TROISIÈME SECTION.
RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.
78
La comparaison de deux ou plusieurs positions d’un corps céleste,
soit dans son orbite, soit dans l’espace, fournit une telle abondance de
propositions élégantes, qu’elles rempliraient facilement le volume entier. Notre but ne tend pas assurément à épuiser ce sujet fécond, mais
principalement à en retirer des ressources importantes pour la solution du grand problème de la détermination des orbites inconnues,
d’après les observations ; c’est pourquoi, en négligeant les questions
qui seraient trop étrangères à notre but, nous développerons le plus
soigneusement toutes celles qui, de quelque manière, peuvent y conduire. Nous faisons précéder ces recherches de quelques propositions
trigonométriques auxquelles il faudra très-souvent avoir recours,
puisqu’elles sont plus habituellement employées.
I. En désignant par des angles quelconques, on a
II. Si deux quantités doivent être déterminées par des équations telles que
ceci s’obtiendra généralement par le secours des formules
dans lesquelles est un angle arbitraire. De là se déduiront (art. 14, II)
l’angle et et de là et . La plupart du
temps il est ajouté la condition que doit être une quantité positive, d’où se trouve écartée l’ambiguïté qui résulte de la détermination de l’angle par sa tangente ; mais en l’absence de cette
condition, l’incertitude sera levée arbitrairement. Pour la plus grande
facilité du calcul, il sera convenable de prendre l’angle auxiliaire
ou ou Dans le premier cas, les équations,
pour la détermination de et seront
Dans le second cas, les équations seront entièrement analogues ;
mais dans le troisième on aura
Et alors, si l’on introduit l’angle auxiliaire , dont la tangente
, on trouvera par la formule
,
et ensuite par l’une des formules précédentes, dans lesquelles
III. Si et doivent être déterminées d’après les équations
tout ce qui est exposé dans II peut immédiatement s’appliquer,
pourvu qu’à la place de et on mette partout mais pour que l’application en soit plus facile, nous ne craignons pas
d’ajouter les formules développées. Les formules générales seront
de manière que pour elles se changent en
Pour elles prennent une forme semblable ; mais pour
elles deviennent
de sorte que par l’introduction de l’angle auxiliaire , dont la tangente
il vient
.
Enfin, si nous désirons déterminer immédiatement au moyen de
et de sans faire le calcul préalable de l’angle , nous avons la
formule
,
aussi bien dans le problème actuel que dans II.
79
Pour la détermination complète d’une section conique dans son
plan, trois quantités sont demandées : la position du périhélie, l’excentricité et le demi-paramètre. Si ces quantités doivent être déterminées d’après les quantités données qui en dépendent, il faut qu’il y ait assez de données pour pouvoir former trois équations indépendantes les unes des autres. Tout rayon vecteur donné en grandeur et en position fournit une équation ; c’est pourquoi trois rayons
donnés en grandeur et en position sont nécessaires pour la détermination d’une orbite. Mais si l’on en a deux seulement, un élément
même doit être déjà donné, ou au moins quelque autre quantité à
l’aide de laquelle il soit permis d’établir une troisième équation. De
là surgit une variété de problèmes que nous traiterons maintenant
successivement.
Soient , deux rayons vecteurs qui font avec une droite arbitraire menée par le Soleil, dans le plan de l’orbite, les angles ,
selon la direction du mouvement ; soit ensuite l’angle que fait,
avec la même droite, le rayon vecteur mené au périhélie, de telle
sorte que les anomalies vraies , répondent aux rayons
vecteurs , ; soient enfin l’excentricité, le demi-paramètre. On
obtient alors les équations
desquelles, si l’une des quantités , , est en outre donnée, on
pourra déterminer les deux autres.
Supposons d’abord que le demi-paramètre soit donné, et il
est évident que la détermination des quantités au moyen des
équations
peut s’effectuer d’après la règle du lemme III de l’article précédent.
