TROISIÈME SECTION.
RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.
78
La comparaison de deux ou plusieurs positions d’un corps céleste,
soit dans son orbite, soit dans l’espace, fournit une telle abondance de
propositions élégantes, qu’elles rempliraient facilement le volume entier. Notre but ne tend pas assurément à épuiser ce sujet fécond, mais
principalement à en retirer des ressources importantes pour la solution du grand problème de la détermination des orbites inconnues,
d’après les observations ; c’est pourquoi, en négligeant les questions
qui seraient trop étrangères à notre but, nous développerons le plus
soigneusement toutes celles qui, de quelque manière, peuvent y conduire. Nous faisons précéder ces recherches de quelques propositions
trigonométriques auxquelles il faudra très-souvent avoir recours,
puisqu’elles sont plus habituellement employées.
I. En désignant par
des angles quelconques, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \mathrm {A} \sin(\mathrm {C} -\mathrm {B} )+\,\sin \mathrm {B} \sin(\mathrm {A} -\mathrm {C} )+\sin \mathrm {C} \sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )&=0,\\\cos \mathrm {A} \sin(\mathrm {C} -\mathrm {B} )+\cos \mathrm {B} \sin(\mathrm {A} -\mathrm {C} )+\cos \mathrm {C} \sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28fc27ce48e2c51a18a04ea47193020fcd9d31c8)
II. Si deux quantités
doivent être déterminées par des équations telles que
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\sin(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a,\\p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {P} )&=b,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c488168a04ed5b8337fb6f229a5c762073f5c15)
ceci s’obtiendra généralement par le secours des formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\sin(\mathrm {H} -\mathrm {P} )&=b\sin(\mathrm {H} -\mathrm {A} )-a\sin(\mathrm {H} -\mathrm {B} ),\\p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\cos(\mathrm {H} -\mathrm {P} )&=b\cos(\mathrm {H} -\mathrm {A} )-a\cos(\mathrm {H} -\mathrm {B} ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53086f4575a60e4fbffd0c23ae0980e4b8c73b88)
dans lesquelles
est un angle arbitraire. De là se déduiront (art. 14, II)
l’angle
et
et de là
et
. La plupart du
temps il est ajouté la condition que
doit être une quantité positive, d’où se trouve écartée l’ambiguïté qui résulte de la détermination de l’angle
par sa tangente ; mais en l’absence de cette
condition, l’incertitude sera levée arbitrairement. Pour la plus grande
facilité du calcul, il sera convenable de prendre l’angle auxiliaire
ou
ou
Dans le premier cas, les équations,
pour la détermination de
et
seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\sin(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a,\\p\cos(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&={\frac {b-a\cos(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}{\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93190e7c87f827a44782e374c906f0fea7d5428)
Dans le second cas, les équations seront entièrement analogues ;
mais dans le troisième on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\sin \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {b+a}{2\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\\p\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {b-a}{2\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c51071080d23a93cd643c6facfb6d208c8b1c02)
Et alors, si l’on introduit l’angle auxiliaire
, dont la tangente
, on trouvera
par la formule
![{\displaystyle \operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\zeta )\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f088cdff0b5bb5579b7c6373a1e929043e96c2)
,
et ensuite
par l’une des formules précédentes, dans lesquelles
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}(b+a)&=\sin(45^{\circ }\!+\zeta ){\sqrt {\frac {ab}{\sin 2\zeta }}}\\&={\frac {a\sin(45^{\circ }\!+\zeta )}{\sin \zeta {\sqrt {2}}}}={\frac {b\sin(45^{\circ }\!+\zeta )}{\cos \zeta {\sqrt {2}}}},\\[1ex]{\frac {1}{2}}(b-a)&=\cos(45^{\circ }\!+\zeta ){\sqrt {\frac {ab}{\sin 2\zeta }}}\\&={\frac {a\cos(45^{\circ }\!+\zeta )}{\sin \zeta {\sqrt {2}}}}={\frac {b\cos(45^{\circ }\!+\zeta )}{\cos \zeta {\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ecf15e73f24ce42a73b54266116345db37360e)
III. Si
et
doivent être déterminées d’après les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\cos(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a,\\p\cos(\mathrm {B} -\mathrm {P} )&=b,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5345d32319c43cd9530314b6f9ba3e604616e100)
tout ce qui est exposé dans II peut immédiatement s’appliquer,
pourvu qu’à la place de
et
on mette partout
mais pour que l’application en soit plus facile, nous ne craignons pas
d’ajouter les formules développées. Les formules générales seront
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\sin(\mathrm {H} -\mathrm {P} )&=-&&b\cos(\mathrm {H} -\mathrm {A} )&{}+{}&a\cos(\mathrm {H} -\mathrm {B} ),\\p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\cos(\mathrm {H} -\mathrm {P} )&=&&b\sin(\mathrm {H} -\mathrm {A} )&{}-{}&a\sin(\mathrm {H} -\mathrm {B} ),\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1eb965e8750d534665a097fd0bccace56e19758)
de manière que pour
elles se changent en
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\sin(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&={\frac {a\cos(\mathrm {B} -\mathrm {A} )-b}{\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\\p\cos(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4fba8451d171e8afb53114ebc83e90a841b3eb4)
Pour
elles prennent une forme semblable ; mais pour
elles deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\sin \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {a-b}{2\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\\p\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {a+b}{2\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad280f91b6f026a6a5ff1c5bb1d9f17d120b2f87)
de sorte que par l’introduction de l’angle auxiliaire
, dont la tangente
il vient
![{\displaystyle \operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)=\operatorname {tang} (\zeta -45^{\circ }\!)\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebc6a4d090f3e30b4999214a3c88c35427d85af)
.
Enfin, si nous désirons déterminer
immédiatement au moyen de
et de
sans faire le calcul préalable de l’angle
, nous avons la
formule
![{\displaystyle p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )={\sqrt {\left[a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3ac8239fa17b56fa95a72863c7c3a1c4229c8d)
,
aussi bien dans le problème actuel que dans II.
79
Pour la détermination complète d’une section conique dans son
plan, trois quantités sont demandées : la position du périhélie, l’excentricité et le demi-paramètre. Si ces quantités doivent être déterminées d’après les quantités données qui en dépendent, il faut qu’il y ait assez de données pour pouvoir former trois équations indépendantes les unes des autres. Tout rayon vecteur donné en grandeur et en position fournit une équation ; c’est pourquoi trois rayons
donnés en grandeur et en position sont nécessaires pour la détermination d’une orbite. Mais si l’on en a deux seulement, un élément
même doit être déjà donné, ou au moins quelque autre quantité à
l’aide de laquelle il soit permis d’établir une troisième équation. De
là surgit une variété de problèmes que nous traiterons maintenant
successivement.
Soient
,
deux rayons vecteurs qui font avec une droite arbitraire menée par le Soleil, dans le plan de l’orbite, les angles
,
selon la direction du mouvement ; soit ensuite
l’angle que fait,
avec la même droite, le rayon vecteur mené au périhélie, de telle
sorte que les anomalies vraies
,
répondent aux rayons
vecteurs
,
; soient enfin
l’excentricité,
le demi-paramètre. On
obtient alors les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p}{r}}&=1+e\cos(\mathrm {N} -\Pi ),\\{\frac {p}{r'}}&=1+e\cos(\mathrm {N} '-\Pi ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6eac07042aec8d20565015f282ff8a792f86d5)
desquelles, si l’une des quantités
,
,
est en outre donnée, on
pourra déterminer les deux autres.
Supposons d’abord que le demi-paramètre
soit donné, et il
est évident que la détermination des quantités
au moyen des
équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}e\cos(\mathrm {N} -\Pi )&={\frac {p}{r}}-1,\\e\cos(\mathrm {N} '-\Pi )&={\frac {p}{r'}}-1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f0613b471585d0bfb07b12d0d20fe030cf2d32)
peut s’effectuer d’après la règle du lemme III de l’article précédent.
Nous avons donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tang} (\mathrm {N} -\Pi )=\operatorname {cotang} (\mathrm {N} '-\mathrm {N} )-{\frac {r(p-r')}{r'(p-r)\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}},\\\operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '-\Pi \right)={\frac {(r'-r)\operatorname {cotang} {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}{r'+r-{\dfrac {2rr'}{p}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c09a3b42a4131d9b27673d5ef5797795586005b)
80
Si l’angle
est donné,
et
seront déterminés au moyen des
équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {rr'\left[\cos(\mathrm {N} -\Pi )-\cos(\mathrm {N} '-\Pi )\right]}{r\cos(\mathrm {N} -\Pi )-r'\cos(\mathrm {N} '-\Pi )}},\\e&={\frac {r'-r}{r\cos(\mathrm {N} -\Pi )-r'\cos(\mathrm {N} '-\Pi )}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a192cccd6e7bb4547d29b8c3ddf1f7eee5114e)
On peut réduire le dénominateur commun dans ces formules, à la
forme
de telle sorte que
et
soient indépendantes
de
En désignant en effet par
un angle arbitraire, nous avons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}r\cos(\mathrm {N} -\Pi )-&{}r'\cos(\mathrm {N} '-\Pi )&=&\\{}&{\big [}r\cos(\mathrm {N} -\mathrm {H} )&{}-{}&r'\cos(\mathrm {N} '-\mathrm {H} ){\big ]}&&\cos(\mathrm {H} -\Pi )\\-{}&{\big [}r\sin(\mathrm {N} -\mathrm {H} )&{}-{}&r'\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {H} ){\big ]}&&\sin(\mathrm {H} -\Pi ),\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c089c86750d560f11593c041b4cc2c1fa223f857)
et par suite,
![{\displaystyle =a\cos(\mathrm {A} -\Pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcf4d8563c093d30ca8b9b7179cf26c2eef021b)
,
si
et
sont déterminées par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}r\cos(\mathrm {N} -\mathrm {H} )-r'\cos(\mathrm {N} '-\mathrm {H} )&=a\cos(\mathrm {A} -\mathrm {H} ),\\r\sin(\mathrm {N} -\mathrm {H} )-r'\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {H} )&=a\sin(\mathrm {A} -\mathrm {H} ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677e4ad13163d8a399bdd16f931a55849551a519)
De cette manière il vient.
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {2rr'\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )\sin \left({\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} +{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '-\Pi \right)}{a\cos(\mathrm {A} -\mathrm {B} )}},\\e&={\frac {r'-r}{a\cos(\mathrm {A} -\mathrm {B} )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5957fa0db645564ecd50d99b52e5d6bc5014c5)
Ces formules sont principalement commodes toutes les fois que
et
sont calculés pour plusieurs valeurs de
ne
changeant pas. — Comme pour le calcul des quantités auxiliaires
il est permis de prendre l’angle
arbitrairement, on pourra alors
poser
d’après quoi les formules se changent en
celles-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}(r'-r)\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )&=-a\cos \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right),\\(r+r')\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )&=-a\sin \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d24edd75373da78a2c9de02c51ba68c6748da14)
L’angle
étant donc déterminé par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)={\frac {r'+r}{r'-r}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c38b28a1208c9253af02f6952e9df5af07368c)
,
on a aussitôt
![{\displaystyle e=-{\frac {\cos \left(\mathrm {A} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)}{\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )\cos(\mathrm {A} -\Pi )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8be5c3512565c91e4119257b2b9b3d5534f7c6b)
.
Le calcul du logarithme de l’expression
pourra se simplifier
par une méthode déjà souvent expliquée.
81
Si l’excentricité est donnée, on trouve l’angle
par l’équation
![{\displaystyle \cos(\mathrm {A} -\Pi )=-{\frac {\cos \left(\mathrm {A} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)}{e\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a62d4d3110b19f78771471c70892722c90f9bed)
,
après que l’angle auxiliaire
a été déterminé par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)={\frac {r'+r}{r'-r}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c38b28a1208c9253af02f6952e9df5af07368c)
.
L’ambiguïté qui existe dans la détermination de l’angle
, par
son cosinus, résulte de la nature du problème, de manière qu’on
peut satisfaire à la question par deux solutions différentes ; il faudra
décider, d’autre part, laquelle devra être adoptée et laquelle rejetée ;
dans ce but, la valeur au moins approchée de
devra déjà être
connue. — Une fois
trouvé, on calculera
par les formules
![{\displaystyle p=r\left[1+e\cos(\mathrm {N} -\Pi )\right]=r'\left[1+e\cos(\mathrm {N} '-\Pi )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb66f21c0ebf4d1f6d58b083e096c4bff2bdac63)
,
ou par celle-ci :
![{\displaystyle p={\frac {2rr'e\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )\sin \left({\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '+{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} -\Pi \right)}{r'-r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a546c8c0e0c0db150d03f651415b7299590a6e)
82
Supposons enfin, que nous connaissions les trois rayons vecteurs
,
qui font, avec la droite menée arbitrairement par le Soleil
dans le plan de l’orbite, les angles
Nous aurons alors, en
conservant les mêmes notations, les équations (I) :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p}{r}}&=1+e\cos(\mathrm {N} -\Pi ),\\{\frac {p}{r'}}&=1+e\cos(\mathrm {N} '-\Pi ),\\{\frac {p}{r''}}&=1+e\cos(\mathrm {N} ''-\Pi ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215f13155515e73df21d82bfe92c7c7c7692830a)
qui permettront d’obtenir
,
,
de plusieurs manières. Si l’on veut
calculer la quantité
avant les autres, on doit multiplier les trois
équations (I) respectivement par
et l’on aura, d’après le lemme 1, art. 78, en ajoutant
les produits,
![{\displaystyle p={\frac {\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')-\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )+\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}{{\dfrac {1}{r}}\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')-{\dfrac {1}{r'}}\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )+{\dfrac {1}{r''}}\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05abcf5d9bed8f983aeb4019e952f1dbd3e02fd)
.
Cette expression mérite d’être considérée plus attentivement. Le numérateur devient évidemment,
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''&-\mathrm {N} ')\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\\&\quad -2\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''+{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '-\mathrm {N} \right)\\&=4\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c901656cc111c2713840635c72e65b78738773)
En posant, ensuite,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}r'r''&\sin(\mathrm {N} ''&{}-{}&\mathrm {N} ')&{}={}&n,\\rr''&\sin(\mathrm {N} ''&{}-{}&\mathrm {N} )&{}={}&n',\\rr'&\sin(\mathrm {N} '&{}-{}&\mathrm {N} )&{}={}&n'',\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23da066627a30ad26e73d21f85b9ea0e8e3af0a3)
il est évident que
,
,
sont les aires des triangles compris entre le second rayon vecteur et le troisième, entre le premier et
le troisième, entre le premier et le second. De là on apercevra facilement, dans la nouvelle formule
![{\displaystyle p={\frac {4\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} ).rr'r''}{n-n'+n''}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c3f3e15b3d7f065f6cffaee1b3892ea647dd93)
que le dénominateur est le double de l’aire du triangle compris entre
les extrémités des trois rayons vecteurs, c’est-à-dire entre les trois
positions du corps céleste dans l’espace. Toutes les fois que ces positions sont peu écartées les unes des autres, cette aire est toujours
une quantité très-petite et certainement du troisième ordre si
sont considérées comme de petites quantités du premier
ordre. On conclut de là en même temps, que si une ou plusieurs des
quantités
sont affectées d’erreurs même légères, il pourra en résulter, sur la détermination de
, une erreur
très-grande ; c’est pourquoi cette méthode-ci n’admet jamais une
grande précision, à moins que les trois lieux héliocentriques ne
soient distants l’un de l’autre d’un intervalle considérable.
Enfin, du moment que le demi-paramètre
sera trouvé,
et
se détermineront par la combinaison de deux quelconques des équations (I), d’après la méthode de l’art. 79.
83
Si nous aimons mieux commencer la résolution du même problème
par le calcul de l’angle
, nous emploierons la méthode suivante.
