Le nombre constant
n’a été considéré par l’illustre Gauss qu’au point de vue géométrique,
qui est le seul sous lequel il a voulu considérer le mouvement des
planètes autour du Soleil.
Ainsi envisagé, ce nombre représente le rapport constant qui
existe entre l’aire décrite par le rayon vecteur de la planète, dans le
temps , et ce même temps multiplié par une constante
propre à chaque planète.
Dans la détermination numérique de ce nombre, Gauss a pris
pour unité de distance, la distance moyenne de la Terre au Soleil,
pour unité de temps le jour solaire moyen.
Le nombre
qu’il a obtenu, a aussi une signification dynamique qu’il est utile de
connaître, pour être bien certain que la détermination de cette constante,
qui est établie dans l’hypothèse que les planètes de notre
système n’exercent aucune action perturbatrice les unes sur les autres,
n’est nullement altérée par la substitution, dans l’expression
de , de la valeur de l’année sidérale fournie par l’observation.
Rappelons succinctement la marche que l’on suit pour déduire du
principe d’attraction le mouvement elliptique d’une planète autour
du Soleil.
On sait que si l’on désigne par l’intensité de l’attraction exercée
par l’unité de masse (la masse du Soleil) à l’unité de distance, par
la masse d’une planète, par sa distance au Soleil à un moment
donné, et par ses trois coordonnées par rapport à trois axes
rectangulaires passant par le Soleil, les équations différentielles du mouvement de la planète (en n’ayant pas égard aux actions perturbatrices
des autres planètes) sont :
(1)
|
|
|
De ces équations on déduit facilement :
1o Que l’orbite est entièrement située dans un plan passant par le
Soleil ;
2o Que les aires décrites par le rayon vecteur et projetées sur l’un
quelconque des plans de coordonnées sont proportionnelles aux
temps employés à les décrire. On en conclut la loi des aires pour
le rayon vecteur même parcourant l’orbite.
En désignant par le double de l’aire décrite dans le plan de
l’orbite, dans l’unité de temps, on trouve, en combinant le principe
des forces vives avec les équations (1), les deux équations suivantes :
(2)
|
|
|
(3)
|
|
|
dans lesquelles est la longitude de la planète dans l’orbite, et une
constante introduite par l’intégration de l’équation des forces vives.
En intégrant l’équation (2), on obtient
(4)
|
|
|
étant une constante arbitraire.
Si l’on pose
(5)
|
|
|
et
(6)
|
|
|
et étant de nouvelles constantes arbitraires, substituées à et
l’équation du rayon vecteur devient
qui, comme on le sait, est l’équation polaire d’une ellipse dans le
cas où n’est ni égal à 1 ni plus grand que 1.
D’après la relation (5), et en remarquant que le de Gauss est
égal à c’est-à-dire que
on en déduit,
d’où
et enfin,
Ainsi c’est-à-dire, qu’au point de vue dynamique, la constante
de Gauss n’est autre chose que la racine carrée de l’intensité de l’attraction exercée par l’unité de masse, à l’unité de distance.
En remplaçant dans l’équation (3) les constantes et par leurs
expressions en fonction de et on a
pour intégrer cette expression, on introduit une quantité auxiliaire
telle que l’on ait
ou
et il vient ensuite, en intégrant,
(7)
|
|
|
étant une nouvelle constante arbitraire qui est l’époque du passage
de la planète au périhélie. On reconnaît, dans la formule (7), la relation
entre l’anomalie moyenne et l’anomalie excentrique.
En désignant donc par le mouvement moyen diurne de la planète,
on a la relation
(8)
|
|
|
qui contient la troisième loi de Képler sous sa véritable forme, et
qui peut aussi servir à trouver la valeur de si on l’applique, par
exemple, au mouvement de la Terre.