Nous avons donc
80
Si l’angle est donné, et seront déterminés au moyen des
équations
On peut réduire le dénominateur commun dans ces formules, à la
forme de telle sorte que et soient indépendantes
de En désignant en effet par un angle arbitraire, nous avons
et par suite,
,
si et sont déterminées par les équations
De cette manière il vient.
Ces formules sont principalement commodes toutes les fois que
et sont calculés pour plusieurs valeurs de ne
changeant pas. — Comme pour le calcul des quantités auxiliaires
il est permis de prendre l’angle arbitrairement, on pourra alors
poser d’après quoi les formules se changent en
celles-ci :
L’angle étant donc déterminé par l’équation
,
on a aussitôt
.
Le calcul du logarithme de l’expression pourra se simplifier
par une méthode déjà souvent expliquée.
81
Si l’excentricité est donnée, on trouve l’angle par l’équation
,
après que l’angle auxiliaire a été déterminé par l’équation
.
L’ambiguïté qui existe dans la détermination de l’angle , par
son cosinus, résulte de la nature du problème, de manière qu’on
peut satisfaire à la question par deux solutions différentes ; il faudra
décider, d’autre part, laquelle devra être adoptée et laquelle rejetée ;
dans ce but, la valeur au moins approchée de devra déjà être
connue. — Une fois trouvé, on calculera par les formules
,
ou par celle-ci :
82
Supposons enfin, que nous connaissions les trois rayons vecteurs ,
qui font, avec la droite menée arbitrairement par le Soleil
dans le plan de l’orbite, les angles Nous aurons alors, en
conservant les mêmes notations, les équations (I) :
qui permettront d’obtenir , , de plusieurs manières. Si l’on veut
calculer la quantité avant les autres, on doit multiplier les trois
équations (I) respectivement par
et l’on aura, d’après le lemme 1, art. 78, en ajoutant
les produits,
.
Cette expression mérite d’être considérée plus attentivement. Le numérateur devient évidemment,
En posant, ensuite,
il est évident que , , sont les aires des triangles compris entre le second rayon vecteur et le troisième, entre le premier et
le troisième, entre le premier et le second. De là on apercevra facilement, dans la nouvelle formule
que le dénominateur est le double de l’aire du triangle compris entre
les extrémités des trois rayons vecteurs, c’est-à-dire entre les trois
positions du corps céleste dans l’espace. Toutes les fois que ces positions sont peu écartées les unes des autres, cette aire est toujours
une quantité très-petite et certainement du troisième ordre si
sont considérées comme de petites quantités du premier
ordre. On conclut de là en même temps, que si une ou plusieurs des
quantités sont affectées d’erreurs même légères, il pourra en résulter, sur la détermination de , une erreur
très-grande ; c’est pourquoi cette méthode-ci n’admet jamais une
grande précision, à moins que les trois lieux héliocentriques ne
soient distants l’un de l’autre d’un intervalle considérable.
Enfin, du moment que le demi-paramètre sera trouvé, et se détermineront par la combinaison de deux quelconques des équations (I), d’après la méthode de l’art. 79.
83
Si nous aimons mieux commencer la résolution du même problème
par le calcul de l’angle , nous emploierons la méthode suivante.
Nous retranchons, dans les équations (I) la troisième de la seconde,
la troisième de la première, la seconde de la première ; nous obtenons ainsi les trois nouvelles équations (II) :
Deux quelconques de ces équations donneront, d’après le lemme II, art. 78,
et , d’où l’on obtiendra et par l’une ou l’autre des équations (I). Si nous adoptons la troisième solution enseignée dans
l’art. 78, II, la combinaison de la première équation avec la troisième
produit l’algorithme suivant : l’angle auxiliaire sera déterminé par
l’équation
,
et l’on aura
En changeant le second lieu avec le premier ou avec le troisième,
on obtiendra deux autres solutions entièrement analogues à celle-ci.