Nous retranchons, dans les équations (I) la troisième de la seconde,
la troisième de la première, la seconde de la première ; nous obtenons ainsi les trois nouvelles équations (II) :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\dfrac {1}{r'}}-{\dfrac {1}{r''}}}{2\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')}}={\frac {e}{p}}\sin \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} '+{\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''-\Pi \right),\\{\frac {{\dfrac {1}{r}}-{\dfrac {1}{r''}}}{2\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )}}={\frac {e}{p}}\sin \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''-\Pi \right),\\{\frac {{\dfrac {1}{r}}-{\dfrac {1}{r'}}}{2\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}}={\frac {e}{p}}\sin \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '-\Pi \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b56abdc33dc96cf23560789c5bc89a5072e29d)
Deux quelconques de ces équations donneront, d’après le lemme II, art. 78,
et
, d’où l’on obtiendra
et
par l’une ou l’autre des équations (I). Si nous adoptons la troisième solution enseignée dans
l’art. 78, II, la combinaison de la première équation avec la troisième
produit l’algorithme suivant : l’angle auxiliaire
sera déterminé par
l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} \zeta ={\frac {{\dfrac {r'}{r}}-1}{1-{\dfrac {r'}{r''}}}}.{\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')}{\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ecfbe6188ca4427c9b385e2ac987c6bc564be9)
,
et l’on aura
![{\displaystyle \operatorname {tang} \left({\frac {1}{4}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '+{\frac {1}{4}}\mathrm {N} ''-\Pi \right)=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\zeta )\operatorname {tang} {\frac {1}{4}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1707b1b24b512e75f7db94d67c735687d0001d47)
En changeant le second lieu avec le premier ou avec le troisième,
on obtiendra deux autres solutions entièrement analogues à celle-ci.
Comme en employant cette méthode les formules relatives à
se
résolvent moins promptement, il vaudra mieux déduire
et
des
deux équations (I) par la méthode de l’art. 80. Enfin, l’ambiguïté dans
la détermination de
par la tangente de l’angle
devra être ici écartée par la considération que
est une quantité positive ; il est en effet évident, que
acquière des valeurs opposées si
l’on prend pour
des valeurs différant entre elles de 180°. Mais le
signe de
ne dépend pas de cette ambiguïté et sa valeur ne peut être
prise négativement, à moins que les trois points donnés n’appartiennent à un arc d’hyperbole opposé au Soleil, cas contraire aux lois
de la nature, et auquel nous n’avons pas ici égard.
Les quantités que l’on obtiendrait, d’après l’application de la
première méthode de l’art. 78, II, après de pénibles substitutions,
peuvent être, dans le cas actuel, déterminées plus commodément de
la manière suivante : Que l’on multiplie la première des équations II
par
la troisième par
et que l’on retranche le dernier produit du premier. Alors, par l’application exacte
du
lemme I de l’art. 78[1], on obtiendra l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r'}}\!-\!{\frac {1}{r''}}\right)\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''\!-\!\mathrm {N} ')-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}\!-\!{\frac {1}{r'}}\right)\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '\!-\!\mathrm {N} )\\={\frac {e}{p}}\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''\!-\!\mathrm {N} )\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''-\Pi \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4de8bbc68e288cce0093caba9fd7a0b3d48dca7)
En combinant cette équation avec la seconde des équations II,
et
seront déterminés ; et alors
, par la formule.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''-\Pi \right)\\[0ex]&\qquad ={\frac {{\dfrac {r'}{r}}-{\dfrac {r'}{r''}}}{\left(1\!-\!{\dfrac {r'}{r''}}\right)\operatorname {cotang} {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''\!-\!\mathrm {N} )-\left({\dfrac {r'}{r}}\!-\!1\right)\operatorname {cotang} {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '\!-\!\mathrm {N} )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8dee2916f8eae692388077359dc3c90d5efa03)
De là aussi, dérivent deux autres formules entièrement analogues
en changeant le second lieu avec le premier ou avec le troisième.
84
Puisqu’on peut déterminer l’orbite entière, au moyen de deux
rayons vecteurs donnés de grandeur et de position, avec un élément
de l’orbite, on pourra aussi, avec ces données, déterminer le temps
pendant lequel le corps céleste se meut d’un rayon vecteur à l’autre,
si à la vérité nous négligeons la masse de l’astre ou si nous la regardons comme connue : nous nous en tiendrons à la première hypothèse,
à laquelle la seconde est facilement réduite. De là, réciproquement,
il est évident que deux rayons vecteurs donnés de grandeur
et de position avec le temps pendant lequel le corps céleste décrit l’espace compris, déterminent l’orbite entière. Mais ce problème,
qui doit être considéré comme très-important dans la théorie du mouvement des corps célestes, n’est pas si facilement résolu, puisque l’expression du temps en fonction des éléments est transcendante et de
plus assez compliquée. Il est, pour cela, le plus digne d’être traité
avec tout le soin possible ; c’est pourquoi, nous espérons qu’il ne sera
pas désagréable au lecteur que, outre la solution enseignée plus loin,
solution qui parait ne rien laisser à désirer, nous ayons considéré comme devant aussi être arrachée à l’oubli, celle dont nous
nous sommes fréquemment servis, avant que la première ne se soit
offerte à nous. Il est toujours favorable d’attaquer par plusieurs voies
un problème plus difficile, et de ne pas mépriser la bonne quoiqu’on préfère la meilleure. Nous entamons la question par l’exposition de
cette méthode plus ancienne.
85
Nous conserverons aux lettres
,
,
,
,
,
,
la même signification que précédemment. Nous désignerons par
la différence
et par
le temps pendant lequel le corps céleste se transporte de la
première position à la seconde. Il est maintenant évident, que si l’on
connaît la valeur approchée de l’une des quantités
on pourra
aussi en déduire la valeur des deux autres, et ensuite, par les méthodes développées dans la première section, le temps correspondant
au mouvement de l’astre pour aller de la première position à la seconde. Si ce temps se trouve égal à l’intervalle proposé
la valeur supposée de
ou
est exacte et l’orbite est déjà trouvée : si cela n’est
pas, le calcul recommencé avec une autre valeur un peu différente
de la première, montrera quelle variation, dans la valeur du temps,
correspond à une petite variation dans la valeur de
ou
de là,
par une simple interpolation, on déterminera la valeur corrigée. Si
le calcul est de nouveau recommencé avec cette valeur, le temps
qu’on en déduira s’accordera entièrement avec le proposé, ou au
moins, en différera d’une très-petite quantité, de telle sorte certainement, qu’on pourra atteindre, par de nouvelles corrections, un
accord aussi parfait que le permettent les tables logarithmiques et
trigonométriques.
Le problème se réduit donc à ceci ; — que, pour le cas où l’orbite
est entièrement inconnue, nous sachions déterminer une valeur au
moins approchée de l’une quelconque des quantités
Nous donnerons maintenant une méthode par laquelle la valeur de
est obtenue
avec tant de précision que, pour de petites valeurs de
elle n’exige
aucune nouvelle correction ; et par suite, l’orbite entière est déterminée, par un premier calcul, avec toute la précision que permettent
les tables vulgaires. Mais autrement, il ne faudra presque jamais recourir à cette méthode, si ce n’est pour des valeurs médiocres de
parce qu’on ne peut guère entreprendre la détermination d’une orbite entièrement inconnue, à cause de la complication trop embarrassée du problème, qu’avec des observations peu écartées les unes
des autres, ou plutôt telles qu’elles répondent à un mouvement héliocentrique peu considérable.
86
En désignant par
le rayon vecteur indéterminé ou variable qui
répond à l’anomalie vraie
l’aire du secteur décrit par le
corps céleste dans le temps
, sera
, cette intégrale étant
prise depuis
jusqu’à
et par suite, en prenant
avec
sa signification de l’art. 6, on a
Il est actuellement évident, d’après les formules développées par Cotes, que si
exprime une fonction quelconque de
des valeurs de plus en plus
approchées de l’intégrale
prise depuis
jusqu’à
s’obtiendront par les formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\Delta \left[\varphi u+\varphi (u\!+\!\Delta )\right],\\&{\frac {1}{6}}\Delta \left[\varphi u+4\varphi \left(u\!+\!{\frac {1}{2}}\Delta \right)+\varphi (u\!+\!\Delta )\right],\\&{\frac {1}{8}}\Delta \left[\varphi u+3\varphi \left(u\!+\!{\frac {1}{3}}\Delta \right)+3\varphi \left(u\!+\!{\frac {2}{3}}\Delta \right)+\varphi (u+\Delta )\right]+{\text{etc.}},\,{\text{etc.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f872efa64e265ad48c6e93b8eeb3fc259374bd45)
Il suffira, pour notre but, de s’arrêter aux deux premières formules.
Par la première, nous avons donc, dans notre problème,
![{\displaystyle \int \rho ^{2}dv={\frac {1}{2}}\Delta (r^{2}+r'^{2})={\frac {\Delta rr'}{\cos 2\omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dce8f94ad79497702dac26bfa12e4ae7e155a16)
,
si nous posons
![{\displaystyle {\frac {r'}{r}}=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb76af5026fd49d275165c82a2efe4bccbde2d5f)
.
C’est pourquoi, la première valeur approchée de
sera
que nous posons
.
Par la seconde formule, nous avons plus exactement
![{\displaystyle \int \rho ^{2}dv={\frac {1}{6}}\Delta (r^{2}+r'^{2}+4\mathrm {R} ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8bc073fd4857482e203a37f318684331d5cf74)
,
en désignant par
le rayon vecteur qui correspond à l’anomalie intermédiaire ![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '-\Pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f974d78860881793212c7f7c24416c6fe2f516)
En exprimant maintenant
en fonction de
d’après les formules données dans l’article 82, nous trouvons
![{\displaystyle p={\frac {4\sin ^{2}{\dfrac {1}{4}}\Delta \sin {\dfrac {1}{2}}\Delta }{\left({\dfrac {1}{r}}+{\dfrac {1}{r'}}\right)\sin {\dfrac {1}{2}}\Delta -{\dfrac {1}{\mathrm {R} }}\sin \Delta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270ad30e14a05ceca2e8b38f2f0014812623fe35)
et de là
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}\Delta }{\mathrm {R} }}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}\right)-{\frac {2\sin ^{2}{\dfrac {1}{4}}\Delta }{p}}\\&={\frac {\cos \omega }{\sqrt {rr'\cos 2\omega }}}-{\frac {2\sin ^{2}{\dfrac {1}{4}}\Delta }{p}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502caf96cdb0da5372fba70d89908e8ffb9f76c0)
En posant donc,
![{\displaystyle {\frac {2\sin ^{2}{\dfrac {1}{4}}\Delta {\sqrt {rr'\cos 2\omega }}}{\cos \omega }}=\delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8842922ab3280e1efbfa69d03812ec77e5310b5d)
il vient
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}\Delta {\sqrt {rr'\cos 2\omega }}}{\cos \omega \left(1-{\dfrac {\delta }{p}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db2f3f0f0814a2b215f63291b67c53660260343)
d’où l’on obtient la seconde valeur approchée de
,
![{\displaystyle {\sqrt {\overset {}{p}}}=\alpha +{\frac {2\alpha \cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\Delta \cos ^{2}2\omega }{\cos ^{2}\omega \left(1-{\dfrac {\delta }{p}}\right)^{2}}}=\alpha +{\frac {\varepsilon }{\left(1-{\dfrac {\delta }{p}}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b413a5a94ec64ec660fb7dbafb7eeecb2399296b)
,
si nous posons
.
C’est pourquoi, en écrivant
à la place de
on déterminera
par l’équation
![{\displaystyle (\pi -\alpha )\left(1-{\frac {\delta }{\pi ^{2}}}\right)^{2}=\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa9b1b3f48e5424f143058d1e1795a7c33ec7d1)
,
qui convenablement développée s’élèverait au cinquième degré. Posons
de telle sorte que
soit une valeur approchée de
et
une très-petite quantité dont on peut négliger le carré et les
puissances supérieures ; on trouve par cette substitution,
![{\displaystyle (q-\alpha )\left(1-{\frac {\delta }{q^{2}}}\right)^{2}+\mu \left[\left(1-{\frac {\delta }{q^{2}}}\right)^{2}+{\frac {4\delta (q-\alpha )}{q^{3}}}\left(1-{\frac {\delta }{q^{2}}}\right)\right]=\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5456a269864295df88d8dd5ae32e379ebfc7b3)
ou
![{\displaystyle \mu ={\frac {\varepsilon q^{5}-(q^{2}-\alpha q)(q^{2}-\delta )^{2}}{(q^{2}-\delta )(q^{3}+3\delta q-4\alpha \delta )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cced06c65cbd361d31951474b276233fba02bf82)
et par suite,
![{\displaystyle \pi ={\frac {\varepsilon q^{5}-(q^{2}-\delta )(\alpha q^{2}+4\delta q-5\alpha \delta )q}{(q^{2}-\delta )(q^{3}+3\delta q-4\alpha \delta )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b375c0ea1c18a122c14bfea7f141a012aba84a2)
Nous avons maintenant, dans notre problème, la valeur approximative de
à savoir
qui étant substituée à la place de
dans la formule précédente, donne la valeur corrigée
![{\displaystyle \pi ={\frac {243\alpha ^{4}\varepsilon +3\alpha (9\alpha ^{2}-\delta )(9\alpha ^{2}+7\delta )}{(9\alpha ^{2}-\delta )(27\alpha ^{2}+5\delta )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81777b8c01ad341c7ec36972be6c85ae4e003693)
En posant donc,
![{\displaystyle {\frac {\varepsilon }{(1-3\beta )\alpha }}=\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74828709ff39c1115e276a7610ee085ca5eebecd)
la formule prend cette forme-ci :
![{\displaystyle \pi ={\frac {\alpha (1+\gamma +21\beta )}{1+5\beta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68638b2366ebe15c7184fe387922b3fd8c652557)
et toutes les opérations nécessaires à la solution du problème sont
contenues dans les cinq formules :
I.
|
|
|
II.
|
|
|
III.
|
|
|
IV.
|
|
|
V.
|
|
|
S’il plaît de diminuer quelque chose de la précision de ces formules, on pourra obtenir des expressions encore plus simples. En
faisant, en effet,
et
et en développant la valeur de
en série suivant les puissances croissantes de
on obtient, en
négligeant les quatrièmes puissances et celles plus élevées,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\overset {}{p}}}=\alpha \left(3-{\frac {1}{2}}\Delta ^{2}+{\frac {\Delta ^{2}{\sqrt {rr'}}}{18\alpha ^{2}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f5480dc9c800b0bf9e63364a27a2616e767238)
dans lesquelles
doit être exprimé en parties du rayon. C’est pourquoi, en faisant
on a
VI.
|
|
|
De la même manière, en développant
en série, suivant les
puissances croissantes de
on obtient, en posant
VII.
|
|
|
ou
VIII.
|
|
|
Les formules VII et VIII s’accordent avec celles que l’illustre Euler
a développées dans le « Theoria motus planetarum et cometarum, »
et la formule VI avec celle qui a été employée dans les « Recherches et calculs sur la vraie orbite elliptique de la comète de 1769, » p. 80.
87
Les exemples suivants éclairciront la pratique des méthodes précédentes, et permettront en même temps d’estimer le degré de précision.