Remarquons que est le demi-grand axe de l’ellipse, et le mouvement
moyen, tels qu’ils existeraient si la Terre et le Soleil étaient
seuls en présence. Mais, sous l’action perturbatrice des autres planètes,
le mouvement moyen observé est différent de Si l’on
désigne, ainsi que l’a fait M. Le Verrier, par la quantité dont se
modifie séculairement le mouvement moyen diurne de la Terre, sous
l’action perturbatrice des autres planètes, on doit avoir la relation
d’où
En substituant cette expression de dans la relation (8), elle peut
se mettre sous la forme
Si l’on prend maintenant, pour unité de distance, la quantité
c’est-à-dire, si l’on pose
(9)
|
d’où
|
|
(10)
|
|
|
on aperçoit que l’unité linéaire n’est pas le demi-grand axe de l’orbite terrestre considérée elliptiquement, mais en diffère d’une
quantité représentée par
ou par
en négligeant les termes du second ordre et au delà.
D’après les valeurs trouvées pour et le demi-grand axe de
l’ellipse terrestre est non pas égal à mais à
Si dans la relation (10) on met pour la valeur
afin de rapporter la valeur de au rayon, et si l’on fait
valeur donnée par Laplace dans son « Système du monde »,
on trouve
qui ne diffère du nombre donné par Gauss qu’en raison de la valeur
différente qu’il a attribuée à
On voit donc que la constante est tout à fait arbitraire, pourvu
qu’elle soit la même pour toutes les planètes. Sa valeur numérique
dépend complètement des unités adoptées.
Dans le no 1341 des Astronomische Nachrichten, M. Lehmann a
donné une nouvelle valeur de la constante obtenue en corrigeant
de la variation séculaire de la longitude de l’époque le mouvement
moyen déduit de l’observation.
Ainsi que M. Simon Newcomb l’a fait remarquer, (Ast. Nach.,
no 1349), cette correction est complètement inutile, et ne produit
qu’un changement dans l’unité linéaire.
Si dans l’équation
on met pour la valeur de Gauss et pour le mouvement moyen déduit de l’observation, on trouve à l’on met la valeur de
proposée par M. Lehmann, et pour le mouvement moyen
c’est-à-dire, le mouvement moyen observé, corrigé de sa variation
séculaire, on obtient encore mais si l’on emploie la valeur de
donnée par Gauss, et la valeur corrigée on obtient
Ainsi, avec les unités adoptées, le nombre
représente bien la racine carrée de l’intensité de l’attraction de la
masse solaire à l’unité de distance.
Plusieurs méthodes ont été proposées pour la résolution la plus
prompte du Problème de Képler, c’est-à-dire de la solution de l’équation
transcendante
(1)
|
|
|
La méthode généralement adoptée est celle de M. Encke qui rentre,
par le fait, dans celle donnée par Gauss dans l’art. 11.
Soit une valeur approchée de on peut poser
En substituant cette valeur dans l’équation (1), on a
ou, si x est suffisamment petit,
ou
d’où, en désignant par la différence
on a
Pour que cette valeur de n’ait plus besoin de correction, il faut
que soit déjà suffisamment approché, autrement on recommence
le même calcul avec la valeur
Nous croyons inutile de développer les solutions proposées, dans
ces derniers temps, par MM. Grunert, Wolfers, Karlinski, Annibal de
Gasparis, etc. Le problème tel qu’il a été résolu par Gauss, n’offre
pas assez de longueur dans les calculs à effectuer, pour qu’il me
semble nécessaire de rappeler toutes ces ingénieuses solutions ; je
me bornerai donc à présenter ici une méthode que j’ai donnée pour
résoudre graphiquement la question ; cette méthode a été insérée
dans le no 1404 des astronomische Nachrichten.
L’équation
(1)
|
|
|
dans laquelle nous rapportons tout au rayon, peut être considérée
comme résultant des deux équations
(2) |
|
|
(3) |
|
|
Posons sera toujours plus grand que 45° et plus
petit que 90.
L’équation (2) est celle d’une sinusoïde ; l’équation (3) est celle
d’une droite coupant l’axe des en un point distant de l’origine de
la quantité et inclinée sur cet axe de l’angle
constant pour chaque planète, et qui dépend de l’excentricité.