Comme en employant cette méthode les formules relatives à se
résolvent moins promptement, il vaudra mieux déduire et des
deux équations (I) par la méthode de l’art. 80. Enfin, l’ambiguïté dans
la détermination de par la tangente de l’angle
devra être ici écartée par la considération que est une quantité positive ; il est en effet évident, que acquière des valeurs opposées si
l’on prend pour des valeurs différant entre elles de 180°. Mais le
signe de ne dépend pas de cette ambiguïté et sa valeur ne peut être
prise négativement, à moins que les trois points donnés n’appartiennent à un arc d’hyperbole opposé au Soleil, cas contraire aux lois
de la nature, et auquel nous n’avons pas ici égard.
Les quantités que l’on obtiendrait, d’après l’application de la
première méthode de l’art. 78, II, après de pénibles substitutions,
peuvent être, dans le cas actuel, déterminées plus commodément de
la manière suivante : Que l’on multiplie la première des équations II
par la troisième par et que l’on retranche le dernier produit du premier. Alors, par l’application exacte
du
lemme I de l’art. 78[1], on obtiendra l’équation
En combinant cette équation avec la seconde des équations II,
et seront déterminés ; et alors , par la formule.
De là aussi, dérivent deux autres formules entièrement analogues
en changeant le second lieu avec le premier ou avec le troisième.
84
Puisqu’on peut déterminer l’orbite entière, au moyen de deux
rayons vecteurs donnés de grandeur et de position, avec un élément
de l’orbite, on pourra aussi, avec ces données, déterminer le temps
pendant lequel le corps céleste se meut d’un rayon vecteur à l’autre,
si à la vérité nous négligeons la masse de l’astre ou si nous la regardons comme connue : nous nous en tiendrons à la première hypothèse,
à laquelle la seconde est facilement réduite. De là, réciproquement,
il est évident que deux rayons vecteurs donnés de grandeur
et de position avec le temps pendant lequel le corps céleste décrit l’espace compris, déterminent l’orbite entière. Mais ce problème,
qui doit être considéré comme très-important dans la théorie du mouvement des corps célestes, n’est pas si facilement résolu, puisque l’expression du temps en fonction des éléments est transcendante et de
plus assez compliquée. Il est, pour cela, le plus digne d’être traité
avec tout le soin possible ; c’est pourquoi, nous espérons qu’il ne sera
pas désagréable au lecteur que, outre la solution enseignée plus loin,
solution qui parait ne rien laisser à désirer, nous ayons considéré comme devant aussi être arrachée à l’oubli, celle dont nous
nous sommes fréquemment servis, avant que la première ne se soit
offerte à nous. Il est toujours favorable d’attaquer par plusieurs voies
un problème plus difficile, et de ne pas mépriser la bonne quoiqu’on préfère la meilleure. Nous entamons la question par l’exposition de
cette méthode plus ancienne.
85
Nous conserverons aux lettres , , , , , , la même signification que précédemment. Nous désignerons par la différence
et par le temps pendant lequel le corps céleste se transporte de la
première position à la seconde. Il est maintenant évident, que si l’on
connaît la valeur approchée de l’une des quantités on pourra
aussi en déduire la valeur des deux autres, et ensuite, par les méthodes développées dans la première section, le temps correspondant
au mouvement de l’astre pour aller de la première position à la seconde. Si ce temps se trouve égal à l’intervalle proposé la valeur supposée de ou est exacte et l’orbite est déjà trouvée : si cela n’est
pas, le calcul recommencé avec une autre valeur un peu différente
de la première, montrera quelle variation, dans la valeur du temps,
correspond à une petite variation dans la valeur de ou de là,
par une simple interpolation, on déterminera la valeur corrigée. Si
le calcul est de nouveau recommencé avec cette valeur, le temps
qu’on en déduira s’accordera entièrement avec le proposé, ou au
moins, en différera d’une très-petite quantité, de telle sorte certainement, qu’on pourra atteindre, par de nouvelles corrections, un
accord aussi parfait que le permettent les tables logarithmiques et
trigonométriques.