I. Soient
jours. On trouve ici
d’où le calcul ultérieur se fait de la manière suivante :
|
![{\displaystyle \log \Delta .........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229c3e173aa3e6f77e4c8ca4625409560ce994f2) |
4,4360629 |
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edef8290613648790a8ac1a95c2fb7c3972aea2f) |
![{\displaystyle rr'\cos 2\omega .....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9193b45dff73486687c6f4db9e1dbd477f41a62) |
0,3264519
|
|
![{\displaystyle \log rr'........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39c963140879e0c824804eeac0004e84281577b) |
0,6529879 |
|
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) |
![{\displaystyle \log \sin {\tfrac {1}{4}}\Delta ....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/933564fc31fe03fbb4ac11c14023c969b7699a56) |
7,0389972
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log 3k\,........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379ccfe2134231d60b3c54a3e1725fb5d5b861a1) |
5,9728722 |
|
|
![{\displaystyle \log {\tfrac {2}{27}}........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4daeb27089e6742b0a6b82dad76b9f5b73c073) |
8,8696662
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log t..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e541a5db6a3f98a3cb72ffa9f8c2b3cb7e38ffd8) |
8,6588840 |
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log \alpha ^{2}........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d82e01e92a6ea70a990454b6d85d865224a1d7) |
0,5582180
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log \cos 2\omega .....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd688446689018a6d25acfa9d64c89a195245ff) |
0,0000840 |
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log \cos \omega ......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2937cbd9f9a7161d51ee9809fac84aaabdafe82) |
0,0000210
|
|
![{\displaystyle \log \alpha .........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca6fed6702e48a152ee55c37a87fee36c3b0869) |
9,7208910 |
|
|
![{\displaystyle \log \beta .........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc6346b316d0fe21f05a23b2d22dc4534ad16047) |
6,7933543
|
0,0006213757
|
|
![{\displaystyle \log 2\,.........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a06f96198f44387be49a454eab7db0f1d7b024) |
0,3010300
|
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) |
![{\displaystyle \log \cos {\tfrac {1}{2}}\Delta ....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5468cc905500ae2a2372a1ee314eb8d46263b445) |
9,9980976 |
|
3,0074471
|
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) |
![{\displaystyle \log \cos 2\omega .....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd688446689018a6d25acfa9d64c89a195245ff) |
9,9998320 |
|
|
![{\displaystyle \log \;..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/400265395894b729de1c3a968444fdcd14d6124b) |
0,4781980
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log(1-3\beta )...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f46b0cebd6a91e421f1d04467257f8386c8791) |
0,0008103 |
|
|
![{\displaystyle \log \alpha .........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca6fed6702e48a152ee55c37a87fee36c3b0869) |
9,7208910
|
![{\displaystyle 2\mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4760b3c336d84d30c5225b58250c0fc86c5c36e) |
![{\displaystyle \log \cos 2\omega .....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd688446689018a6d25acfa9d64c89a195245ff) |
0,0000420 |
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log(1+5\beta )...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36eb8c17a1a214df515c30649d68ccdf876dc39) |
9,9986528
|
|
![{\displaystyle \log \gamma ..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f82345c1f86d65120c4c5de518202cdac3131e) |
0,2998119 |
|
|
![{\displaystyle \log {\sqrt {\overset {}{p}}}.......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06827577d2f5d630f91b794c714cf6dd2d192057) |
0,1977418
|
1,9943982 |
|
|
![{\displaystyle \log p.........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb4c40417aa94a228484ceee86a038d135cce6f) |
0,3954836
|
0,0130489
|
Cette valeur de
diffère de la vraie valeur, à peine d’une
unité du septième ordre : la formule VI, dans cet exemple, donne
la formule VII donne
enfin, la formule VIII,
II. Soient
jours. On déduit de là
qui est inférieur à la vraie valeur, de 183 unités du septième ordre.
La vraie valeur est en effet, dans cet exemple,
par la
formule VI on trouve
par la formule VII,
enfin, par la formule VIII,
les deux dernières valeurs
diffèrent tellement de la vérité qu’elles ne peuvent même tenir lieu
d’approximations.
88
L’exposition de la seconde méthode fournira l’occasion de développer un grand nombre de relations nouvelles et élégantes ; comme
elles prennent différentes formes suivant les diverses espèces de sections coniques, il sera convenable de traiter chacune d’elles en particulier ; nous commencerons par l’ELLIPSE.
Qu’à deux positions de l’astre correspondent les anomalies vraies
(dont
répond à l’époque antérieure), les anomalies excentriques
et les rayons vecteurs
soient ensuite
le demi-paramètre,
l’excentricité,
le demi grand axe,
le temps pendant
lequel l’astre passe de la première position à la seconde ; posons
enfin,
Ces conventions faites, nous déduisons facilement, par la
combinaison des formules V, VI, art. 8, les équations suivantes :
[1]
|
|
|
[2]
|
|
|
![{\displaystyle p\cos g=\left[\cos {\frac {1}{2}}v\cos {\frac {1}{2}}v'.(1\!+\!e)+\sin {\frac {1}{2}}v\sin {\frac {1}{2}}v'.(1\!-\!e)\right]{\sqrt {rr'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7352b1a0b8e3bd1813dd8cae61ccf8c5a748b5b4)
ou
[3]
|
|
|
et de même
[4]
|
|
|
De la combinaison des équations [3], [4], on obtient ensuite
[5]
|
|
|
[6]
|
|
|
Au moyen de la formule III, art. 8, nous obtenons
[7]
|
|
|
![{\displaystyle r'+r=2a-2ae\cos g\cos \mathrm {G} =2a\sin ^{2}g+2\cos f\cos g{\sqrt {rr'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/486f627964ff36350b719dddb7292843d29885ae)
d’où
[8]
|
|
|
Posons
[9]
|
|
|
et l’on aura
[10]
|
|
|
et aussi
![{\displaystyle {\sqrt {\overset {}{a}}}=\pm {\frac {\sqrt {2\left(l+\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}g\right)\cos f{\sqrt {rr'}}}}{\sin g}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e23ed58137630e9e5b760796099af4b6a26ba4)
dans laquelle il faudra prendre le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que
sera positif ou négatif. La formule XII de l’art. 8
nous donne l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {kt}{a^{\frac {3}{2}}}}&=\mathrm {E} '-e\sin \mathrm {E} '-\mathrm {E} +e\sin \mathrm {E} \\&=2g-2e\sin g\cos \mathrm {G} \\&=2g-\sin 2g+2\cos f\sin g{\frac {\sqrt {rr'}}{a}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a65da186c56b9296e45c4ff0a9841108872fbda)
Si maintenant on substitue dans cette équation à la place de
sa
valeur [10], et qu’on pose par abréviation
[11]
|
,
|
|
on trouve, toutes réductions convenablement faites,
[12]
|
|
|
dans laquelle le signe supérieur ou le signe inférieur doit être placé
devant
, suivant que
est positif ou négatif.
Toutes les fois que le mouvement héliocentrique est compris entre
180° et 360°, ou plus généralement, toutes les fois que
est négatif, la quantité
déterminée par la formule [11] devient imaginaire. Pour éviter cela, nous adopterons dans ce cas là, à la place
des équations [9] et [11], les suivantes :
[9∗]
|
,
|
|
[11∗]
|
,
|
|
d’où nous obtiendrons, à la place des formules [10] et (12]
[10∗]
|
|
|
[12∗]
|
|
|
dans laquelle, le signe à prendre est déterminé de la même manière
que précédemment.
89
Un double travail se présente maintenant à nous : premièrement,
que de l’équation transcendante [12], puisqu’elle n’admet pas de
solution directe, nous déterminions l’inconnue
le plus commodément ; secondement, que de l’angle
trouvé nous déduisions les éléments eux-mêmes. Avant d’entreprendre ces questions, effectuons
une transformation particulière au moyen de laquelle le calcul des
quantités auxiliaires
ou
est promptement achevé, et en outre
plusieurs formules développées plus loin sont réduites à une forme
plus élégante.
En introduisant en effet l’angle auxiliaire
devant être déterminé
par la relation
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {r'}{r}}}=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\omega ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2265cc8f505f732268fd1a41e83695852fa2cfa)
il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\frac {r'}{r}}}+{\sqrt {\frac {r}{r'}}}&=2+\left[\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\omega )-\operatorname {cotang} (45^{\circ }\!+\omega )\right]^{2}\\&=2+4\operatorname {tang} ^{2}{2\omega }\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48a00c07321f288ecbd455f0a5decf3bcc193a4)
d’où l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}l&={\frac {\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}f}{\cos f}}+{\frac {\operatorname {tang} ^{2}2\omega }{\cos f}}&\mathrm {L} &=-{\frac {\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}f}{\cos f}}-{\frac {\operatorname {tang} ^{2}2\omega }{\cos f}}\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f23576b2362542fcd03ae905a3589da4a6491b)
90
Nous considérerons d’abord le cas où, par la résolution de l’équation [12], on obtient pour
une valeur qui n’est pas trop grande, de
telle sorte que
puisse être développé en série suivant les puissances croissantes de
Le numérateur de cette expression
que nous désignons par
devient
![{\displaystyle ={\frac {32}{3}}\sin ^{3}{\frac {1}{2}}g-{\frac {16}{5}}\sin ^{5}{\frac {1}{2}}g-{\frac {4}{7}}\sin ^{7}{\frac {1}{2}}g-\dots \mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb13cac84aa72bdcf084f190be13bc42011895f)
et le dénominateur
![{\displaystyle =8\sin ^{3}{\frac {1}{2}}g-12\sin ^{5}{\frac {1}{2}}g+3\sin ^{7}{\frac {1}{2}}g+\dots \mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a488cc4e2eef709c114c51f96489f672670e2b1f)
d’où
prend la forme
![{\displaystyle {\frac {4}{3}}+{\frac {8}{5}}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g+{\frac {64}{35}}\sin ^{4}{\frac {1}{2}}g+\dots \mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38fe257810887383914ca9d1af4c53ee0d2db85)
Mais pour mettre en évidence la loi des coefficients de cette série,
différentions l’équation
![{\displaystyle \mathrm {X} \sin ^{3}g=2g-\sin 2g\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b2ec09097ca5534b6102210bce4edf638f80bc)
d’où l’on déduit
![{\displaystyle 3\mathrm {X} \cos g\sin ^{2}g+\sin ^{3}g{\frac {d\mathrm {X} }{dg}}=2-2\cos 2g=4\sin ^{2}g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc731d0c64f414e0cb6f51ece49d409df6eda80)
En posant en outre
![{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {1}{2}}g=x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e68b69763d329803dcf712829fa433aed412374)
on a
![{\displaystyle {\frac {dx}{dg}}={\frac {1}{2}}\sin g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36b51e3b89c2499bc8fc02e70fa7acfd0961deb)
d’où l’on conclut
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}={\frac {8-6\mathrm {X} \cos g}{\sin ^{2}g}}={\frac {4-3\mathrm {X} (1-2x)}{2x(1-x)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a4e1e2ccb2426d850a5be6c08cf7f34b8b0c476)
et par conséquent
![{\displaystyle (2x-2x^{2}){\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=4-(3-6x)\mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c387cf12b8ef9b4035e5eb0c2084a0eca6a50b)
Si donc, nous posons
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {4}{3}}(1+\alpha x+\beta x^{2}+\gamma x^{3}+\delta x^{4}+\dots \mathrm {etc.} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60445c579f475de3d3e5ebb1a377b7d1d49a6ddd)
nous obtenons l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {8}{3}}\left[\alpha x+(2\beta -\alpha )x^{2}+(3\gamma -2\beta )x^{3}+(4\delta -3\gamma )x^{4}+\,\mathrm {etc.} \right]\\={}&(8-4\alpha )x+(8\alpha -4\beta )x^{2}+(8\beta -4\gamma )x^{3}+(8\gamma -4\delta )x^{4}+\,\mathrm {etc.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2740e86edc6c3859421c8ebe0c5d24a848816c40)
qui doit être identique.
De là, nous concluons
![{\displaystyle \delta ={\frac {12}{11}}\gamma \dots \mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fca6d1080a14b892c53b8cd410dd28d14bbe751)
d’où l’on déduit la loi de la progression. Nous avons donc
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {4}{3}}+{\frac {4.6}{3.5}}x+{\frac {4.6.8}{3.5.7}}x^{2}+{\frac {4.6.8.10}{3.5.7.9}}x^{3}+{\frac {4.6.8.10.12}{3.5.7.9.11}}x^{4}+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d3d5f2b393d8013ccd0bba4d3efd75eb28c410)
On peut transformer cette série en la fraction continue suivante :
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\cfrac {\cfrac {4}{3}}{1-{\cfrac {{\cfrac {6}{5}}x}{1+{\cfrac {{\cfrac {2}{5.7}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {5.8}{7.9}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {1.4}{9.11}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {7.10}{11.13}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {3.6}{13.15}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {9.12}{15.17}}x}{1-\mathrm {etc.} }}}}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5c96f96d7ee53914a441d902df1d5fbbc74810)
La loi suivant laquelle se forment les coefficients
etc., est évidente ; le
ième terme de cette série, si
est pair, est
et si
est impair,
un développement plus étendu de cette question serait trop étranger
notre sujet.
Si nous posons maintenant
![{\displaystyle {\cfrac {x}{1+{\cfrac {{\cfrac {2}{5.7}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {5.8}{7.9}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {1.4}{9.11}}x}{1-\,\mathrm {etc.} ,}}}}}}}}=x-\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3cadd6e2d70820315985280d5f7c88589ce23d0)
on a
et
![{\displaystyle \xi =x-{\frac {5}{6}}+{\frac {10}{9\mathrm {X} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7888eeb5dbf3f3ccefe63e8296b1f03ff34ac1cd)
ou
![{\displaystyle \xi ={\frac {\sin ^{2}g-{\dfrac {3}{4}}(2g-\sin 2g)\left(1-{\dfrac {6}{5}}\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}g\right)}{{\dfrac {9}{10}}(2g-\sin 2g)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb006bbaad3ead8540c3d9f2454ac3014ee4266e)
Le numérateur de cette expression est une quantité du septième
ordre, le dénominateur du troisième ordre, et par suite
du quatrième, pourvu que
soit considéré comme une quantité du premier
ordre, ou
comme une quantité du second ordre. On conclut de là
que cette dernière formule n’est pas convenable pour la détermination
numérique exacte de
toutes les fois que
n’exprime pas un angle
très-considérable ; mais alors, les formules suivantes sont convenablement employées, formules qui ne diffèrent l’une de l’autre que par
le changement des numérateurs dans les coefficients fractions, et
dont la première se déduit facilement au moyen de la valeur supposée de
[2].
[13]
|
|
|
ou,
![{\displaystyle \xi ={\cfrac {{\cfrac {2}{35}}x^{2}}{1-{\dfrac {18}{35}}x-{\cfrac {{\cfrac {4}{63}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {40}{99}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {18}{143}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {70}{195}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {40}{255}}x}{1-\,{\text{etc.}}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49acc19f0a64e40e2a48f41cf8e0ffdb04727c93)
Dans la troisième table annexée à cet ouvrage, se trouvent calculées avec sept décimales, les valeurs correspondantes de
pour
toutes les valeurs de
de millième en millième, depuis 0 jusqu’à 0,3. Cette table montre, au premier aspect, l’exiguïté de la
valeur de
pour des valeurs médiocres de
ainsi, pour
ou
ce qui donne
on a
. Il
eût été superflu de continuer cette table au delà puisque le dernier
terme
répond à
ou
Enfin, la
troisième colonne qui contient les valeurs de
correspondant aux
valeurs négatives de
sera expliquée plus loin, en son lieu.
91
L’équation 12, dans laquelle relativement au cas dont il s’agit il
convient évidemment d’adopter le signe supérieur, prend, en introduisant la quantité
la forme
![{\displaystyle m=(l+x)^{\frac {1}{2}}+{\frac {(l+x)^{\frac {3}{2}}}{{\dfrac {3}{4}}-{\dfrac {9}{10}}(x-\xi )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b2e944944914650d025465b3b094cbf29b2065)
En posant donc,
et
[14]
|
|
|
on a, après toutes les réductions convenables,
[15]
|
|
|
C’est pourquoi, si l’on peut regarder
comme une quantité connue,
s’en déduira à l’aide d’une équation du troisième degré, et l’on
aura ensuite,
[16]
|
|
|
Maintenant, quoique
contienne une quantité
encore inconnue,
on pourra, dans une première approximation, la négliger et prendre
pour valeur de
puisque certainement, dans le cas que nous
considérons,
est toujours une quantité extrêmement petite.
De là, par les équations 15 et 16 on obtiendra
et
de
on déduira
au moyen de la table III, et avec cette quantité on trouvera
par la formule 14, la valeur de
corrigée, avec laquelle recommençant le même calcul, on obtiendra les valeurs exactes de
et
Le
plus souvent ces valeurs diffèrent si peu des précédentes que
pris
de nouveau dans la table, n’est pas différent de la première valeur ;
s’il en était autrement, il faudrait recommencer de nouveau le calcul jusqu’à ce qu’il ne déterminât plus aucun changement. Dès que la
quantité
sera trouvée, on aura
par la formule,
![{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {1}{2}}g=x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff23cc09fed0697bb0ea50c1514e34f4d98a9e0)
Ces principes se rapportent au premier cas dans lequel
est positif ; dans l’autre cas, où il est négatif, nous posons
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {L} -{\overset {}{x}}}}={\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {Y} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e079fcfddc4ee0621831fa460dc2c012a7222cc9)
et
[14∗]
|
|
|
d’où l’équation 12∗, convenablement réduite, se change en celle-ci,
[15∗]
|
|
|
On pourra donc déterminer
d’après
au moyen de cette équation cubique, d’où l’on déduira ensuite
par l’équation
[16∗]
|
|
|
Dans une première approximation, on pourra prendre pour
la
valeur
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} ^{2}}{\mathrm {L} -{\dfrac {5}{6}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d8433c4ea33c289f4eea24765ea3a0fba56330f)
avec la valeur de
déduite de là, par le moyen des équations 15∗ et
16∗, on extraira
de la table III ; de là, par la formule 14∗ on aura
la valeur corrigée de
avec laquelle on recommencera le calcul de la
même manière. Enfin, l’angle
sera déterminé, d’après
de la même
manière que dans le premier cas.