Solution. — D’après cela, on construira, une fois pour toutes, la
sinusoïde (fig. 1), planche I, sur une grande feuille de papier
divisée en millimètres. L’axe des sera gradué de 0 à 180° ou moins,
et ces graduations seront écrites aussi, sur la courbe aux extrémités
des ordonnées correspondantes.
On mènera au point de l’axe des tel que
une droite faisant avec l’axe des l’angle relatif à la planète
considérée ; l’abscisse du point intersection de la droite
avec la sinusoïde, donnera l’anomalie excentrique
Pour une autre anomalie moyenne on mènera parallèle
à et on lira au point même la seconde anomalie excentrique
et ainsi de suite.
Si, par le point 90° de l’axe des on mène une droite inclinée de
45° sur cet axe, il est clair que pour des anomalies moyennes <90°,
l’intersection des droites telles que donnera toujours une abscisse
plus petite que l’abscisse du point (les excentricités étant toujours
plus petites que 1, et, par conséquent étant toujours plus grand que
45°), il est donc inutile, pour avoir les anomalies excentriques qui
correspondent aux anomalies moyennes plus petites que 90°, de construire
la courbe au delà du point
Or, pour le point on a évidemment
ou, en posant
(4)
|
|
|
En résolvant l’équation (4) par tâtonnements, on trouve
Mais si l’on fait attention que les excentricités de toutes les planètes
connues sont inférieures à 0,4, on trouve facilement que pour
les anomalies moyennes <90°, on peut encore réduire la sinusoïde
puisque, dans ce cas, l’anomalie excentrique relative à une anomalie
moyenne de 90° n’atteint jamais 111° 21′.
Pour résoudre graphiquement le problème, pour toutes les anomalies
moyennes comprises de 0° à 180°, on tracera deux portions
de la sinusoïde sur deux feuilles de papier différentes ; sur la première,
l’abscisse (fig. 2) ira jusqu’à 111° 30′, et sur l’autre (fig. 3),
l’abscisse ira de 90° à 180°.
La même construction pourra servir aux anomalies moyennes plus
grandes que 180°, en remarquant que si et sont des anomalies dont la somme est égale à 360°, la somme des anomalies excentriques
correspondantes et sera aussi égale à 360°. Dans le cas où
l’on a on appliquera la construction que nous venons d’indiquer
à l’anomalie moyenne et l’anomalie excentrique qui
en résultera, retranchée de donnera l’anomalie excentrique
cherchée.
En employant les papiers divisés dont se servent les ingénieurs,
et en prenant le millimètre pour représenter 24′ sur l’axe des on
pourra, par la construction précédente, avoir l’anomalie excentrique
à 6′ près.
On obtiendra ensuite cette quantité avec la plus grande exactitude,
soit par la méthode de Gauss, soit par une autre méthode.
Si dans l’équation
nous introduisons la distance périhélie nous aurons, en négligeant
la masse de la comète,
(1)
|
|
|
Cette formule donne l’intervalle de temps que met le rayon vecteur
d’une comète, dont la distance périhélie est à décrire le secteur
dont l’angle est
Si nous considérons une comète dont la distance périhélie serait
égale à l’unité de distance, c’est-à-dire égale à la distance moyenne
de la Terre au Soleil (voir note 1), on trouvera
(2)
|
|
|
donc, entre les temps et que mettent deux comètes, dont
l’une a une distance périhélie égale à 1 et l’autre égale à pour décrire
la même anomalie vraie il existe la relation
Si dans la relation (2) nous supposons nous aurons le
temps que la Comète, dont la distance périhélie est 1, met à décrire
le secteur dont l’angle est droit ; on a ainsi
mais
on a donc,
On a donné le nom de Comète de 109 jours à cette comète dont la
distance périhélie serait 1 ; cet intervalle de temps est celui pendant
lequel le rayon vecteur de cette comète décrirait une aire égale
à ainsi qu’on le voit facilement en faisant dans l’expression du
secteur parabolique,
et
De la relation
on déduit
En substituant cette expression dans la formule (1), on trouve,
toutes réductions faites,
(3)
|
|
|
Quand l’anomalie vraie sera connue, on aura le temps écoulé
depuis le passage au périhélie jusqu’au moment considéré, au moyen
de la relation (3).