Le problème se réduit donc à ceci ; — que, pour le cas où l’orbite
est entièrement inconnue, nous sachions déterminer une valeur au
moins approchée de l’une quelconque des quantités Nous donnerons maintenant une méthode par laquelle la valeur de est obtenue
avec tant de précision que, pour de petites valeurs de elle n’exige
aucune nouvelle correction ; et par suite, l’orbite entière est déterminée, par un premier calcul, avec toute la précision que permettent
les tables vulgaires. Mais autrement, il ne faudra presque jamais recourir à cette méthode, si ce n’est pour des valeurs médiocres de
parce qu’on ne peut guère entreprendre la détermination d’une orbite entièrement inconnue, à cause de la complication trop embarrassée du problème, qu’avec des observations peu écartées les unes
des autres, ou plutôt telles qu’elles répondent à un mouvement héliocentrique peu considérable.
86
En désignant par le rayon vecteur indéterminé ou variable qui
répond à l’anomalie vraie l’aire du secteur décrit par le
corps céleste dans le temps , sera , cette intégrale étant
prise depuis jusqu’à et par suite, en prenant avec
sa signification de l’art. 6, on a Il est actuellement évident, d’après les formules développées par Cotes, que si
exprime une fonction quelconque de des valeurs de plus en plus
approchées de l’intégrale prise depuis jusqu’à
s’obtiendront par les formules
Il suffira, pour notre but, de s’arrêter aux deux premières formules.
Par la première, nous avons donc, dans notre problème,
,
si nous posons
.
C’est pourquoi, la première valeur approchée de sera
que nous posons .
Par la seconde formule, nous avons plus exactement
,
en désignant par le rayon vecteur qui correspond à l’anomalie intermédiaire
En exprimant maintenant en fonction de
d’après les formules données dans l’article 82, nous trouvons
et de là
En posant donc,
il vient
d’où l’on obtient la seconde valeur approchée de ,
,
si nous posons
.
C’est pourquoi, en écrivant à la place de on déterminera
par l’équation
,
qui convenablement développée s’élèverait au cinquième degré. Posons de telle sorte que soit une valeur approchée de
et une très-petite quantité dont on peut négliger le carré et les
puissances supérieures ; on trouve par cette substitution,
ou
et par suite,
Nous avons maintenant, dans notre problème, la valeur approximative de à savoir qui étant substituée à la place de dans la formule précédente, donne la valeur corrigée
En posant donc,
la formule prend cette forme-ci :
et toutes les opérations nécessaires à la solution du problème sont
contenues dans les cinq formules :
I.
|
|
|
II.
|
|
|
III.
|
|
|
IV.
|
|
|
V.
|
|
|
S’il plaît de diminuer quelque chose de la précision de ces formules, on pourra obtenir des expressions encore plus simples. En
faisant, en effet, et et en développant la valeur de
en série suivant les puissances croissantes de on obtient, en
négligeant les quatrièmes puissances et celles plus élevées,
dans lesquelles doit être exprimé en parties du rayon. C’est pourquoi, en faisant on a
VI.
|
|
|
De la même manière, en développant en série, suivant les
puissances croissantes de on obtient, en posant
VII.
|
|
|
ou
VIII.
|
|
|
Les formules VII et VIII s’accordent avec celles que l’illustre Euler
a développées dans le « Theoria motus planetarum et cometarum, »
et la formule VI avec celle qui a été employée dans les « Recherches et calculs sur la vraie orbite elliptique de la comète de 1769, » p. 80.
87
Les exemples suivants éclairciront la pratique des méthodes précédentes, et permettront en même temps d’estimer le degré de précision.