92
Quoique dans certains cas, les équations 15, 15∗ puissent avoir
trois racines réelles, il ne sera néanmoins jamais douteux laquelle dans notre problème devra être adoptée. Puisqu’en effet
est évidemment une quantité positive, on conclut facilement de la théorie
des équations, que l’équation 15 a une seule racine positive avec deux
imaginaires ou deux négatives. Maintenant, puisque
doit
être nécessairement une quantité positive, il est évident qu’il ne reste
ici aucune incertitude.
Mais, en ce qui regarde l’équation 15∗, nous observons d’abord que
est nécessairement plus grand que
ce qui est facilement démontré, si l’équation donnée dans l’art. 89 est mise sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {L} =1+{\frac {\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}f}{-\cos f}}+{\frac {\operatorname {tang} ^{2}2\omega }{-\cos f}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb96df717a5534a35c85c966e64244201f64ce2d)
En substituant ensuite, dans l’équation 12∗,
à la place
de
il vient
![{\displaystyle \mathrm {Y} +1=(\mathrm {L} -x)\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/040106b1ab5a9218b12c6812653c7933433633b9)
et, par suite,
![{\displaystyle \mathrm {Y} \!+\!1>(1\!-\!x)\mathrm {X} >{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{3.5}}x+{\frac {4.6}{3.5.7}}x^{2}+{\frac {4.6.8}{3.5.7.9}}x^{3}+...>{\frac {4}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cafd2f193bdcd53de52cb0af29645a4345f756)
et par conséquent,
En posant, donc,
sera nécessairement une quantité positive ; par là aussi, l’équation 15∗ se
change en celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {Y} '^{3}+2\mathrm {Y} '^{2}+(1-\mathrm {H} )\mathrm {Y} '+{\frac {4}{27}}-{\frac {2}{9}}\mathrm {H} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee29d44725394bde55a995f99b80a667bc488b9)
qui ne peut avoir plusieurs racines positives, ainsi que le prouve
facilement la théorie des équations. On conclut de là que l’équation 15∗ ne peut avoir qu’une racine plus grande que
[3] qu’il faudra, les autres étant négligées, adopter dans notre problème.
93
Pour rendre la solution de l’équation 15 la plus facile possible,
pour les cas qui se présentent le plus fréquemment dans la pratique, nous ajoutons à la fin de cet ouvrage une table particulière (la
table II) qui donne, pour les valeurs de
comprises depuis
jusqu’à
, les logarithmes correspondants de
calculés avec le plus
grand soin jusqu’à la septième décimale. L’argument
est donné de
dix-millième en dix-millième depuis
jusqu’à
; par ce fait, les
différences secondes de
sont rendues insensibles, de sorte que
dans cette partie de la table il suffit assurément d’une simple interpolation. Mais comme la table serait devenue beaucoup trop volumineuse, si elle avait eu partout le même développement, on a dû
ne la donner depuis
jusqu’à la fin, que de millième en millième ; c’est pourquoi il faudra, dans cette dernière partie, avoir
égard aux différences secondes, si nous désirons à la vérité éviter
des erreurs de quelques unités dans la septième décimale. Au reste,
les petites valeurs de
sont, dans la pratique, de beaucoup les plus
fréquentes.
Toutes les fois que
sort des limites de la table, la solution de
l’équation 15, et aussi celle de l’équation 15∗, pourront être effectuées sans difficulté par la méthode indirecte ou par d’autres méthodes assez connues. Au reste, il ne sera pas étranger à la question
d’avertir qu’une petite valeur de
ne peut exister avec une valeur
négative de
, si ce n’est dans les orbites très-excentriques,
ainsi que cela ressortira spontanément de l’équation 20, donnée plus
loin dans l’art. 95[4].
94
La manière de traiter les équations 12, 12∗, expliquée dans les
art. 91, 92, 93, est basée sur la supposition que l’angle
n’est pas
trop grand, et certainement inférieur à la limite 66° 25′, au delà de
laquelle nous n’avons pas étendu la table III. Toutes les fois que
cette hypothèse n’est pas exacte, ces équations ne réclament pas
d’artifices aussi grands ; car elles pourront toujours, sans changement de forme, être résolues par tâtonnements en toute sûreté et très-commodément. Sûrement, en effet, puisque la valeur de l’expression
![{\displaystyle {\frac {2g-\sin 2g}{\sin ^{2}g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9685349e96265e7ae1cdd2cbb6fe066994792b0)
,
dans laquelle
doit évidemment être exprimé en parties du rayon, peut être calculée pour les grandes valeurs de
avec toute précision,
par le moyen des tables trigonométriques, ce qui ne peut certainement avoir lieu tant que
est un petit angle ; commodément, puisque
les lieux héliocentriques distants l’un de l’autre d’un aussi grand
intervalle ne sont presque jamais employés pour la détermination
d’une orbite encore entièrement inconnue, tandis que par le moyen
des équations 1 ou 3 de l’art. 88, une valeur approchée de
se déduit presque sans travail d’une connaissance quelconque de l’orbite ;
enfin, d’une valeur approchée de
on obtiendra toujours, par un
petit nombre d’essais, une valeur corrigée satisfaisant avec toute la
précision désirable à l’équation 12 ou 12∗. Au reste, toutes les fois
que deux lieux héliocentriques donnés embrassent plus d’une révolution entière, il importe de se rappeler que pour l’anomalie excentrique tout autant de révolutions complètes auront été achevées, de
telle sorte que les angles
tomberont tous les deux entre
0 et 360° ou entre les mêmes multiples de la circonférence entière,
et par suite
et
entre 0 et 180° ou entre les mêmes multiples de la
demi-circonférence. Si enfin, l’orbite était entièrement inconnue, et
qu’on ne pût même établir si le corps céleste, en allant du premier
rayon vecteur au second, a décrit une partie seulement de la révolution, ou, en outre, une ou plusieurs révolutions, notre problème
pourrait admettre quelquefois plusieurs solutions différentes ; toutefois nous ne nous arrêterons pas à ce cas qui ne se rencontre presque jamais dans la pratique.
95
Nous passons à une seconde question, à savoir la détermination
des éléments d’après l’angle
trouvé. Le demi-grand axe est ici obtenu immédiatement par les formules 10, 10∗, à la place desquelles
peuvent aussi être employées les suivantes :
[17]
|
|
|
[17∗]
|
i
|
|
Le demi-petit axe
est déterminé au moyen de l’équation 1 qui, étant combinée avec les précédentes, donne
[18]
|
|
|
[18∗]
|
|
|
Maintenant, le secteur elliptique compris entre deux rayons vecteurs et un arc d’ellipse est
mais le triangle compris entre
les mêmes rayons vecteurs et la corde
c’est pourquoi
le rapport du secteur au triangle est comme
ou comme
Cette remarque est d’une très-grande importance et éclaire en même
temps très-bien les équations 12 et 12∗ ; de là, il est en effet évident
que dans l’équation 12 les parties
et dans
l’équation 12∗ les parties
sont respectivement proportionnelles à l’aire du secteur (compris entre les rayons
vecteurs et l’arc d’ellipse), à l’aire du triangle (entre les rayons
vecteurs et la corde), à l’aire du segment (entre l’arc et la corde),
puisque la première aire est évidemment égale à la somme ou à la
différence des deux autres, selon que
tombe entre 0 et 180°
ou entre 180° et 360°. Dans le cas où
est plus grand que 360°,
il faut concevoir l’aire de l’ellipse entière ajoutée à l’aire du secteur
et aussi à l’aire du segment autant de fois que le mouvement contient de révolutions entières.
Puisque
on trouve ensuite, par la combinaison des
équations 1, 10, 10∗,
[19]
|
|
|
[19∗]
|
|
|
d’où, en substituant à la place de
et
leurs valeurs de l’art. 89, il
vient
[20]
|
|
|
Cette formule n’est pas propre au calcul exact de l’excentricité
toutes les fois que celle-ci a une petite valeur ; mais de cette relation on déduit facilement la formule suivante, qui est plus convenable,
[21]
|
|
|
à laquelle on peut aussi donner la forme suivante (en multipliant le
numérateur et le dénominateur par
),
[22]
|
|
|
On pourra toujours déterminer l’angle
avec toute précision, au
moyen de l’une ou l’autre formule (en employant si cela convient,
les angles auxiliaires dont les tangentes sont
pour la première, ou
pour la dernière).
Pour la détermination de l’angle
on peut employer la formule
suivante qui se déduit naturellement de la combinaison des équations
5, 7 et de celle qui suit non numérotée,
[23]
|
|
|
de laquelle, en introduisant
on trouve facilement
[24]
|
|
|
L’ambiguïté qui se présente ici est facilement éludée par le secours
de l’équation 7 qui apprend que l’on doit prendre
entre 0 et 180°,
ou entre 180° et 360°, selon que le numérateur dans ces deux formules est positif ou négatif.
En combinant l’équation 3 avec celles-ci, qui découlent immédiatement de l’équation II art. 8,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r'}}&={\frac {2e}{p}}\sin f\sin \mathrm {F} ,\\{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}&={\frac {2}{p}}+{\frac {2e}{p}}\cos f\cos \mathrm {F} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403926dbd9a7d10e1d388acd12a0d501b4f5b004)
la formule suivante se déduira sans peine,
[25]
|
|
|
de laquelle, en introduisant l’angle
il vient
[26]
|
|
|
L’ambiguïté est ici écartée comme précédemment. Aussitôt que les
angles
et
auront été trouvés, on aura
d’où la position du périhélie sera connue ; et aussi
Enfin, le mouvement moyen pendant le temps
sera
![{\displaystyle {\frac {kt}{a^{\frac {3}{2}}}}=2g-2e\cos \mathrm {G} \sin g\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47bf179510fc2c9a2798d63ba269b85de40e4617)
l’accord de ces expressions servira à confirmer le calcul ; l’époque de
l’anomalie moyenne correspondant à l’instant compris entre les deux
époques proposées sera
laquelle pourra à volonté,
être transportée à tout autre instant.
Il est encore un peu plus commode de calculer les anomalies
moyennes pour les deux époques données par les formules
et d’employer leur différence, en la comparant à la quantité
à confirmer l’exactitude du calcul,
96
Les équations développées dans l’article précédent jouissent en
vérité de tant de justesse qu’il semble qu’on ne peut rien désirer de
plus. Néanmoins, on peut obtenir quelques autres formules au moyen
desquelles les éléments de l’orbite sont déterminés avec encore
beaucoup plus d’élégance et de facilités ; mais la démonstration de ces formules
est un peu plus détournée.
Nous reprenons, de l’art. 8, les équations suivantes que nous distinguons, pour plus de commodité, par des nombres nouveaux :
I.
|
|
|
II.
|
|
|
III.
|
|
|
IV.
|
|
|
Nous multiplions I par
II par
d’où
nous obtenons, les produits étant ajoutés,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {1}{2}}(f+g){\sqrt {\frac {r}{a}}}&=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {E} \sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +g){\sqrt {(1+e)}}\\&+\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {E} \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +g){\sqrt {(1-e)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2cb2b7cf8af205933bfdf044e819a1beeafdad)
ou, à cause de
![{\displaystyle {\sqrt {(1-e)}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi -\sin {\frac {1}{2}}\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648f4addcf50a71c5ecfe708426769d03f64b600)
![{\displaystyle \cos {\frac {1}{2}}(f+g){\sqrt {\frac {r}{a}}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi \cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {F} \!-\!{\frac {1}{2}}\mathrm {G} \!+\!g\right)-\sin {\frac {1}{2}}\varphi \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F\!+\!\mathrm {G} } ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8328ae38e26c3e98b8d7b68515269804471d1305)
Exactement de la même manière, en multipliant III par
IV par
on trouve, en ajoutant les produits,
![{\displaystyle \cos {\frac {1}{2}}(f\!+\!g){\sqrt {\frac {r'}{a}}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi \cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {F} \!-\!{\frac {1}{2}}\mathrm {G} \!-\!g\right)-\sin {\frac {1}{2}}\varphi \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F\!+\!\mathrm {G} } ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1e26df38af7822141f187c7984c704ff04bd3c)
En retranchant de cette équation la précédente, il vient
![{\displaystyle \cos {\frac {1}{2}}(f+g)\left({\sqrt {\frac {r'}{a}}}-{\sqrt {\frac {r}{a}}}\right)=2\cos {\frac {1}{2}}\varphi \sin g\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F-\mathrm {G} } )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203875009e1d1965ac791e7822a96cd5d3d826c3)
ou, en introduisant l’angle auxiliaire ![{\displaystyle \omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0d8eba2c8829fecf9414b15b1d02c24db3a553)
[27]
|
|
|
Par des transformations tout à fait semblables, dont nous laissons le
développement au savant lecteur, on trouve
[28]
|
|
|
[29]
|
|
|
[30]
|
|
|
Puisque les premiers membres, dans ces quatre équations, sont des
quantités connues,
et
![{\displaystyle \cos {\frac {1}{2}}\varphi \sin g{\sqrt[{4}]{\frac {a^{2}}{rr'}}}=\mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33550f02b0eaa0164a3f16afc1b3f0e95febe00c)
seront déterminées d’après les équations 27 et 28 ; et aussi de la
même manière,
et
![{\displaystyle \sin {\frac {1}{2}}\varphi \sin g{\sqrt[{4}]{\frac {a^{2}}{rr'}}}=\mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990a2f77244d2e5e2871b33f3f6f9958e499b28f)
d’après les équations 29 et 30 ; l’incertitude dans la détermination
des angles
est écartée par la considération que
et
doivent avoir le même signe que ![{\displaystyle \sin g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe4aedefdac6ddba075a1fbbeaef129f6d02fed)
Ensuite,
et
se déduiront de
et
De
on pourra déduire
![{\displaystyle a={\frac {\mathrm {R} ^{2}{\sqrt {rr'}}}{\sin ^{2}g}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b06fde053e628182f7e4f83d6ea294cad97433)
et aussi
![{\displaystyle p={\frac {\sin ^{2}f{\sqrt {rr'}}}{\mathrm {R} ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec383e54e058c15089f890f63722cb813656967)
à moins que nous ne préférions nous servir de cette dernière quantité,
qui doit être égale à
![{\displaystyle \pm {\sqrt {\left[2\left(l+\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g\right)\cos f\right]}}=\pm {\sqrt {\left[-2\left(\mathrm {L} -\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g\right)\cos f\right]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac422bfda91908a63a884da01158e3b20f43e5b)
uniquement pour la confirmation du calcul, dans quel cas
et
seront plus convenablement déterminés par les formules
![{\displaystyle p=b\cos \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8afd1381aac0485d263bf65ce8ba6b5dd7b563)
Plusieurs des équations des articles 88 et 95 peuvent, si l’on veut,
servir dans la pratique à la confirmation du calcul ; à ces équations
nous ajouterons encore les suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2\operatorname {tang} 2\omega }{\cos 2\omega }}&{\sqrt {\frac {rr'}{a^{2}}}}=e\sin \mathrm {G} \sin g,\\{\frac {2\operatorname {tang} 2\omega }{\cos 2\omega }}&{\sqrt {\frac {p^{2}}{rr'}}}=e\sin \mathrm {F} \sin f,\\{\frac {2\operatorname {tang} 2\omega }{\cos 2\omega }}&=\operatorname {tang} \varphi \sin \mathrm {G} \sin f=\operatorname {tang} \varphi \sin \mathrm {F} \sin g.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54dfc052828702180597cffca9fa80fb3f8f6be)
Enfin, le mouvement moyen et l’époque de l’anomalie moyenne seront
déterminés de la même manière que dans l’article précédent.