Si, au contraire, c’est le temps écoulé qui est connu, on aura
l’anomalie vraie au moyen de l’équation du 3e degré
Posons
mais comme
on a donc aussi,
ou, en élevant au cube,
Mais et on a donc,
équation qui devient identique avec la proposée en posant
mais en posant aussi
étant un autre arc auxiliaire, on déduit
et
et par suite ;
on a donc
d’où
On conclut de là que pour résoudre l’équation
il suffira d’employer les deux arcs auxiliaires et et l’on aura au
moyen des relations
(4)
|
|
|
En dehors de la Table de Barker, indiquée par Gauss, on pourrait
se servir, pour résoudre plus simplement ce problème, de la table
générale du mouvement des comètes dans une orbite parabolique,
table publiée d’abord par Halley dans sa Cométographie, et que l’on
trouve dans l’Astronomie de Delambre ; ou mieux, de celle insérée
par M. Le Verrier dans le premier volume des Annales de l’Observatoire impérial,
page 226, table qui ne diffère de celle de Delambre
que par les intervalles de l’argument, la valeur de la constante et
les coefficients relatifs à l’interpolation.
On peut encore se servir de la table de Burckhardt qui a pour argument
elle se trouve dans les notes de Bowditch,
au troisième volume de la Mécanique céleste.
Comme application des formules (4), calculons l’exemple donné
par M. Le Verrier (Annales de l’Observatoire impérial, p. 225, t. Ier).
Soient la distance périhélie d’une comète, et
le temps écoulé depuis le passage au périhélie, on demande l’anomalie
vraie
On a
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1,7388423 |
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1,1810489
|
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2,5000000
|
|
|
|
1,4198912
|
|
|
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114° 43′ 58,82″
|
|
|
|
107° 21′ 59,41″
|
|
|
|
1,1115410
|
|
|
|
1,7038470
|
|
|
|
126° 49′ 23,82″
|
|
|
|
153° 38′ 47,64″
|
|
|
|
1,8668836
|
|
|
|
0,301030
|
|
|
|
0,1679136
|
|
|
|
155° 48′ 36,755″
|
d’où |
|
|
111° 37′ 13,51″
|
En posant on a
et
d’où
|
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|
|
|
|
en posant aussi
d’où
il vient
En effectuant la division et intégrant par série, on
trouve le développement donné par Gauss.
Le développement de en fonction du sinus est
(1)
|
|
|
d’où l’on déduit
(2)
|
|
|
on a aussi
et par suite
En développant par le binôme de Newton et en substituant dans (2),
on a le numérateur de l’expression de Gauss, multiplié par en
agissant de la même manière pour le dénominateur on
trouve
mais et les autres termes sont ceux calculés
pour le numérateur, multipliés par 9.
En s’arrêtant aux termes en on trouve, en divisant haut et bas
par l’expression de
Nicolai a donné (Von Zach’s, Monatliche correspondenz, vol. XXVII,
p. 212) les formules exprimant les différentielles de l’anomalie vraie
et du rayon vecteur, dans une ellipse très-excentrique, en fonction
des différentielles de l’époque du passage de l’astre au périhélie, de
la distance périhélie et de l’excentricité. Ces formules s’obtiennent à
l’aide des équations de l’art. 40.