I. Soient
jours. On trouve ici
d’où le calcul ultérieur se fait de la manière suivante :
|
|
4,4360629 |
|
|
|
0,3264519
|
|
|
0,6529879 |
|
|
|
7,0389972
|
|
|
5,9728722 |
|
|
|
8,8696662
|
|
|
8,6588840 |
|
|
|
0,5582180
|
|
|
0,0000840 |
|
|
|
0,0000210
|
|
|
9,7208910 |
|
|
|
6,7933543
|
0,0006213757
|
|
|
0,3010300
|
|
|
9,9980976 |
|
3,0074471
|
|
|
9,9998320 |
|
|
|
0,4781980
|
|
|
0,0008103 |
|
|
|
9,7208910
|
|
|
0,0000420 |
|
|
|
9,9986528
|
|
|
0,2998119 |
|
|
|
0,1977418
|
1,9943982 |
|
|
|
0,3954836
|
0,0130489
|
Cette valeur de diffère de la vraie valeur, à peine d’une
unité du septième ordre : la formule VI, dans cet exemple, donne
la formule VII donne enfin, la formule VIII,
II. Soient
jours. On déduit de là
qui est inférieur à la vraie valeur, de 183 unités du septième ordre.
La vraie valeur est en effet, dans cet exemple, par la
formule VI on trouve par la formule VII,
enfin, par la formule VIII, les deux dernières valeurs
diffèrent tellement de la vérité qu’elles ne peuvent même tenir lieu
d’approximations.
88
L’exposition de la seconde méthode fournira l’occasion de développer un grand nombre de relations nouvelles et élégantes ; comme
elles prennent différentes formes suivant les diverses espèces de sections coniques, il sera convenable de traiter chacune d’elles en particulier ; nous commencerons par l’ELLIPSE.
Qu’à deux positions de l’astre correspondent les anomalies vraies
(dont répond à l’époque antérieure), les anomalies excentriques et les rayons vecteurs soient ensuite le demi-paramètre, l’excentricité, le demi grand axe, le temps pendant
lequel l’astre passe de la première position à la seconde ; posons
enfin, Ces conventions faites, nous déduisons facilement, par la
combinaison des formules V, VI, art. 8, les équations suivantes :
[1]
|
|
|
[2]
|
|
|
ou
[3]
|
|
|
et de même
[4]
|
|
|
De la combinaison des équations [3], [4], on obtient ensuite
[5]
|
|
|
[6]
|
|
|
Au moyen de la formule III, art. 8, nous obtenons
[7]
|
|
|
d’où
[8]
|
|
|
Posons
[9]
|
|
|
et l’on aura
[10]
|
|
|
et aussi
dans laquelle il faudra prendre le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que sera positif ou négatif. La formule XII de l’art. 8
nous donne l’équation
Si maintenant on substitue dans cette équation à la place de sa
valeur [10], et qu’on pose par abréviation
[11]
|
,
|
|
on trouve, toutes réductions convenablement faites,
[12]
|
|
|
dans laquelle le signe supérieur ou le signe inférieur doit être placé
devant , suivant que est positif ou négatif.
Toutes les fois que le mouvement héliocentrique est compris entre
180° et 360°, ou plus généralement, toutes les fois que est négatif, la quantité déterminée par la formule [11] devient imaginaire. Pour éviter cela, nous adopterons dans ce cas là, à la place
des équations [9] et [11], les suivantes :
[9∗]
|
,
|
|
[11∗]
|
,
|
|
d’où nous obtiendrons, à la place des formules [10] et (12]
[10∗]
|
|
|
[12∗]
|
|
|
dans laquelle, le signe à prendre est déterminé de la même manière
que précédemment.
89
Un double travail se présente maintenant à nous : premièrement,
que de l’équation transcendante [12], puisqu’elle n’admet pas de
solution directe, nous déterminions l’inconnue le plus commodément ; secondement, que de l’angle trouvé nous déduisions les éléments eux-mêmes. Avant d’entreprendre ces questions, effectuons
une transformation particulière au moyen de laquelle le calcul des
quantités auxiliaires ou est promptement achevé, et en outre
plusieurs formules développées plus loin sont réduites à une forme
plus élégante.
En introduisant en effet l’angle auxiliaire devant être déterminé
par la relation
il vient
d’où l’on a
90
Nous considérerons d’abord le cas où, par la résolution de l’équation [12], on obtient pour une valeur qui n’est pas trop grande, de
telle sorte que puisse être développé en série suivant les puissances croissantes de Le numérateur de cette expression
que nous désignons par devient
et le dénominateur
d’où prend la forme
Mais pour mettre en évidence la loi des coefficients de cette série,
différentions l’équation
d’où l’on déduit
En posant en outre
on a
d’où l’on conclut
et par conséquent
Si donc, nous posons
nous obtenons l’équation
qui doit être identique.