97
Pour éclaircir les méthodes exposées depuis l’art. 88, nous reprendrons les deux exemples de l’art. 87 ; il est à peine nécessaire d’avertir
que la signification appliquée jusqu’à présent à l’angle auxiliaire
ne doit pas être confondue avec celle suivant laquelle, dans les art. 86
et 87, le même symbole a été pris.
I. Dans le premier exemple nous ayons
et ensuite
De là, par l’art. 89,
![{\displaystyle \log \sin ^{2}\!{\tfrac {1}{2}}f\,.....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac4e5682c0671f734c5bd15dc5d495e23a2fbd4) |
7,0389972 |
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} ^{2}2\omega ^{2}...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f53cca9079bebcb49e90917a24df32b025884e3) |
5,3832428
|
![{\displaystyle \log \cos f\,.......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe6dfea39c51a3ea043c5664f1ccecfcb778bc6) |
9,9990488 |
|
![{\displaystyle \log \cos f\,.......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe6dfea39c51a3ea043c5664f1ccecfcb778bc6) |
9,9990488
|
|
7,0399484 |
|
|
5,3841940
|
0,0011205691 |
|
0,0000242211
|
et par suite,
![{\displaystyle {\frac {5}{6}}+l=0,8344539.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c53963efc0eac227be1c6693b5e0753efc49c1)
-
Nous avons ensuite,
.
La valeur approchée de
est donc
, à laquelle répond,
dans notre table II,
. On a donc
![{\displaystyle \log {\frac {m^{2}}{y^{2}}}=7,2715132}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f61410456450e43cb1cb878c7256f511cefd140)
,
ou
![{\displaystyle {\frac {m^{2}}{y^{2}}}=0,001868587}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d770887aaf4343d7611dbbc7bd6c3dc6bdb500)
;
d’où, par la formule 16, on a
: c’est pourquoi,
puisque
se trouve, par la table III, entièrement insensible, les valeurs trouvées pour
,
,
n’exigent aucune correction. Maintenant,
la détermination des éléments se fait de la manière suivante :
C’est pourquoi, d’après les formules 27, 28, 29, 30, on a
|
![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) |
7,6916214![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
|
![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) |
0,0000052
|
|
9,9992065 |
|
|
|
8,7810188
|
|
9,9999929 |
|
|
|
7,7579709
|
|
7,6908279![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
|
|
|
7,6916143
|
|
8,7810240 |
|
|
![{\displaystyle \log \mathrm {Q} \cos {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {F} +\mathrm {G} )\,...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55bedf5c6af10dbc5b8093f456907de1e84fe0d) |
7,7579761
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {F} -\mathrm {G} )\quad =\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b565475caadc1ab02b693a4523e37e1b01bcf3) |
— 4° 38′ 41,54″ |
|
|
![{\displaystyle \log \mathrm {P} =\log \mathrm {R} \cos {\tfrac {1}{2}}\varphi ..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffef98b5392cc246397935f447a70f36f7b85efe) |
8,7824527
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {F} +\mathrm {G} )\quad =\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3e8aac971692b1522c83ff868b7dd503f776aa) |
319° 21′ 38,05″ |
|
|
![{\displaystyle \log \mathrm {Q} =\log \mathrm {R} \sin {\tfrac {1}{2}}\varphi ..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b310488fe46ad0b20dd3e3b3dbb1dbeeb8b69358) |
7,8778355
|
![{\displaystyle \mathrm {F} \,\qquad =\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a226b82e0e52f0325bde68a96926b040ae0966c4) |
314° 42′ 56,51″ |
|
|
De là ![{\displaystyle \;\;{\tfrac {1}{2}}\varphi \;\;=\;\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3875ef2c9e370cee5b4b5bea640956b8cc9e0ed2) |
07° 06′ 0,935″
|
![{\displaystyle v\,\qquad =\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e223355ea49e3dbd065ffd3ba28ebf8db8facd) |
310° 55′ 29,64″ |
|
|
![{\displaystyle \varphi \;\;=\;\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd96efdf9160b9ff41555145f39d9e3182a8bc1) |
14° 12′ 1,87″0
|
![{\displaystyle v'\qquad =\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64daf0012ed6903dff28d05c5aab0be688f7cb8f) |
318° 30′ 23,37″ |
|
|
|
8,7857960
|
![{\displaystyle \mathrm {G} \,\qquad =\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/541b56d750c96a1ac89bd2974672250a26483af3) |
324° 00′ 19,59″ |
|
|
Pour confirmer le calcul :
|
![{\displaystyle \mathrm {E} \,\qquad =\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ded2d5098169f3825fb15c0239457185acea892) |
320° 52′ 15,53″ |
|
|
|
0,1500394
|
![{\displaystyle \mathrm {E} '\qquad =\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615bf91b134443d45559315b8653c99940f01791) |
327° 08′ 23,65″ |
|
|
![{\displaystyle \log(l+x)=\log {\frac {m}{y}}..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ffd89a537dd39a8f1094419768d833728a3b9a3) |
8,6357566
|
|
8,7857960
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edef8290613648790a8ac1a95c2fb7c3972aea2f) |
![{\displaystyle \log rr'.................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0accc3be605aae3ef08ca7ea6b021736d7517d93) |
0,3264939 |
|
![{\displaystyle \log \sin \varphi ..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429361280cedf434130521b809a822175336d592) |
![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) |
9,3897262
|
|
![{\displaystyle \log \sin f...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce864d56c26e94ae3118e92c2b78addcf059d8ac) |
8,8202909 |
|
![{\displaystyle \log 206265\dots \dots ....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd5bb46a9442a5bd2e92604a507f36c134b4550) |
5,3144251
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log \sin g\,...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315c6da4fa4514704443ba59bcaca3b8001e02fd) |
1,2621765 |
|
![{\displaystyle \log e,\mathrm {en\;secondes} \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa9743d4005a8a6bb1eb0826de8edebc2c5141a) |
4,7041513
|
|
![{\displaystyle \log b...................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277dccee0f93e868cb93266c7ac6b9f6485b2505) |
0,4089613 |
|
![{\displaystyle \log \sin \mathrm {E} \,............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf26709d4f304ae2b2323972cb2e530b2a31e3be) |
9,8000767
|
|
![{\displaystyle \log \cos \varphi ...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a435a15c382a65332de322ce4bf5286744785f) |
9,9865224 |
|
![{\displaystyle \log \sin \mathrm {E} '............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf71a80665c699ab5b05981e111f8a61ab8e0e7d) |
9,7344714
|
|
![{\displaystyle \log p...................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecede372d1e48b447f92825ecaa6cfc5f142794) |
0,3954837 |
|
![{\displaystyle \log e\sin \mathrm {E} \,..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb68ed75b1facae5994e646e6aa79f504f97f42) |
4,5042280
|
|
![{\displaystyle \log a...................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f8cc24a924eb91dfe357c145330d12e43f22e9) |
0,4224389 |
|
![{\displaystyle \log e\sin \mathrm {E} '..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59de9a0a064f830d059c282fd4f3792f466ab1fc) |
4,4386227
|
|
![{\displaystyle \log k...................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58f4adeadc2371ef2482858fc05147ccc083dd1) |
3,5500066
|
−31932,14″ −8° 52′ 12,14″
|
![{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631d66184353d37ebfe470a07a6a61487da227ac) |
![{\displaystyle \log a...................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f8cc24a924eb91dfe357c145330d12e43f22e9) |
0,6336584
|
−27455,08″ −7° 37′ 35,08″
|
|
|
2,9163482 |
|
De là l’anomalie moyenne :
|
|
![{\displaystyle \log t\,...................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53557c0c1ceb01a53766b04c1f6c35a605455ab3) |
1,3411160 |
|
Pour le 1er lieu ![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
329° 44′ 27,67″
|
|
|
4,2574642 |
|
Pour le 2er lieu ![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
334° 45′ 58,73″
|
Le mouvement moyen diurne est donc =824″,7989. Le mouvement moyen dans le temps =18091″,07 =5° 1′ 31,07″. |
|
Différence![{\displaystyle \dots ..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c89348c05b78715a75fbf31e6955bc9d67988e) |
5° 01′ 31,06″
|
II. Dans l’autre exemple, on a
ou la valeur approchée
de
à laquelle, dans la table II, correspond
d’où l’on déduit
![{\displaystyle x=0,06527818\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d627388aa8a7bfa07d8e0da3405b2c9e812188f)
de là par la table III, on trouve
En employant cette
valeur, les valeurs corrigées deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}h&=0,2450779,&\log y^{2}&=0,1722303,&{\frac {m^{2}}{y^{2}}}=0,15164737,\\[0ex]x&=0,06529078,&\xi &=0,0002532.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2260d6c5af720de4d12d2a28792876bab2151d)
Si, avec cette valeur de
qui ne diffère de la précédente que
d’une seule unité du septième ordre, on recommence encore le calcul,
et
n’éprouveront pas de changements sensibles ; c’est
pourquoi la valeur trouvée pour
est déjà exacte et permet dès lors
de procéder de là à la détermination des éléments. Comme cette détermination ne diffère en rien de celle faite dans l’exemple précédent, nous ne nous y arrêterons pas.
III. Il ne sera pas hors de propos d’éclaircir aussi par un exemple
l’autre cas dans lequel
est négatif. Soient
ou
jours. On trouve ici
la première valeur approchée de
d’où
par la résolution de l’équation 15∗, on obtient
et ensuite
à laquelle répond, dans la table III,
De là se déduisent les valeurs corrigées
Le calcul étant recommencé de nouveau avec cette valeur de
il vient
valeur qui n’exige plus de correction, puisque
déduit de là n’éprouve pas de changement. On trouve ensuite
et de là, de même que dans l’exemple I
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465100697f4d3ae16564430a3c4f59893f719d83) |
![{\displaystyle \mathrm {F} -\mathrm {G} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df8778f35b118cb78dcdf55eef8374ade377d8d) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
3° 33′ 53,59″ |
|
![{\displaystyle \log \mathrm {P} =\log \mathrm {R} \cos {\tfrac {1}{2}}\varphi ..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffef98b5392cc246397935f447a70f36f7b85efe) |
9,9700508
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465100697f4d3ae16564430a3c4f59893f719d83) |
![{\displaystyle \mathrm {F} +\mathrm {G} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93dc7118b33bc8658d77a97ecfe3a37ee818622a) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
8° 26′ 06,38″ |
|
![{\displaystyle \log \mathrm {Q} =\log \mathrm {R} \sin {\tfrac {1}{2}}\varphi ..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b310488fe46ad0b20dd3e3b3dbb1dbeeb8b69358) |
9,8580552
|
|
![{\displaystyle \mathrm {F} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd88ce01cebb719c991531bf9a76dacc204f6d1a) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
11° 59′ 59,97″ |
|
37° 41′ 34,27″
|
|
![{\displaystyle v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
− 100° 00′ 00,03″ |
|
75° 23′ 08,54″
|
|
![{\displaystyle v'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f1c5b0af1f30c41cb8bc0ba3bfea98681da268) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
+ 123° 59′ 59,97″ |
|
|
0,0717096
|
|
![{\displaystyle \mathrm {G} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d895cb984f1cafde4d7c7f4993e6b92d72b6ad15) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
4° 52′ 12,79″ |
|
Comme preuve du calcul, on a :
|
|
![{\displaystyle \mathrm {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1811407dea8b43727d28dbe8da7251985b03e8) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
− 017° 22′ 38,01″ |
|
|
![{\displaystyle \mathrm {E} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b7d01e9d48711001464b885599d3cfdc5b3f97) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
+ 027° 07′ 03,59″ |
|
![{\displaystyle \log {\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {Y} }}{\sqrt {-2\cos f}}.....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0cc58e8e7245f111b190c373232807fec7c0ebf) |
0,0717097
|
Dans les orbites si excentriques, l’angle
est calculé un peu plus
exactement par la formule 19∗ qui donne, dans notre exemple,
l’excentricité
est aussi déterminée avec une plus
grande précision par la formule
que par
d’après la première relation, on a
Par la formule 1, on trouve ensuite
d’où
et le logarithme de la distance périhélie
![{\displaystyle \log {\frac {p}{1+e}}=\log a(1-e)=\log b\operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right)=9,7656496.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13cbe39625157978f3a6f26730828b5a3f636af)
Dans les orbites qui se rapprochent autant de la forme parabolique,
on a coutume d’assigner, à la place de l’époque de l’anomalie
moyenne, l’instant du passage par le périhélie ; les intervalles compris
entre ce moment et les deux époques qui correspondent aux deux positions de l’astre pourront être déterminés, au moyen des éléments
connus, par la méthode développée dans l’art. 41, intervalles
dont la différence ou la somme (selon que le périhélie est situé en
dehors ou en dedans des deux lieux proposés), devant s’accorder
avec l’intervalle
servira à confirmer l’exactitude du calcul. Les
nombres de ce troisième exemple avaient été déduits des éléments
supposés dans l’exemple des art. 38 et 43, de même que cet
exemple nous avait fourni notre premier lieu ; les légères différences
des éléments obtenus ici proviennent uniquement de la précision
limitée des tables logarithmiques et trigonométriques.
98
La solution de notre problème pour l’ellipse, développée dans les
articles précédents, pourrait aussi s’appliquer à la parabole et à l’hyperbole,
en considérant la parabole comme une ellipse dans laquelle
et
seraient des quantités infinies,
et enfin
et
et de même, l’hyperbole comme une ellipse dans laquelle
serait
négatif et
imaginaires ; nous préférons cependant, nous
abstenir de ces suppositions, et traiter le problème séparément pour
chaque genre de sections coniques. Une analogie remarquable se
manifestera ainsi de soi-même entre les trois genres.
En conservant dans la PARABOLE, aux lettres
la même signification avec laquelle nous les avons prises ci-dessus,
nous avons, d’après la théorie du mouvement parabolique ;
[1]
|
|
|
[2]
|
|
|
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2kt}{p^{\frac {3}{2}}}}&=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}\!{\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}\!{\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)\\&=\left[\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)\right].\left\{1+\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)\right.\\&+\left.{\frac {1}{3}}\left[\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)\right]^{2}\right\}\\&={\frac {2\sin f{\sqrt {rr'}}}{p}}\left({\frac {2\cos f{\sqrt {rr'}}}{p}}+{\frac {4\sin ^{2}f.rr'}{3p^{2}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159eccb8e251287e5baa78e14b388e66912d2112)
d’où
[3]
|
|
|
On déduit ensuite par la multiplication des équations 1, 2
[4]
|
|
|
et aussi par l’addition des carrés,
[5]
|
|
|
De là,
étant éliminé,
[6]
|
|
|
C’est pourquoi, si nous adoptons ici les équations 9, 9∗ de l’art. 88,
la première étant relative à
positif et la seconde à
négatif,
nous aurons
[7]
|
|
|
[7∗]
|
|
|
Ces valeurs étant substituées dans l’équation 3, il viendra, en conservant aux lettres
la signification établie par les équations 11,
11∗, art. 88,
[8]
|
|
|
[8∗]
|
|
|
Ces équations s’accordent avec les équations 12, 12∗ art. 88, si
on fait dans celles-ci
On en conclut que si deux lieux héliocentriques, auxquels on satisfait par une parabole, sont traités comme
si l’orbite était elliptique, il doit en résulter immédiatement, par
application des formules de l’art. 91,
réciproquement, on
voit facilement que si au moyen de ces formules on obtient
l’orbite se trouve parabolique au lieu d’elliptique, puisque d’après les équations 1, 16, 17, 19, 20, on a
La détermination des éléments s’achève ensuite très-facilement. Pour
on
pourra en effet, employer l’équation 7 du présent article ou l’équation 18 de l’art. 95[5] : mais pour
on a, d’après les équations 1, 2
de cet article
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {F} ={\frac {{\sqrt {r'}}-{\sqrt {\overset {}{r}}}}{{\sqrt {r'}}+{\sqrt {\overset {}{r}}}}}\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}f=\sin 2\omega \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b38b0206f280b45039a2b65ad83afe55a6c9cf3)
si l’angle auxiliaire
est pris avec la même signification que dans
l’art. 89.