Si nous posons nous avons, d’après l’art. 39,
(1)
|
|
|
et
en différentiant l’équation (1) par rapport à et et en remarquant que l’on a
il vient
de la relation (art, 40),
en faisant
et prenant les logarithmes, nous avons
d’où, en différentiant,
ou,
Mais comme on a
ou en déduit
Il vient donc, en substituant ces valeurs dans et aussi
l’expression trouvée pour
ou, en posant
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
il vient
ou, en appelant l’époque du passage de l’astre au périhélie,
Si l’on différentie l’équation
on trouve
Pour trouver les équations différentielles données dans ce paragraphe,
considérons le triangle (fig. 2 du texte), dans ce triangle
on a
d’où en différentiant,
ou
mais on a
(m)
|
et
|
|
(n)
|
|
|
on a aussi
d’où
ou
ou, en ayant égard aux relations (m) et (n)
l’équation différentielle précédente devient donc, en ayant égard,
pour son second terme, à l’équation (m)
Telle est la première équation de l’art. 57. Pour avoir les deux
autres, le même triangle donne
d’où, par différentiation,
mais
et le même triangle donne
il vient donc, par substitution,
qui est la seconde équation.
Pour trouver la troisième, on a
d’où, en différentiant,
mais
car on a la relation
qui devient, à cause de l’égalité
ou, en multipliant par
ou
et en remarquant que il vient
c’est-à-dire,
On a donc enfin, en ayant égard à cette relation,
qui est la troisième équation.
On a, dans l’art. 62, § II,
[1]
|
|
|
En posant
on a, d’après le théorème de Maclaurin,
de l’équation (1) on déduit
et
d’où, en s’arrêtant à ce terme,
On a aussi, dans le même art. 62, § II,
mais des deux premières relations données dans cet article on déduit,
en faisant
Ces valeurs, substituées dans l’expression de donnent
|
|
Si l’on développe suivant les puissances croissantes de en remarquant
que est une fonction de qui devient nulle pour
on trouve
|
|
|
|
mais
on a donc
d’où
On a aussi, dans le même art. 62, § II,
d’où
(2)
|
|
|
Développons suivant les puissances croissantes de et remarquons que pour on a et par suite,
En différentiant la relation (2), on trouve, après avoir fait
mais
on a donc,
d’où
mais
on a donc,
d’où l’on déduit
Note VIII (art. 72).
Soient menés par le lieu vrai de l’observateur (fig. 4 des notes)
et par le centre de la Terre des plans parallèles au plan de l’écliptique.
Menons une droite arbitraire faisant l’angle avec la ligne
des équinoxes. Joignons ( étant la projection sur l’écliptique
du point ), joignons aussi et
On peut considérer comme la résultante des deux lignes et
en projetant ce système sur la ligne on aura
En considérant comme la résultante des deux lignes et on
aura, en projetant ce système sur la ligne
d’où
Si l’on fait les mêmes projections sur une perpendiculaire à on
aura
On trouve enfin, en menant parallèle à
d’où
Note IX (art. 90 et 100).
Gauss a donné dans le Berliner Astronomische Jahrbuch de 1814,
une autre méthode pour calculer et
On a, dans l’art. 90,
Si l’on substitue, dans le numérateur de cette fraction, à la place
de la série
on obtient
ou, en posant
on a
d’où
Substituant cette valeur dans l’expression il vient
formule à l’aide de laquelle on peut toujours trouver facilement
avec exactitude.
Pour avoir de l’art. 100, il suffit de substituer à la place de
dans les formules précédentes.
sera déterminé d’une manière plus convenable par la formule
Pour arriver à la relation [25], nous déduirons d’abord de la
relation [3] (art. 88),
La relation
devient, en mettant à la place de cette valeur,
ou
on en déduit
(m)
|
|
|
Mais, des relations
on déduit aussi,
ou, à cause de la relation (m),
d’où enfin,
Pour démontrer la relation
nous avons d’abord, entre et la relation
d’où
On peut aussi mettre la relation entre et (art. 99), sous la forme
on a ensuite,
mais
il vient donc, en substituant et réduisant,
on a par suite,
on a aussi,
|
|
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|
|
|
|
|
|
ou
Enfin, en substituant dans les valeurs trouvées, et en divisant
par 8 haut et bas, on trouve la relation donnée par Gauss.
L’équation en art. 101, est
On voit d’abord que puisque est positif, le produit des trois racines
est négatif ; donc dans le cas où les racines sont réelles, l’équation
doit en avoir deux positives et une négative.