De là, nous concluons
d’où l’on déduit la loi de la progression. Nous avons donc
On peut transformer cette série en la fraction continue suivante :
La loi suivant laquelle se forment les coefficients
etc., est évidente ; le ième terme de cette série, si est pair, est
et si est impair, un développement plus étendu de cette question serait trop étranger
notre sujet.
Si nous posons maintenant
on a
et
ou
Le numérateur de cette expression est une quantité du septième
ordre, le dénominateur du troisième ordre, et par suite du quatrième, pourvu que soit considéré comme une quantité du premier
ordre, ou comme une quantité du second ordre. On conclut de là
que cette dernière formule n’est pas convenable pour la détermination
numérique exacte de toutes les fois que n’exprime pas un angle
très-considérable ; mais alors, les formules suivantes sont convenablement employées, formules qui ne diffèrent l’une de l’autre que par
le changement des numérateurs dans les coefficients fractions, et
dont la première se déduit facilement au moyen de la valeur supposée de [2].
[13]
|
|
|
ou,
Dans la troisième table annexée à cet ouvrage, se trouvent calculées avec sept décimales, les valeurs correspondantes de pour
toutes les valeurs de de millième en millième, depuis 0 jusqu’à 0,3. Cette table montre, au premier aspect, l’exiguïté de la
valeur de pour des valeurs médiocres de ainsi, pour ou ce qui donne on a . Il
eût été superflu de continuer cette table au delà puisque le dernier
terme répond à ou Enfin, la
troisième colonne qui contient les valeurs de correspondant aux
valeurs négatives de sera expliquée plus loin, en son lieu.
91
L’équation 12, dans laquelle relativement au cas dont il s’agit il
convient évidemment d’adopter le signe supérieur, prend, en introduisant la quantité la forme
En posant donc, et
[14]
|
|
|
on a, après toutes les réductions convenables,
[15]
|
|
|
C’est pourquoi, si l’on peut regarder comme une quantité connue,
s’en déduira à l’aide d’une équation du troisième degré, et l’on
aura ensuite,
[16]
|
|
|
Maintenant, quoique contienne une quantité encore inconnue,
on pourra, dans une première approximation, la négliger et prendre
pour valeur de puisque certainement, dans le cas que nous
considérons, est toujours une quantité extrêmement petite.
De là, par les équations 15 et 16 on obtiendra et de on déduira au moyen de la table III, et avec cette quantité on trouvera
par la formule 14, la valeur de corrigée, avec laquelle recommençant le même calcul, on obtiendra les valeurs exactes de et Le
plus souvent ces valeurs diffèrent si peu des précédentes que pris
de nouveau dans la table, n’est pas différent de la première valeur ;
s’il en était autrement, il faudrait recommencer de nouveau le calcul jusqu’à ce qu’il ne déterminât plus aucun changement. Dès que la
quantité sera trouvée, on aura par la formule,
Ces principes se rapportent au premier cas dans lequel est positif ; dans l’autre cas, où il est négatif, nous posons
et
[14∗]
|
|
|
d’où l’équation 12∗, convenablement réduite, se change en celle-ci,
[15∗]
|
|
|
On pourra donc déterminer d’après au moyen de cette équation cubique, d’où l’on déduira ensuite par l’équation
[16∗]
|
|
|
Dans une première approximation, on pourra prendre pour la
valeur
avec la valeur de déduite de là, par le moyen des équations 15∗ et
16∗, on extraira de la table III ; de là, par la formule 14∗ on aura
la valeur corrigée de avec laquelle on recommencera le calcul de la
même manière. Enfin, l’angle sera déterminé, d’après de la même
manière que dans le premier cas.
