvons, en différentiant l’équation (8),

(9)

${\frac {d\omega '}{dz}}=\left(1-{\frac {4\sin ^{2}(z-\omega ')}{\sin ^{2}z}}\right).$

Comme nous savons que la courbe n’a pas de minimum, puisqu’elle passe par l’origine, nous allons égaler à zéro le second membre de l’équation (9) ; nous trouvons ainsi

(10)

$\sin z=2\sin(z-\omega ').$

En multipliant cette équation par l’équation

$4\operatorname {cotang} z=\operatorname {cotang} (z-\omega '),$

nous trouvons

(11)

$\cos z={\frac {1}{2}}\cos(z-\omega ').$

Éliminons $(z-\omega ')$ entre (10) et (11) nous trouvons

$\sin z={\sqrt {\frac {4}{5}}},$

d’où l’on déduit

$z=63^{\circ }\,26'\,5''\!,82.$

En substituant cette valeur dans l’équation (10), on trouve

$\omega '=\pm \,36^{\circ }\,52'\,11''\!,64.$

Ainsi, le lieu géométrique qui représente la relation devant exister entre $\omega '$ et $l.\mathrm {Q} '$ pour que deux des racines soient égales, est compris dans un rectangle ayant pour axe l’axe des $y,$ et dont les côtés latéraux passent par les points de l’axe des $x$ qui correspondent à ± 36° 52′ 11,64″.

Si nous substituons dans l’équation (2) les logarithmes sinus relatifs aux angles que nous venons de trouver, nous obtenons, en employant les logarithmes vulgaires,

$l.\mathrm {Q} '=0,155665.$

Ainsi en prenant $\mathrm {OB} =-\,0,155665$ (fig. 7), nous aurons en menant par ce point une parallèle à l’axe des $x$ une ligne que le lieu géométrique ne devra pas dépasser ; les points $n$ et $n',$ dont les coordonnées sont respectivement,

${\begin{aligned}\omega '&=+\,36^{\circ }\,52'\,11''\!,64,&\omega '&=-\,36^{\circ }\,52'\,11''\!,64,\\l.\mathrm {Q} '&=\quad 0,155665,&l.\mathrm {Q} '&=\quad 0,155665\end{aligned}}$

sont donc deux points de la courbe cherchée. Cette courbe ne pouvant passer ni à droite de $\mathrm {A} n$ ni à gauche de $\mathrm {A} 'n',$ ni au-dessous de $nn',$ il est clair que les points $n$ et $n'$ sont des points de rebroussement.

Si nous différentions l’équation (2), il vient

$d.\log \mathrm {Q} '=\operatorname {cotang} (z-\omega ')(dz-d\omega ')-4\operatorname {cotang} z\,dz\,;$

mais l’équation (8), différentiée, donne aussi

$dz-d\omega '={\frac {4\sin ^{2}(z-\omega ')}{\sin ^{2}z}}\,dz,$

en substituant cette valeur dans l’équation ci-dessus, nous avons

$d.\log \mathrm {Q} '=4\operatorname {cotang} z\left({\frac {\operatorname {cotang} (z-\omega ')}{\operatorname {cotang} z}}{\frac {\sin ^{2}(z-\omega ')}{\sin ^{2}z}}-1\right)\,dz,$

ou, en ayant égard à la relation (8)

$d.\log \mathrm {Q} '=4\operatorname {cotang} z\left({\frac {4.\sin ^{2}(z-\omega ')}{\sin ^{2}z}}-1\right)\,dz.$

Mais nous avons déjà trouvé

$d\omega '=\left(1-{\frac {4\sin ^{2}(z-\omega ')}{\sin ^{2}z}}\right)dz,$

on déduit de ces deux relations,

(12)

${\frac {d.\log \mathrm {Q} '}{d\omega '}}=-\,4\operatorname {cotang} z.$

Nous savons maintenant, que pour le point $\mathrm {O}$ on a $z=90^{\circ },$ il vient, en introduisant cette valeur,

${\frac {d.\log \mathrm {Q} '}{d\omega '}}=0,$

c’est-à-dire, qu’à l’origine, l’axe des $x$ est tangent à la courbe.

Nous pouvons maintenant construire la courbe par points au moyen des deux équations

${\begin{aligned}\operatorname {cotang} &(z-\omega ')=4\operatorname {cotang} z\\\log \mathrm {Q} '={}&\log \sin(z-\omega ')-4\log \sin z\end{aligned}}$

Pour cela nous ferons varier $z$ de 0° à 90° ou de 180° à 90° dans la première équation, ce qui nous donnera les valeurs de $\omega '\,;$ puis les valeurs de $\omega '$ et de $z$ correspondantes, introduites dans la seconde équation, donneront les valeurs correspondantes de $\log \mathrm {Q} ',$ ou plutôt de $l.\mathrm {Q} '.$

C’est ainsi que nous avons construit par points la courbe $npqq'p'n'$ (fig. 7).

Nous savons maintenant que si l’on transporte la courbe (M) sur la courbe (N), en plaçant l’origine de la première au point indiqué par $l.\mathrm {Q} '$ et $\omega ',$ l’équation de Gauss aura deux de ses racines positives égales, lorsque la position de l’origine se trouvera en un point quelconque de la courbe $pnn'p'\,;$ les deux courbes (M) et (N) seront alors tangentes.

Si l’origine de la courbe (M) se trouve en dehors de la courbe $pnn'p'$ par rapport à l’axe des $y$ de la courbe (N), il n’y aura plus qu’un point d’intersection, c’est-à-dire, que l’équation de Gauss n’aura qu’une racine positive, ce sera celle relative à la Terre. Dans ce cas, les données du problème seront insuffisantes pour trouver l’orbite, et il faudra se procurer des observations plus exactes.

D’après tout ce que nous venons de dire, voici comment on devra agir pour résoudre l’équation (1), c’est-à-dire pour trouver la valeur de $z$ qui convient au problème.

Au moyen de $l.\mathrm {Q} '$ et de $\omega ',$ on déterminera sur le plan de la courbe (N) les coordonnées de l’origine de la courbe (M). Ce point devra se trouver dans l’intérieur de la courbe $qpnn'p'q'\,;$ s’il se trouve en dehors, les observations ne sont pas suffisamment précises, il faudra en choisir d’autres.

Ayant placé, en ce point, l’origine de la courbe (M) tracée sur un papier transparent, on déterminera ses points d’intersection avec la courbe (N). Les abscisses de ces points donneront, d’une manière approchée, les trois racines positives de l’équation (1).

Comme nous savons que $z$ doit être plus petit que l’angle $180^{\circ }-\mathrm {P''S} '',$ on devra ne considérer, parmi ces trois racines, que celle qui remplit cette condition.

Si deux des points avaient pour abscisses des quantités moindres que $180^{\circ }-\mathrm {P''S} '',$ on déterminerait, à l’aide de tâtonnements appliqués à l’équation (1), et en partant de ces deux valeurs approchées, leur exacte valeur satisfaisant avec précision à cette équation.

À l’aide de ces deux valeurs de $z,$ on trouverait, par suite, deux orbites, et en comparant les positions fournies par chacune, de ces orbites avec celles obtenues par des observations postérieures, on verrait laquelle des deux convient le mieux.

1. L’article indiqué est celui du texte de Gauss, auquel se rapporte la note.