En cherchant la valeur de qui rend les deux racines positives
égales entre elles, on trouve
et l’on obtient bien alors, en égalant à zéro le plus grand commun
diviseur de l’équation proposée et de sa dérivée, pour valeur de ces
racines égales,
Pour démontrer le théorème énoncé par Gauss dans cet article,
considérons une sphère. Soient (fig. (5) des notes) trois lieux
portés sur cette sphère dont nous supposons le rayon égal à 1 ; ces
lieux étant placés d’après leurs coordonnées héliocentriques ou géocentriques.
Appelons les longitudes et les latitudes
de ces trois points,
La pyramide est égale au prisme tronqué augmenté
de la pyramide et diminué des deux pyramides
La valeur du prisme tronqué
mais
or on a
étant la hauteur du triangle ;
si l’on mène perpendiculaire à on aura
et par suite
on aura donc, par analogie,
donc
prisme tronqué |
|
|
|
La pyramide
mais est la surface du triangle
on a donc,
Pyramide
et par analogie,
Pyramide |
|
Pyramide |
'
|
En effectuant les produits et en faisant la somme algébrique indiquée,
on obtiendra pour volume de la pyramide
c’est-à-dire,
ou égal à
ce qui démontre le théorème.
L’équation de Gauss
en posant
et
devient
(1)
|
|
|
Nous considérerons comme positif. Si dans une application numérique
cette quantité était négative, on prendrait au lieu de qui
est donné par une tangente, ±180.
Si l’on développe l’équation (1) de manière qu’elle ne contienne
plus que des termes en on trouve
(2)
|
|
|
équation du huitième degré.
L’angle représente l’angle à l’astre, c’est-à-dire un angle plus
petit que 180°, donc doit toujours être positif.
Si est positif, l’équation (2) contient trois variations, donc
cette équation n’a pas plus de trois racines positives ; si est négatif
l’équation ne contient plus qu’une variation, donc elle a au plus une racine positive ; le dernier terme de l’équation étant essentiellement
négatif, il est évident qu’elle a toujours au moins une racine positive, c’est celle qui répond à la solution relative à la Terre.
Comme lorsqu’on calcule l’orbite d’une planète observée, il doit
évidemment y avoir une valeur de autre que celle relative à la
Terre, on en conclut que dans la pratique (si les observations sont
aussi exactes qu’elles peuvent l’être) on doit toujours avoir
positif,
c’est-à-dire, toujours compris entre ±90°. Nous trouverons
tout à l’heure des limites plus resserrées.
Si l’on change en dans l’équation (2), on voit que lorsque
est positif, l’équation transformée n’a qu’une variation ; donc dans
ce cas, qui est le seul que nous considérons, la proposée ne peut pas
avoir plus d’une racine négative ; dans le cas où est négatif,
la transformée a trois variations, donc la proposée ne peut pas avoir
plus de trois racines négatives. Ainsi, dans tous les cas, il ne peut
pas y avoir plus de quatre racines réelles, et comme il y en a toujours
au moins une, celle de la Terre, et que las racines imaginaires sont
conjuguées deux à deux, c’est-à-dire sont en nombre pair, il est bien
évident que l’équation (2) admet deux ou quatre racines réelles dont
nous ne devons considérer que les racines positives.
La solution de l’équation de Gauss a donné lieu à plusieurs travaux
que nous n’entreprendrons pas de développer ici complètement.
Le but que tous les savants se sont proposé à ce sujet, a été d’obtenir
graphiquement une première détermination de la valeur de sur
laquelle on put baser ensuite, les essais à l’aide desquels on arrive
à une détermination exacte de la racine cherchée.
Déjà, en 1827, M. Binet avait donné une élégante solution graphique de l’équation à laquelle l’a conduit sa méthode relative à la
« Détermination des orbites des planètes et des comètes. » Cette équation, qui contient comme inconnue la distance de la planète à la
Terre, se ramène facilement à l’équation de Gauss par un changement d’inconnue, c’est-à-dire en substituant à l’angle à la planète qui est l’inconnue de Gauss, à l’aide des relations qui existent
entre ces deux quantités.