À cette occasion nous observons encore, que si dans l’équation 3
nous substituons à la place de
sa valeur de l’équation 6, on retrouve
la relation assez connue
![{\displaystyle kt={\frac {1}{3}}\left(r+r'+\cos f{\sqrt {rr'}}\right)\left(r+r'-2\cos f{\sqrt {rr'}}\right)^{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13012e4917773ebdbf1481ead665057f3c8828c)
99
Dans l’HYPERBOLE, nous conservons aussi aux lettres
la même signification ; mais à la place du demi-grand axe
qui est ici négatif, nous écrivons
nous poserons ensuite
comme ci-dessus, art. 21, l’excentricité
Nous ferons la
quantité auxiliaire exprimée par
dans cet article, égale à
pour le
premier lieu et à
pour le second, d’où l’on conclut facilement que
est toujours plus grand que 1, mais toutes choses égales, diffère
d’autant moins de l’unité que les deux lieux proposés sont moins
distants l’un de l’autre. Des équations développées dans l’art. 21,
nous transportons ici, en modifiant un peu leur forme, la sixième et
la septième :
[1]
|
|
|
[2]
|
|
|
[3]
|
|
|
[4]
|
|
|
De là aussitôt découlent les suivantes :
[5]
|
|
|
[6]
|
|
|
[7]
|
|
|
[8]
|
|
|
On a ensuite par l’équation X de l’art. 21,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {r}{\alpha }}&={\frac {1}{2}}e\left({\frac {\mathrm {C} }{c}}+{\frac {c}{\mathrm {C} }}\right)-1,\\{\frac {r'}{\alpha }}&={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} c+{\frac {1}{\mathrm {C} c}}\right)-1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51e6681b5b4d7dfb6f2133979200ebdf24aacdf)
et de là
[9]
|
|
|
[10]
|
|
|
Cette équation 10 combinée avec l’équation 8 donne
[11]
|
|
|
En posant donc, de même que dans l’ellipse,
ou
![{\displaystyle =1-2\mathrm {L} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c076da4000ed1745c72119987febc95418f70765)
selon que
est positif ou négatif, on a
[12]
|
|
|
[12∗]
|
|
|
Le calcul de la quantité
ou
est effectué ici, comme dans l’ellipse, avec le secours de l’angle auxiliaire
On a enfin, d’après l’équation XI de l’art. 22 (en considérant les logarithmes hyperboliques),
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {kt}{\alpha ^{\frac {3}{2}}}}&={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} c-{\frac {1}{\mathrm {C} c}}-{\frac {\mathrm {C} }{c}}+{\frac {c}{\mathrm {C} }}\right)-\log \mathrm {C} c+\log {\frac {\mathrm {C} }{c}}\\&={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\left(c-{\frac {1}{c}}\right)-2\log c\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993c67cf9c15b64d7265f8b95ee7eaee75b77acb)
ou, en éliminant
au moyen de l’équation 8,
![{\displaystyle {\frac {kt}{\alpha ^{\frac {3}{2}}}}={\frac {\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)\cos f\,{\sqrt {rr'}}}{\alpha }}+{\frac {1}{2}}\left(c^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\right)-2\log c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1d2308e6ba0b393cdd6f4cb61d66140d04562c)
Nous substituons, dans cette équation, à la place de
sa valeur
d’après 12, 12∗ ; nous introduisons ensuite la lettre
ou
avec la
même signification que leur assignent les formules 11, 11∗, art. 88 ;
et enfin, nous écrivons pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {c}}-{\sqrt {\frac {1}{c}}}{\frac {}{}}\right)^{2}&=\!z,&{\frac {c^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}-4\log c}{{\dfrac {1}{4}}\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}&=\mathrm {Z} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653394da4cdbd8a6da133bf0ee3238c072138818)
De cette manière, on obtient les équations
[13]
|
|
|
[13∗]
|
|
|
qui ne contiennent qu’une seule inconnue, puisqu’il est évident que
est une fonction de
exprimée par la formule suivante,
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {(1+2z){\sqrt {(z+z^{2})}}-\log \left({\sqrt {1+z}}+{\sqrt {z}}\right)}{2(z+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5e689587df1b35e87c9f58ab63d211fdba0d6b)
100
En résolvant l’équation 13 ou 13∗, nous considérerons d’abord séparément, le cas où
n’atteint pas une valeur trop grande, de telle
sorte que
puisse être exprimé en série développée suivant les puissances croissantes de
et convergeant rapidement.
Maintenant on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1+2z){\sqrt {z+z^{2}}}&=z^{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{2}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {7}{8}}z^{\frac {5}{2}}\dots ,\\\log({\sqrt {1+z}}+{\sqrt {z}})&=z^{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {3}{40}}z^{\frac {5}{2}}\dots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d122e99b9d65d46a55c89a5869aaadcd34cea184)
et par suite le numérateur de
et le dénominateur
d’où
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {4}{3}}-{\frac {8}{5}}z\dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79afcffd201beacf5090053bacae5b94118ab30)
Pour découvrir la loi de la progression, différentions l’équation
![{\displaystyle 2(z+z^{2})^{\frac {3}{2}}\mathrm {Z} =(1+2z){\sqrt {z+z^{2}}}-\log \left({\sqrt {1+z}}+{\sqrt {z}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad225418ed39304ae20f995065dd8bfd0282cb50)
d’où l’on trouve, toutes réductions faites,
![{\displaystyle 2(z+z^{2})^{\frac {3}{2}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}+3\mathrm {Z} (1+2z){\sqrt {z+z^{2}}}=4{\sqrt {z+z^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37a95796570295d7039f75fe92a29a1f06029d45)
ou
![{\displaystyle (2z+2z^{2}){\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}=4-(3+6z)\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88dd36295e68cb0310623a154f2f2c0d2fd45938)
d’où l’on déduit, de la même manière que dans l’art. 90,
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {4}{3}}-{\frac {4.6}{3.5}}z+{\frac {4.6.8}{3.5.7}}z^{2}-{\frac {4.6.8.10}{3.5.7.9}}z^{3}+{\frac {4.6.8.10.12}{3.5.7.9.11}}z^{4}-{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd63da5b11cf6877963080c0aa57277beedacac)
Il est donc évident, que
dépend de
entièrement de la même manière que, ci-dessus,
dépend de
c’est pourquoi, si nous
posons
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {1}{{\dfrac {3}{4}}+{\dfrac {9}{10}}(z+\zeta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f06aca74056cfe148b3012081a703087100494)
sera aussi déterminé d’après
de la même manière que ci-dessus,
par
de sorte que l’on aura
[14]
|
|
|
ou
![{\displaystyle \zeta ={\cfrac {{\dfrac {2}{35}}z^{2}}{1+{\dfrac {18}{35}}z+{\cfrac {{\cfrac {4}{63}}z}{1+{\cfrac {{\cfrac {40}{99}}z}{1+{\cfrac {{\cfrac {18}{143}}z}{1+{\text{etc.}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01550ee3cdcb21bad3953e5f236716e81d4fd2ef)
C’est de cette manière qu’ont été calculées, de millième en millième, et depuis
jusqu’à
les valeurs de
que donne
la troisième colonne de la table III.
101
En introduisant la quantité
et en posant
ou
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {L} +{\overset {}{z}}}}={\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {Y} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc4a2a970410752c468e0a4e0cc7feb928f12f6d)
et aussi,
[15]
|
|
|
ou
[15∗]
|
|
|
les équations 13 et 13∗ prennent la forme suivante,
[16]
|
|
|
[16∗]
|
|
|
et deviennent par suite, entièrement identiques avec celles (15, 15∗, art. 91)
auxquelles on est parvenu dans l’ellipse. De là, en tant que
ou
peut être considéré comme connu, on pourra donc déduire
ou
et l’on aura ensuite
[17]
|
|
|
[17∗]
|
|
|
De ces dernières équations on conclut que toutes les opérations
prescrites ci-dessus pour l’ellipse conviennent aussi à l’hyperbole
jusqu’à cet endroit où, d’une valeur approchée de
ou
la quantité
ou
aura été déterminée ; mais après cela, la quantité
ou
![{\displaystyle \mathrm {L} -{\frac {\mathrm {M} ^{2}}{\mathrm {Y} ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc377eab7452c545f575cd7e91ddfade70c3dc0c)
qui doit être positive dans l’ellipse et égale à zéro dans la parabole,
doit être négative dans l’hyperbole ; c’est pourquoi, par ce critérium, le genre de la section conique sera défini. Une fois
trouvé,
notre table donnera
de là on déduira la valeur corrigée de
ou
avec laquelle le calcul devra être refait jusqu’à ce que toutes les
quantités s’accordent exactement.
Après que la véritable valeur de
aura été trouvée, on pourra en
déduire
par la formule
![{\displaystyle c=1+2z+2{\sqrt {z+z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e6f3e7d66d0484dc135045935e8e49a9985313)
mais il est préférable, aussi pour les usages suivants, d’introduire
un angle auxiliaire
déterminé par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} 2n=2{\sqrt {z+z^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c4c1fb057236cbfc8cb892fe85084347d9262b)
on aura d’après cela,
![{\displaystyle c=\operatorname {tang} 2n+{\sqrt {1+\operatorname {tang} ^{2}2n}}=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5b754ceeb77405401f734e43c4f30037e4219c)
102
Puisque dans l’hyperbole comme dans l’ellipse
doit nécessairement être positif, la résolution de l’équation 16 ne peut aussi être
ici sujette à ambiguïté[6] ; mais, en ce qui concerne l’équation 16∗,
on doit raisonner ici un peu autrement que dans l’ellipse. De la
théorie des équations on établit facilement que pour une valeur positive de
[7], cette équation (si à la vérité elle a quelque racine
réelle positive) a, avec une racine négative, deux racines positives,
qui seront ou toutes deux égales, c’est-à-dire égales à
![{\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {5}}-{\frac {1}{6}}=0,20601,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67e722961b864a31b5eca2f076869c9906dcf64)
ou l’une plus grande que cette limite, et l’autre plus petite. Nous démontrons maintenant, de la manière suivante, que dans notre problème (puisque par la supposition faite ci-dessus,
est une quantité
assez petite, au moins inférieure à
afin de pouvoir se servir de
la troisième table), on doit nécessairement prendre toujours la racine
la plus grande.
Si nous substituons, dans l’équation 13∗, à la place de
sa valeur
il vient
![{\displaystyle \mathrm {Y} +1=(\mathrm {L} +z)\mathrm {Z} >(1+z)\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2b17e99da749786432f3eeb3f274caadbd031a)
ou
![{\displaystyle \mathrm {Y} >{\frac {1}{3}}-{\frac {4}{3.5}}z+{\frac {4.6}{3.5.7}}z^{2}-{\frac {4.6.8}{3.5.7.9}}z^{3}+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedf8ca5d2409d1311deb9f77fee9144307960dc)
d’où l’on conclut facilement, que pour les valeurs de
aussi petites
que celles que nous supposons ici, on doit toujours avoir
Nous trouvons, en effet, en faisant le calcul, que pour que
devienne égal à cette limite, on doit avoir
mais il s’en
faut de beaucoup que nous voulions étendre notre méthode à des
voleurs si grandes de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
103
Toutes les fois que
atteint une grande valeur dépassant les limites
de la table III, les équations 13 et 13∗ sont toujours complètement
et commodément résolues, sans modifier leur forme, à l’aide de tâtonnements, et, de fait, par des raisons semblables à celles que
nous avons données pour l’ellipse, dans l’art. 94. Dans un tel cas,
on pourra supposer les éléments de l’orbite au moins approximativement connus ; et alors, on aura aussitôt une valeur approchée de
par la formule
![{\displaystyle \operatorname {tang} 2n={\frac {\sin f\,{\sqrt {rr'}}}{\alpha {\sqrt {e^{2}-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d056c7f2d74db0b3d9e918bc3a74f5c729023ff)
qui découle immédiatement de l’équation 6, .
On aura aussi
au moyen de
par la formule
![{\displaystyle z={\frac {1-\cos 2n}{2\cos 2n}}={\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4abb2bc1cd87f94ef2e1c35399091685983a8210)
et de la valeur approchée de
on pourra déduire, à l’aide de quelques tâtonnements, celle qui satisfait exactement à l’équation 13 ou
13∗. Ces équations peuvent aussi être présentées sous cette forme :
![{\displaystyle {\begin{aligned}m&=\left(l-{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {1}{2}}\\&+2\left(l-{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {3}{2}}\!\left[{\frac {{\dfrac {\operatorname {tang} 2n}{\cos 2n}}-\operatorname {log\,hyp\,tang} (45^{\circ }\!+n)}{\operatorname {tang} ^{3}2n}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9033c92bcc4079933f8e27ed3e932b82c8342b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} &=-\left(\mathrm {L} +{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {1}{2}}\\&+2\left(\mathrm {L} +{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {3}{2}}\!\left[{\frac {{\dfrac {\operatorname {tang} 2n}{\cos 2n}}-\operatorname {log\,hyp\,tang} (45^{\circ }\!+n)}{\operatorname {tang} ^{3}2n}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74b874c8235d181b8f88e0875ba57b76816cdb3)
Et ainsi, sans avoir égard à
la valeur exacte de
pourra aussitôt
être obtenue :
104
Il reste à déterminer les éléments eux-mêmes au moyen de
ou
En posant
on aura, d’après l’équation 6, art. 99,
[18]
|
|
|
En combinant cette formule avec 12, 12∗, art. 99, on trouve
[19]
|
|
|
[19∗]
|
|
|
d’où l’excentricité sera commodément et exactement calculée ; de
et
on obtiendra
par une division, et
par une multiplication, de telle sorte que l’on a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha &={\frac {2(l\!-\!z)\cos f.{\sqrt {rr'}}}{\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}&&={\frac {2m^{2}\cos f.{\sqrt {rr'}}}{y^{2}\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}={\frac {k^{2}t^{2}}{4y^{2}rr'\cos ^{2}\!f\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}\\&={\frac {-2(\mathrm {L} \!+\!z)\cos \!f.{\sqrt {rr'}}}{\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}&&={\frac {-2\mathrm {M} ^{2}\!\cos \!f.{\sqrt {rr'}}}{\mathrm {Y} ^{2}\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}={\frac {k^{2}t^{2}}{4\mathrm {Y} ^{2}rr'\cos ^{2}\!\!f\operatorname {tang} ^{2}\!2n}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/529137ae2c2b7fd79ac705fe1207f7eae6c54906)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}p&={\frac {\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2(l-z)}}&&={\frac {-\mathrm {Y} ^{2}\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2m^{2}}}=\left({\frac {yrr'\sin 2f}{kt}}\right)^{2}\\&={\frac {-\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2(\mathrm {L} +z)}}&&={\frac {-\mathrm {Y} ^{2}\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2\mathrm {M} ^{2}}}=\left({\frac {\mathrm {Y} rr'\sin 2f}{kt}}\right)^{2}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb913d428f28e85237ae0b14e733a4450bd4f996)
La troisième et la sixième expressions de
qui sont entièrement
identiques avec les formules 18, 18∗, art. 95, montrent que les remarques faites sur la signification des quantités
et
s’appliquent
aussi à l’hyperbole.
En combinant les équations 6, 9, article 99, on déduit
![{\displaystyle (r'-r){\sqrt {\frac {e^{2}-1}{rr'}}}=e\sin f.\left(\mathrm {C} -{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd032f27f51e9897efa0317b2d759514ea1d185)
c’est pourquoi en introduisant
et
et en posant
on a
[20]
|
|
|
De là,
étant déterminé, on aura, pour l’un et l’autre lieu, les
valeurs de la quantité exprimée par
dans l’article 21 ; on a ensuite,
par l’équation III, article 21,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v&={\frac {\mathrm {C} -c}{(\mathrm {C} +c)\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\psi }}\\\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v'&={\frac {\mathrm {C} c-1}{(\mathrm {C} c+1)\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\psi }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1e5972972be843fc5735b5bd03d267626a7882)
ou, en introduisant à la place de
les angles ![{\displaystyle \mathrm {N} ,\,n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89e8a567a1d198848eca67715753a6c10a5ebf0)
[21]
|
|
|
[22]
|
|
|
Par là seront déterminées les anomalies vraies
dont la différence comparée à
servira en même temps à confirmer le calcul.