En 1848, M. Encke présenta aussi à l’Académie des sciences de Berlin une note sur la solution graphique de l’équation
Dans cette note, le savant astronome discutait les solutions qui
peuvent se présenter, et le moyen de les déterminer. Son moyen
graphique consiste à déterminer les points d’intersection des deux
courbes
et
Après avoir déterminé les limites et entre lesquelles doit
tomber, et aussi la limite supérieure de pour que, étant donnée
une équation
une valeur réelle de soit possible, M. Encke donne les conditions
d’après lesquelles on peut trouver une orbite différente de celle
de la Terre, satisfaisant à trois observations complètes d’une planète.
Une table fut aussi construite, donnant pour l’argument de degré
en degré, les racines correspondantes des limites et disposées
suivant leur ordre de grandeur. Les racines exactes de l’équation
proposée doivent tomber entre ces racines limites.
Il me paraît inutile de parler d’un grand nombre d’autres solutions
graphiques résolvant le problème plus ou moins facilement, en
employant, soit une ligne courbe et une ligne droite, soit une ligne
courbe et un cercle.
Nous allons simplement donner, avec quelque développement,
l’élégante solution insérée par M. Yvon Villarceau dans les Annales de l’Observatoire impérial, tome III.
Reprenons l’équation
(1)
|
|
|
En prenant les logarithmes népériens des deux membres, nous
obtenons
(2)
|
|
|
Désignons par la longueur d’une ligne quelconque ; nous pouvons
poser
Introduisant ces relations dans l’équation (2), après l’avoir multipliée
par elle devient
(3)
|
|
|
Pour résoudre cette équation il suffit de construire les deux courbes
ayant pour équations
(4)
|
|
|
(5)
|
|
|
La construction de ces deux courbes peut se ramener à celle de la
courbe
(6)
|
ou
|
|
puisque la courbe (4) n’est autre chose que la courbe (6) dans laquelle
on a pris pour nouvelle origine le point dont les deux coordonnées
sont et la courbe (5) peut se déduire de la
courbe (6) en quadruplant les ordonnées.
La première chose à faire est donc de construire la courbe
Si nous prenons égal au module des tables, c’est-à-dire
nous aurons, en désignant par les logarithmes vulgaires,
(7)
|
|
|
et de plus
Pour construire l’équation (7), portons sur l’axe des fig. (6),
une longueur égale à celle qui correspond à 180° ; en la désignant
par on aura
d’où
Ainsi, la longueur qui sur l’axe des représente les 180e développés,
est égale à 1,364376 unités de longueur.
Nous pouvons diviser cette ligne en 180 parties égales représentant
les degrés développés ; mais aux points de divisions nous
inscrirons le nombre de degrés correspondants ; de cette manière,
l’axe des nous indiquera tout de suite les nombres de degrés de
l’arc
Si aux extrémités de la ligne on élève des perpendiculaires,
ces deux droites seront évidemment asymptotes à la courbe qui sera
tangente à l’axe des au point qui correspond à
On peut évidemment prendre l’unité de longueur arbitrairement ;
nous l’avons prise de telle sorte que
De cette manière, chaque demi-millimètre nous représente un
degré, et il a été facile de diviser en 180 parties égales.
D’après la longueur adoptée pour on a évidemment, pour unité
de longueur,
unité
Nous avons porté cette unité sur l’axe des en considérant négativement
les longueurs comptées au-dessus de l’axe des et nous
avons divisé chaque intervalle en dix parties égales.
Pour avoir maintenant les points de la courbe correspondant aux
abscisses notées 2°, 4°, 6°, 8°, 10°, 20°, 30°,… etc., nous avons déterminé,
au moyen des tables de Callet, les nombres correspondants
à etc.
En multipliant les nombres trouvés par l’unité 0m,066 on aura
chaque ordonnée exprimée en millimètres, ce qui sera plus commode,
si l’on se sert d’un double décimètre.
En joignant tous les points ainsi obtenus, par un trait continu, nous
avons enfin la courbe (M).
Pour construire la courbe (N), (fig. 7), dont l’équation est
nous prendrons les mêmes abscisses que dans la courbe (M), et pour
avoir les ordonnées correspondantes, il suffira de multiplier par 4
tous les nombres que nous avons obtenus pour valeurs des ordonnées
de la courbe (M).
Dans la pratique, on calquera sur une feuille de papier transparent
la courbe (M), et c’est en la portant sur la courbe (N) de manière
que l’origine se trouve aux points dont l’ordonnée est et l’abscisse
et aussi que les axes des coordonnées des deux courbes soient parallèles,
que l’on obtient les points d’intersection des deux courbes. Les
abscisses de ces points d’intersection donnent les trois racines positives
de l’équation
les seules dont nous ayons à nous occuper.
Les deux courbes ayant chacune une seule branche, on voit bien
qu’il ne peut y avoir plus de trois points d’intersection.
Lorsque ces courbes ne se coupent qu’en un point, c’est la solution
relative à la Terre, il n’y a pas à s’en occuper.
Cherchons les relations qui doivent exister entre et pour
que deux des racines de l’équation proposée deviennent égales entre
elles. Cette relation entre et donnera un lieu géométrique
dont la surface comprise entre les deux branches et s’étendant le
long de l’axe des contiendra tous les points du plan qui pourront
seuls convenir à la position de l’origine de la courbe (M) transportée
sur la courbe (N).
Pour que l’équation (2) ait des racines égales, il faut que la même
valeur de satisfasse à cette équation et à sa dérivée
(8)
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Pour obtenir le lieu qui, dans le cas des racines égales, existerait
entre et il faudrait éliminer entre les équations (2) et (8).
Cette élimination nous conduirait à une équation trop compliquée ;
aussi allons-nous la construire par points, après avoir discuté sa
forme.
Nous remarquerons d’abord que pour il faut, d’après
l’équation (8), que et d’après l’équation (2), que
ce qui indique que l’axe des est asymptote à la courbe. Pour
on a et c’est-à-dire que la courbe passe
par l’origine.
Nous remarquons en outre que l’équation (8) ne change pas
quand on change à la fois en et en la quantité
reste la même. Par conséquent, à la même valeur de
correspondent deux valeurs de égales et de signes contraires, c’est-à-dire
que la courbe que nous voulons construire est symétrique par
rapport à l’axe des
Nous pouvons voir tout de suite que la courbe est limitée suivant
l’axe des car si nous cherchons la valeur de qui rend ω’ maximum,
nous trouvons, en différentiant l’équation (8),
(9)
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Comme nous savons que la courbe n’a pas de minimum, puisqu’elle
passe par l’origine, nous allons égaler à zéro le second membre
de l’équation (9) ; nous trouvons ainsi
(10)
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En multipliant cette équation par l’équation
nous trouvons
(11)
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Éliminons entre (10) et (11) nous trouvons
d’où l’on déduit
En substituant cette valeur dans l’équation (10), on trouve
Ainsi, le lieu géométrique qui représente la relation devant exister
entre et pour que deux des racines soient égales, est compris
dans un rectangle ayant pour axe l’axe des et dont les côtés
latéraux passent par les points de l’axe des qui correspondent à
± 36° 52′ 11,64″.
Si nous substituons dans l’équation (2) les logarithmes sinus relatifs
aux angles que nous venons de trouver, nous obtenons, en employant
les logarithmes vulgaires,
Ainsi en prenant (fig. 7), nous aurons en menant
par ce point une parallèle à l’axe des une ligne que le lieu
géométrique ne devra pas dépasser ; les points et dont les coordonnées
sont respectivement,
sont donc deux points de la courbe cherchée. Cette courbe ne pouvant
passer ni à droite de ni à gauche de ni au-dessous de
il est clair que les points et sont des points de rebroussement.
Si nous différentions l’équation (2), il vient