Enfin, par la formule XI, art. 22, on déduira facilement que l’intervalle de temps compris entre le passage au périhélie et l’époque du
premier lieu,
![{\displaystyle ={\frac {\alpha ^{\frac {3}{2}}}{k}}\left[{\frac {2e\cos(\mathrm {N} +n)\sin(\mathrm {N} -n)}{\cos 2\mathrm {N} \cos 2n}}-\operatorname {log\,hyp} {\frac {\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\mathrm {N} )}{\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+n)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae215204e09399ac2a8fae1e0a2f027d9efe366)
et de même, l’intervalle de temps compris entre le passage au périhélie et l’époque du deuxième lieu,
![{\displaystyle ={\frac {\alpha ^{\frac {3}{2}}}{k}}\!\left[{\frac {2e\cos(\mathrm {N} \!-\!n)\sin(\mathrm {N} \!+\!n)}{\cos 2\mathrm {N} \cos 2n}}-\!\operatorname {log\,hyp} \operatorname {tang} (45^{\circ }\!\!+\!\mathrm {N} )\operatorname {tang} (45^{\circ }\!\!+\!n)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b5283de0132f64b9f2652d8cdc661e54821564)
Si donc, on pose l’époque du premier lieu
et par suite,
l’époque du second
on aura
[23]
|
|
|
d’où l’on connaîtra l’époque du passage au périhélie ; et enfin,
[24]
|
|
|
équation qui peut, si l’on veut, être employée comme une dernière
confirmation du calcul.
105
Pour éclaircir ces principes, nous composerons un exemple d’après
les deux lieux calculés dans les art. 23, 24, 25, 46, pour les mêmes
éléments hyperboliques. Soient donc
![{\displaystyle t=51,49788}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c12caa5745b401f03dec11e1398fe309c04949b0)
jours.
De là on trouve
![{\displaystyle l=0,05796039,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03c75c6992dc4214bf20dd62721946d8caff77e)
ou la valeur approchée de
de là, par la
table II,
![{\displaystyle z=0,00748585,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09d7d5a4998573f1d206254a87b99686c39d1aa)
à laquelle répond, dans la table III
![{\displaystyle \zeta =0,0000032.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61eece684c34de97d1d85dacab369e1e96ccf2b9)
De là, la valeur corrigée de
devient ![{\displaystyle 0,06443691}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6efbfa3e727d3e41b07f1df0a479c50a13ad3455)
![{\displaystyle z=0,00748583,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff4b7402f704f7012f230951d892949acf5287e)
valeurs qui n’ont besoin d’aucune nouvelle correction, puisque
n’en
éprouve aucun changement. Le calcul des éléments se fait maintenant de la manière suivante :
![{\displaystyle \log z..............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10a4629f20fd0d82f51d2dac19f8d136de34ff0) |
![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) |
7,8742399 |
|
C |
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} f........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c9996b68928cb7ac71177fa305caf43688933d) |
![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) |
9,6506199
|
![{\displaystyle \log(1+z).............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b037d006e1a6774bc4dd2bad8a953e7706b2f1) |
0,0032389 |
|
|
![{\displaystyle \log {\tfrac {1}{2}}\operatorname {tang} 2n.......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796f4625828e88a48e4a72b3bd889faa46fc1a58) |
8,9387394
|
![{\displaystyle \log {\sqrt {z+z^{2}}}...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15cef619b93fb47fed7245ccf5f33433cc4a19f8) |
8,9387394 |
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log(l-z)..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0870d62fe0b4b280468888f145ff8459c3c4a28d) |
1,2969275
|
![{\displaystyle \log 2\dots ...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e96e7b5d8ebd7850566c9b3dd3412d3a7f235b8) |
0,3010300 |
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} \psi ..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd80084159603da8871e761311485ab60cc1c26) |
9,8862868
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} 2n............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05065358f4af8c49150c2e13ed05bdb201ddf03) |
9,2397694 |
|
![{\displaystyle \psi =\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4e81be3958755fa94cbcf4cb0adba203d6ce31) |
37° 34′ 59,77″
|
C |
![{\displaystyle 2n=\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb87bfba67b50edf129cf95684fcd22e510d993) |
9° 51′ 11,816″ |
|
(Ce devrait être |
37° 35′ 00″)0..
|
![{\displaystyle n=\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f66663c4c74183dad7fa16d6db687f058487b832) |
4° 55′ 35,908″ |
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log {\tfrac {1}{2}}\sin f..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd2f59457866b0c10e48c44caa33cd3216d6e24) |
0,6900182
|
|
![{\displaystyle \log \sin f.............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6690fbfe6a1528f9cf86ebfb6d2ec8fdbf99a50) |
9,6110118 |
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} 2\omega .........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e6d5d2dc84a046723f9d0d85ee0150442f6293) |
8,9848318
|
|
![{\displaystyle \log {\sqrt {rr'}}............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d19526f425f326685e968c215c3c1720562354) |
0,1171063 |
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log \cos 2\omega ..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c7fbbcc6c982757ccd88bf43d93b809811df0b) |
0,0020156
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} 2n.........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c113ee4cfa955db33804f6f956537236261ea40) |
0,7602306 |
|
|
![{\displaystyle \log \sin \psi ............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c6cd0a2eaba115055691b604a2be6dbe7706bf) |
9,7852685
|
|
![{\displaystyle \log \beta ...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af959fde64042fd60c6667f4c8014fa30f69c0d) |
0,4883487 |
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} 2\mathrm {N} .........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7dc01b79f98f8ca2323e24a255d95a1ea9bd0a6) |
9,4621341
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} \psi ..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd80084159603da8871e761311485ab60cc1c26) |
9,8862868 |
|
![{\displaystyle 2\mathrm {N} =\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dae6c4c45aa6bd55ba054e973dcf58d03a3a747) |
16° 09′ 46,253″
|
|
![{\displaystyle \log \alpha ...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0155b4ae267737219c9949db99d9abdeb49d415) |
0,6020619 |
|
![{\displaystyle \mathrm {N} =\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc21712f254c67b413a3b112227a80edb911c901) |
8° 04′ 53,127″
|
|
![{\displaystyle \log p\,...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97619fa55978909239c4f4057ad280b6a3beb64e) |
0,3746355 |
|
![{\displaystyle \mathrm {N} -n=\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3c1d20b4d02350217f50c096ce7a02e932fd32) |
3° 09′ 17,219″
|
(Ils devraient être |
0,6020600 |
|
![{\displaystyle \mathrm {N} +n=\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf464afed9329a531a5946c926947aedda4669c0) |
13° 00′ 29,035″
|
|
et |
0,3746356 |
)
|
|
![{\displaystyle \log \sin(\mathrm {N} -n)......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aec22b1e6f548059b3b3b2c5a580d8102848495) |
8,7406274 |
|
|
![{\displaystyle \log \sin(\mathrm {N} +n)......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25c860e8b03044a2579a98283ce45dc9a5f9788) |
9,3523527
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log \cos(\mathrm {N} +n)......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46910fa22d11bee6c4540db53bbc65b05b6dbac) |
0,0112902 |
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log \cos(\mathrm {N} -n)......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22dc239bd5c37c95199895ec0d961788730b5e96) |
0,0006587
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {cotang} {\tfrac {1}{2}}\psi .......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0e47e714eacf0274c96a5cf7c4c0ff8dffdd78) |
0,4681829 |
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {cotang} {\tfrac {1}{2}}\psi .......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0e47e714eacf0274c96a5cf7c4c0ff8dffdd78) |
0,4681829 |
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v.........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8319b3c2bcdd156d6212e767386900a9acab2cbd) |
9,2201005 |
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v'........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a651f8b43b01ba397a08b5420afe73d663ca8bfb) |
9,8211943
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v=\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7adc8ef2536ab5cb555a41a7b47b14570da5787) |
9° 25′ 29,97″ |
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v'=\quad \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea5e9e8f390d94804aeedd47a13934f886cd20f5) |
33° 31′ 29,93″
|
![{\displaystyle v=\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a127f4893b26c816364bad27cb449cf5962e8f) |
18° 50′ 59,94″ |
|
![{\displaystyle v'=\quad \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f574bf10d3a446c90b740758260327a0bb6345) |
67° 02′ 59,86″
|
(Ce devrait être |
18° 51′ 00″)0.. |
|
(Ce devrait être |
67° 03′ 00″)0..
|
|
![{\displaystyle \log e...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0080dec73b03ec75ecf4dbc4ddbec21d9b1e95) |
0,1010184 |
|
|
![{\displaystyle \log e...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0080dec73b03ec75ecf4dbc4ddbec21d9b1e95) |
0,1010184
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} 2\mathrm {N} .........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7dc01b79f98f8ca2323e24a255d95a1ea9bd0a6) |
9,4621341 |
|
|
![{\displaystyle \log \operatorname {tang} 2n.........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c113ee4cfa955db33804f6f956537236261ea40) |
9,2397694 |
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log \cos 2n...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40bb95ff151b0623e873a1febbb4dc53f5ff2535) |
0,0064539 |
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log \cos 2\mathrm {N} ..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f69a1bc79ae2bf5c26057c6969fb3735730b015) |
0,0175142
|
|
9,5696064 |
|
|
9,3583020
|
Nombre ![{\displaystyle ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9433ff333f1a393223092500341402bb52622f24) |
0.37119863 |
|
Nombre ![{\displaystyle ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9433ff333f1a393223092500341402bb52622f24) |
0.22819284
|
![{\displaystyle \operatorname {log\,hyp\,tang} (45^{\circ }\!\!+\!\mathrm {N} )\!=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edef53b0278321bd4d8fea562a2d53890b576580) |
0,28591251 |
|
![{\displaystyle \operatorname {log\,hyp\,tang} (45^{\circ }\!\!+\!n)\!=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141e0d398298006da529cc11f65c52fbd48d2454) |
0,17282621
|
Différence ![{\displaystyle ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9433ff333f1a393223092500341402bb52622f24) |
0,08528612 |
|
Différence ![{\displaystyle ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9433ff333f1a393223092500341402bb52622f24) |
0,05536663
|
|
![{\displaystyle \log .................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed3c09d559c8426cd62ee837b64e4f5f50f195c) |
8,9308783 |
|
|
![{\displaystyle \log .................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed3c09d559c8426cd62ee837b64e4f5f50f195c) |
8,7432480
|
![{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631d66184353d37ebfe470a07a6a61487da227ac) |
![{\displaystyle \log \alpha ...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0155b4ae267737219c9949db99d9abdeb49d415) |
0,9030928 |
|
![{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631d66184353d37ebfe470a07a6a61487da227ac) |
![{\displaystyle \log \alpha ...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0155b4ae267737219c9949db99d9abdeb49d415) |
0,9030928
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log k................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e402ccefb9eba29685457d592b15ca68d3c72e) |
1,7644186 |
|
![{\displaystyle \mathrm {c^{t}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad68c77647f742f303bffae97fa2c4ea2376ea) |
![{\displaystyle \log k................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e402ccefb9eba29685457d592b15ca68d3c72e) |
1,7644186
|
|
![{\displaystyle \log \mathrm {T} ...............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c20a6cea49c03cbd36638905a16e2844d31c412) |
1,5983897 |
|
|
![{\displaystyle \log 2\dots ............}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45aef694c07957f4ba12f399a4c9d16a5593f5a9) |
0,3010300
|
![{\displaystyle \mathrm {T} =\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87068acd4dfae591ddd725f4026a534aad1ec059) |
39,66338 |
|
|
![{\displaystyle \log t................}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88914813da0aa6f67009cfbb8cc59bd990e4022) |
1,7117894
|
![{\displaystyle t=\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02203c7a1781b9a6283e78c8119d641da8437f3f) |
51,49788
|
C’est pourquoi, le passage par le périhélie est distant de l’époque
du premier lieu de
jours, et du second lieu de
jours. Enfin, la petite différence des éléments trouvés ici avec ceux
d’après lesquels ont été calculés les lieux proposés, doit être attribuée à la précision limitée des tables.
106
Dans un traité des relations les plus remarquables concernant le
mouvement d’un corps céleste dans les sections coniques, nous ne
pouvons passer sous silence l’expression élégante du temps en fonction du demi-grand axe, de la somme
et de la corde qui
joint les deux lieux. Cette formule parait réellement avoir d’abord été
trouvée pour la parabole par l’illustre Euler (Miscell., Berolin, T. VII, p. 20), qui cependant la négligea dans la suite, et ne l’étendit
pas non plus à l’ellipse et à l’hyperbole ; ceux qui attribuent cette
formule au célèbre Lambert se trompent donc, quoiqu’on ne puisse
refuser à ce géomètre le mérite d’avoir indépendamment obtenu cette
expression enfouie dans l’oubli, et de l’avoir étendue aux autres
sections coniques. Quoique cette question soit déjà traitée par plusieurs géomètres, les lecteurs attentifs ne trouveront pas superflue
l’exposition suivante. Nous commençons d’abord par le mouvement
elliptique.
Nous observons avant tout, que l’angle
(art. 88, d’où nous
prenons aussi les autres notations) décrit autour du Soleil, peut être
supposé inférieur à 360° ; il est en effet évident, que si cet angle est
augmenté de 360°, le temps est augmenté d’une révolution, ou
![{\displaystyle {\frac {a^{\frac {3}{2}}360^{\circ }}{k}}=a^{\frac {3}{2}}\times 365,25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a89e3ff8b776cefb97e88c342e455c6d2466d6)
jours.
Si nous représentons maintenant la corde par
on aura évidemment
![{\displaystyle \rho ^{2}=(r'\cos v'-r\cos v)^{2}+(r'\sin v'-r\sin v)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a668543b5d1a7a85b33e3bc517bf4c35fe21e7b)
et par suite, d’après les équations VIII et IX, art. 8
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{2}&=a^{2}(\cos \mathrm {E} '-\cos \mathrm {E} )^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi (\sin \mathrm {E} '-\sin \mathrm {E} )^{2}\\&=4a^{2}\sin ^{2}g(\sin ^{2}\mathrm {G} +\cos ^{2}\varphi \cos ^{2}\mathrm {G} )=4a^{2}\sin ^{2}g(1-e^{2}\cos ^{2}\mathrm {G} ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbdb7adfb086c34de1266e3e43a92e85c9cc237)
Nous introduisons l’angle auxiliaire
tel que l’on ait
en même temps, pour éviter toute ambiguïté, nous supposons que
est compris entre 0° et 180°, d’où
sera une quantité positive. C’est pourquoi, comme
tombe aussi entre les mêmes limites (si
en effet, atteignait 360° ou le dépassait, le mouvement autour du
Soleil, atteindrait ou surpasserait une révolution entière), on déduit
spontanément de l’équation précédente que
pourvu
que la corde soit considérée comme une quantité positive. Puisque,
ensuite, on a
![{\displaystyle r+r'=2a(1-e\cos g\cos \mathrm {G} )=2a(1-\cos g\cos h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e44b0aa18474c24624492e17b381f57bdc81a27)
il est évident que si l’on pose
on trouve
[1]
|
|
|
[2]
|
|
|
On a enfin,
![{\displaystyle kt=a^{\frac {3}{2}}(2g-2e\sin g\cos \mathrm {G} )=a^{\frac {3}{2}}(2g-2\sin g\cos h)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404c1aac50da195ff04559a71d6bfabfb3aeeafc)
ou
[3]
|
|
|
D’après les équations 1 et 2, les angles
et
pourront donc être
déterminés au moyen de
et
c’est pourquoi, au moyen
des mêmes quantités, le temps
pourra être déterminé à l’aide de
l’équation 3. On peut, si on le préfère, présenter ainsi cette formule :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&kt\,=&&a^{\frac {3}{2}}\left[\arccos {\frac {2a-(r+r')-\rho }{2a}}-\sin \arccos {\frac {2a-(r+r')-\rho }{2a}}\right.\\&&&\;\;\;-\left.\arccos {\frac {2a-(r+r')+\rho }{2a}}+\sin \arccos {\frac {2a-(r+r')+\rho }{2a}}\right].\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73070bda884d658d85a1569bd115ae37e1bcd81f)
Mais dans la détermination des angles
et
par leur cosinus, il
reste une incertitude qu’il convient d’examiner plus particulièrement.
Il est en vérité, évident de soi-même, que
doit tomber entre
et
et
entre
et
mais alors, ces deux angles semblent admettre une double détermination, et par suite le temps qui
en résulte, une quadruple. Nous avons cependant, de l’équation 5,
art. 88,
![{\displaystyle \cos f.{\sqrt {rr'}}=a(\cos g-\cos h)=2a\sin {\frac {1}{2}}\delta \sin {\frac {1}{2}}\varepsilon \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c7ca1c5c036430a207b00fa44f03b6eed5e5f0)
maintenant,
est nécessairement une quantité positive, d’où nous concluons que
et
doivent être affectés des mêmes
signes, et par suite que
doit être pris entre
et
ou entre
et
selon que
sera positif ou négatif, c’est-à-dire selon
que le mouvement héliocentrique
aura été plus petit ou plus grand
que 180°. Il est en outre évident, que pour
doit nécessairement être nul. De cette manière
est complètement déterminé.
Mais la détermination de l’angle
reste nécessairement douteuse, de
sorte que l’on obtient toujours pour le temps deux valeurs, dont on ne
peut décider laquelle est la vraie, à moins que ce ne soit indiqué
d’autre part. La raison de ce phénomène s’aperçoit facilement ; il est
constant, en effet, que par deux points donnés on peut décrire deux
ellipses différentes, ayant toutes deux leur foyer au même point
donné et, en même temps, le même demi-grand axe[8] ; mais le mouvement du premier lieu au second, dans ces ellipses, est évidemment effectué dans des temps inégaux.
107
En désignant par
un arc quelconque compris entre
et
et par
le sinus de l’arc
on sait qu’on a
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\chi =s+{\frac {1}{3}}.{\frac {1}{2}}s^{3}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1.3}{2.4}}s^{5}+{\frac {1}{7}}.{\frac {1.3.5}{2.4.6}}s^{7}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d36b3df942cc92bcddaf5292ee7a968bba80056)
On a ensuite
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sin \chi =s{\sqrt {1-s^{2}}}=s-{\frac {1}{2}}s^{3}-{\frac {1.1}{2.4}}s^{5}-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}s^{7}-\mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da53efde30633b28d1aaabe7cf0275ca1ed2ae93)
et par suite,
![{\displaystyle \chi -\sin \chi =4\left({\frac {1}{3}}s^{3}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1}{2}}s^{5}+{\frac {1}{7}}.{\frac {1.3}{2.4}}s^{7}+{\frac {1}{9}}.{\frac {1.3.5}{2.4.6}}s^{9}+\dots ,\,\mathrm {etc.} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad8ad20b1695587ddf98a41844b83108c0ab693)
Nous substituons successivement, dans cette série, à la place de
et
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {r+r'+\rho }{a}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66019915af81537707aa2c70ff79385620246856)
et nous multiplions les résultats par
on obtient ainsi respectivement, les séries
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{6}}(r+r'-\rho )^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{80}}&.{\frac {1}{a}}(r+r'-\rho )^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{1792}}.{\frac {1}{a^{2}}}(r+r'-\rho )^{\frac {7}{2}}+\\{\frac {5}{18432}}&.{\frac {1}{a^{3}}}(r+r'-\rho )^{\frac {9}{2}}+\mathrm {etc.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2459f882db49166af62fbbf6e2ba9457b983dff4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{6}}(r+r'+\rho )^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{80}}&.{\frac {1}{a}}(r+r'+\rho )^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{1792}}.{\frac {1}{a^{2}}}(r+r'+\rho )^{\frac {7}{2}}+\\{\frac {5}{18432}}&.{\frac {1}{a^{3}}}(r+r'+\rho )^{\frac {9}{2}}+\mathrm {etc.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e52b4d660f1044efdcbb8bdff25591a282df242)
dont nous représenterons les sommes par
![{\displaystyle \mathrm {U} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009d740d6721bd1a18d18d1eb88d1545e8a53c0c)
On voit maintenant, sans difficulté, que puisque l’on a
![{\displaystyle 2\sin {\frac {1}{2}}\delta =\pm {\sqrt {\frac {r+r'-\rho }{a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb266ab4f65dad32fc4706ca5d1fbd00063f64e9)
le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris selon que
est plus petit ou plus grand que 180° on obtient
![{\displaystyle a^{\frac {3}{2}}(\delta -\sin \delta )=\pm \mathrm {T} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bcea40031eaa88230aa3a8e859cb71184c1caf7)
le signe étant pareillement déterminé.
De la même manière, si pour
on prend la plus petite valeur, inférieure à 180°, on a
![{\displaystyle a^{\frac {3}{2}}(\varepsilon -\sin \varepsilon )=\mathrm {U} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2790438c8570eed17ab91a206eccd11a7dfd303e)
mais en prenant l’autre valeur qui est complémentaire de celle-ci à
360°, on a évidemment
![{\displaystyle a^{\frac {3}{2}}(\varepsilon -\sin \varepsilon )=a^{\frac {3}{2}}360^{\circ }\!-\mathrm {U} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4fd3819bb1348b9a377176281b60703681b133b)
De là, on obtient donc les deux valeurs relatives au temps
et
![{\displaystyle {\frac {a^{\frac {3}{2}}360^{\circ }}{k}}-{\frac {\mathrm {U} \pm \mathrm {T} }{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68dafbfc6569b04652eb76b248d487361304151c)
108
Si l’on considère la parabole comme une ellipse, dont le grand axe est infiniment grand, l’expression du temps trouvé dans l’article précédent devient
![{\displaystyle {\frac {1}{6k}}\left[(r+r'+\rho )^{\frac {3}{2}}\mp (r+r'-\rho )^{\frac {3}{2}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2270c09251c4c8f499499fd219bebd3e9db0aeef)
mais comme peut-être la déduction de cette formule pourrait être
exposée à quelques doutes, nous en donnerons une autre indépendante de l’ellipse.
En posant pour simplifier
on a
![{\displaystyle r={\frac {1}{2}}p(1\!+\!\theta ^{2}),\quad r'={\frac {1}{2}}p(1\!+\!\theta '^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f710be730a6f84e6b8f159a3457013d95c0d9b)
![{\displaystyle \cos v={\frac {1\!-\!\theta ^{2}}{1\!+\!\theta ^{2}}},\quad \cos v'={\frac {1\!-\!\theta '^{2}}{1\!+\!\theta '^{2}}},\quad \sin v={\frac {2\theta }{1\!+\!\theta ^{2}}},\quad \sin v'={\frac {2\theta '}{1\!+\!\theta '^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20bb83fe1ea52b56c40fff3591f9a92304fce746)
De là il vient
![{\displaystyle r'\cos v'-r\cos v={\frac {1}{2}}p(\theta ^{2}-\theta '^{2}),\quad r'\sin v'-r\sin v=p(\theta '-\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b90cb403b948a67be462fba20abbc661048752f)
et par suite
![{\displaystyle \rho ^{2}={\frac {1}{4}}p^{2}(\theta '-\theta )^{2}\left[4+(\theta '+\theta )^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916ec079c27a42607c81f7aa5a60c514964c0641)
On voit maintenant facilement que
est
une quantité positive ; en posant donc
on aura
![{\displaystyle \rho =p(\theta '-\theta )\eta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234fa25efedf280da2884217c4eae9ae1164623e)
On a ensuite,
![{\displaystyle r+r'={\frac {1}{2}}p(2+\theta ^{2}+\theta '^{2})=p\left(\eta ^{2}+{\frac {1}{4}}(\theta '-\theta )^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0908ed992ceaed413ac0ed7ddf2c4b488768521a)
c’est pourquoi l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {r+r'+\rho }{p}}&=\left(\eta +{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{2},\\{\frac {r+r'-\rho }{p}}&=\left(\eta -{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18981d0da871db8f0637001a81a86e426153d0fa)
De la première équation, on déduit immédiatement,
![{\displaystyle +{\sqrt {\frac {r+r'+\rho }{p}}}=\eta +{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf5592096f985742bf670e753c84e0f31970f3b)
puisque
et
sont des quantités positives ; mais comme
est plus petit ou plus grand que
suivant que
![{\displaystyle \eta ^{2}-{\frac {1}{4}}(\theta '-\theta )^{2}=1+\theta \theta '={\frac {\cos f}{\cos {\dfrac {1}{2}}v\cos {\dfrac {1}{2}}v'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843a9e3c0ce55b99583d4b8150dce2eab0c4033c)
est positif ou négatif, il est évident que de la seconde équation, on
devra conclure
![{\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {r+r'-\rho }{p}}}=\eta -{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10299ae61d38c8dd0676e9608fe28416dcc30d0d)
où l’on devra adopter le signe supérieur ou le signe inférieur selon
que l’angle décrit autour du Soleil sera plus petit ou plus grand
que 180°.
De l’équation qui, dans l’art. 98, suit la seconde équation, nous
avons ensuite,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2kt}{p^{\frac {3}{2}}}}&=(\theta '-\theta )\left(1+\theta \theta '+{\frac {1}{3}}(\theta '-\theta )^{2}\right)\\&=(\theta '-\theta )\left(\eta ^{2}+{\frac {1}{12}}(\theta '-\theta )^{2}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(\eta +{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{3}-{\frac {1}{3}}\left(\eta -{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95f40ac10bc1feee0ce68e8980fa5444174fcaa)
d’où il suit immédiatement,
![{\displaystyle kt={\frac {1}{6}}\left[(r+r'+\rho )^{\frac {3}{2}}\mp (r+r'-\rho )^{\frac {3}{2}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad7eed0686feed2cd8ea5dcf536b31f85a21fc7)
le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris, selon que
est plus petit ou plus grand que 180°.
109
Si, dans l’hyperbole, nous conservons aux lettres
la même
signification que dans l’art. 99, nous obtenons, d’après les équations VIII, IX de l’art. 21,
![{\displaystyle r'\cos v'-r\cos v=-{\frac {1}{2}}\left(c-{\frac {1}{c}}\right)\left(\mathrm {C} -{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847e9d43db35dbfe38198327bc4166b20a07e88b)
![{\displaystyle r'\sin v'-r\sin v={\frac {1}{2}}\left(c-{\frac {1}{c}}\right)\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\alpha {\sqrt {e^{2}-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b48c9091aa2f44b4b2a444b50173d46e3f6869)
et par conséquent,
![{\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\alpha \left(c-{\frac {1}{c}}\right){\sqrt {\left[e^{2}\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)^{2}-4\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a728f63d5f34b22af89f6104bae1fd6b169e9b89)
Supposons que
soit une quantité déterminée par l’équation
![{\displaystyle \gamma +{\frac {1}{\gamma }}=e\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ab39f85d0562c92fbc45d0687ead8ec74ed6466)
comme deux valeurs réciproques de
satisfont évidemment à cette
équation, nous devons adopter celle qui est plus grande que 1. On
a ainsi
![{\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\alpha \left(c-{\frac {1}{c}}\right)\left(\gamma -{\frac {1}{\gamma }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd6ee8b9f3f317e5e408ed78235d6c9c77de716)
On a, en outre,
![{\displaystyle {\begin{aligned}r+r'&={\frac {1}{2}}\alpha \left[e\left(c+{\frac {1}{c}}\right)\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)-4\right]\\&={\frac {1}{2}}\alpha \left[\left(c+{\frac {1}{c}}\right)\left(\gamma +{\frac {1}{\gamma }}\right)-4\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6026ce8363b107d8343bd72b81d3194a199bfd66)
et alors,
![{\displaystyle {\begin{aligned}r+r'+\rho &=\alpha \left({\sqrt {c{\overset {}{\gamma }}}}-{\sqrt {\frac {1}{c\gamma }}}\right)^{2},\\r+r'-\rho &=\alpha \left({\sqrt {\frac {\gamma }{c}}}-{\sqrt {\frac {c}{\gamma }}}\right)^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f23572ff3feba28f4d0638eae1d5841f277fb4)
En posant donc,
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {r+r'+\rho }{4\alpha }}}=m,\quad {\sqrt {\frac {r+r'-\rho }{4\alpha }}}=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b84f63ca2d0ea25c27ac57ac8083d8695b0eb0)
on aura nécessairement
![{\displaystyle {\sqrt {c{\overset {}{\gamma }}}}-{\sqrt {\frac {1}{c\gamma }}}=2m\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79865519e768fcd5284ca5c10ba76705941154a9)
mais pour décider la question si
doit être
ou
il faut chercher si
est plus grand ou plus petit que
mais il résulte facilement de l’équation 8, art. 99, que le premier
cas a lieu toutes les fois que
est inférieur à 180°, et le second, toutes les fois que
est supérieur à 180°. Enfin, du même article
nous avons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {kt}{a^{\frac {3}{2}}}}&={\frac {1}{2}}\left(\gamma +{\frac {1}{\gamma }}\right)\left(c-{\frac {1}{c}}\right)-2\log c\\&={\frac {1}{2}}\left(c\gamma -{\frac {1}{c\gamma }}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\gamma }{c}}-{\frac {c}{\gamma }}\right)-\log c\gamma +\log {\frac {\gamma }{c}}\\[0.5ex]&=2m{\sqrt {1+m^{2}}}\mp 2n{\sqrt {1+n^{2}}}-2\log \left({\sqrt {1+m^{2}}}+m\right)\\&\qquad \qquad \qquad \pm 2\log \left({\sqrt {1+n^{2}}}+n\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4591d9a3475e08d56cd7a06b4ea34b2771dd78bc)
les signes inférieurs concernant toujours le cas où
Maintenant,
se développe facilement en la série suivante :
![{\displaystyle m-{\frac {1}{3}}.{\frac {1}{2}}m^{3}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1.3}{2.4}}m^{5}-{\frac {1}{7}}.{\frac {1.3.5}{2.4.6}}m^{7}+\dots \mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d1c756c8bb96fc4782f92a34d4353456c08532)
Ceci se déduit immédiatement de
![{\displaystyle d.\log \left({\sqrt {1+m^{2}}}+m\right)={\frac {dm}{\sqrt {1+m^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d583302c7e5976387424a5eccbee37bfea0ed3a)
C’est pourquoi l’on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}2m{\sqrt {1+m^{2}}}&-2\log \left({\sqrt {1+m^{2}}}+m\right)\\&=4\left({\frac {1}{3}}m^{3}-{\frac {1}{5}}.{\frac {1}{2}}m^{5}+{\frac {1}{7}}.{\frac {1.3}{2.4}}m^{7}-\dots \mathrm {etc.} \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408a7e28c548a2af1a12ec63037528ff5ce94de1)
et de même, une formule entièrement semblable, si l’on change
en
De là, enfin, si l’on pose
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} ={\frac {1}{6}}(r\!+\!r'\!-\!\rho )^{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{80}}&.{\frac {1}{\alpha }}(r\!+\!r'\!-\!\rho )^{\frac {5}{2}}\!+\!{\frac {3}{1792}}.{\frac {1}{\alpha ^{2}}}(r\!+\!r'\!-\!\rho )^{\frac {7}{2}}\\-{\frac {5}{18432}}&.{\frac {1}{\alpha ^{3}}}(r\!+\!r'\!-\!\rho )^{\frac {9}{2}}+\dots \mathrm {etc.} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e9410f345a860a5d825eb6c9f02080c27db09f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {U} ={\frac {1}{6}}(r\!+\!r'\!+\!\rho )^{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{80}}&.{\frac {1}{\alpha }}(r\!+\!r'\!+\!\rho )^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{1792}}.{\frac {1}{\alpha ^{2}}}(r\!+\!r'\!+\!\rho )^{\frac {7}{2}}\\-{\frac {5}{18432}}&.{\frac {1}{\alpha ^{3}}}(r\!+\!r'\!+\!\rho )^{\frac {9}{2}}+\dots \mathrm {etc.} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19402e6d41a019438e9ec6a5bd4a95cdac301728)
on obtient
![{\displaystyle kt=\mathrm {U} \mp \mathrm {T} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc4071fe5ccbfff1a273a602d39e04d84972d59)
expressions qui s’accordent entièrement avec celles développées dans
l’art. 107, si dans celles-là on change
en ![{\displaystyle -\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38722d8160b530278b8b42daf78ab08e9191ce77)
Au reste ces séries, soit pour l’ellipse, soit pour l’hyperbole, sont surtout commodes pour l’usage pratique, lorsque
ou
a une
très-grande valeur, c’est-à-dire quand la section conique ressemble
de très-près à une parabole. Dans un tel cas, on peut aussi employer pour la solution du problème les méthodes développées précédemment (art. 85-105) ; mais comme en vérité, d’après notre jugement, elles n’apportent pas alors de brièveté à la solution donnée
ci-dessus, nous ne nous arrêterons pas à exposer plus longuement
cette méthode.