92
Quoique dans certains cas, les équations 15, 15∗ puissent avoir
trois racines réelles, il ne sera néanmoins jamais douteux laquelle dans notre problème devra être adoptée. Puisqu’en effet est évidemment une quantité positive, on conclut facilement de la théorie
des équations, que l’équation 15 a une seule racine positive avec deux
imaginaires ou deux négatives. Maintenant, puisque doit
être nécessairement une quantité positive, il est évident qu’il ne reste
ici aucune incertitude.
Mais, en ce qui regarde l’équation 15∗, nous observons d’abord que
est nécessairement plus grand que ce qui est facilement démontré, si l’équation donnée dans l’art. 89 est mise sous la forme
En substituant ensuite, dans l’équation 12∗, à la place
de il vient
et, par suite,
et par conséquent, En posant, donc, sera nécessairement une quantité positive ; par là aussi, l’équation 15∗ se
change en celle-ci
qui ne peut avoir plusieurs racines positives, ainsi que le prouve
facilement la théorie des équations. On conclut de là que l’équation 15∗ ne peut avoir qu’une racine plus grande que [3] qu’il faudra, les autres étant négligées, adopter dans notre problème.
93
Pour rendre la solution de l’équation 15 la plus facile possible,
pour les cas qui se présentent le plus fréquemment dans la pratique, nous ajoutons à la fin de cet ouvrage une table particulière (la
table II) qui donne, pour les valeurs de comprises depuis jusqu’à
, les logarithmes correspondants de calculés avec le plus
grand soin jusqu’à la septième décimale. L’argument est donné de
dix-millième en dix-millième depuis jusqu’à ; par ce fait, les
différences secondes de sont rendues insensibles, de sorte que
dans cette partie de la table il suffit assurément d’une simple interpolation. Mais comme la table serait devenue beaucoup trop volumineuse, si elle avait eu partout le même développement, on a dû
ne la donner depuis jusqu’à la fin, que de millième en millième ; c’est pourquoi il faudra, dans cette dernière partie, avoir
égard aux différences secondes, si nous désirons à la vérité éviter
des erreurs de quelques unités dans la septième décimale. Au reste,
les petites valeurs de sont, dans la pratique, de beaucoup les plus
fréquentes.
Toutes les fois que sort des limites de la table, la solution de
l’équation 15, et aussi celle de l’équation 15∗, pourront être effectuées sans difficulté par la méthode indirecte ou par d’autres méthodes assez connues. Au reste, il ne sera pas étranger à la question
d’avertir qu’une petite valeur de ne peut exister avec une valeur
négative de , si ce n’est dans les orbites très-excentriques,
ainsi que cela ressortira spontanément de l’équation 20, donnée plus
loin dans l’art. 95[4].
94
La manière de traiter les équations 12, 12∗, expliquée dans les
art. 91, 92, 93, est basée sur la supposition que l’angle n’est pas
trop grand, et certainement inférieur à la limite 66° 25′, au delà de
laquelle nous n’avons pas étendu la table III. Toutes les fois que
cette hypothèse n’est pas exacte, ces équations ne réclament pas
d’artifices aussi grands ; car elles pourront toujours, sans changement de forme, être résolues par tâtonnements en toute sûreté et très-commodément. Sûrement, en effet, puisque la valeur de l’expression
,
dans laquelle doit évidemment être exprimé en parties du rayon, peut être calculée pour les grandes valeurs de avec toute précision,
par le moyen des tables trigonométriques, ce qui ne peut certainement avoir lieu tant que est un petit angle ; commodément, puisque
les lieux héliocentriques distants l’un de l’autre d’un aussi grand
intervalle ne sont presque jamais employés pour la détermination
d’une orbite encore entièrement inconnue, tandis que par le moyen
des équations 1 ou 3 de l’art. 88, une valeur approchée de se déduit presque sans travail d’une connaissance quelconque de l’orbite ;
enfin, d’une valeur approchée de on obtiendra toujours, par un
petit nombre d’essais, une valeur corrigée satisfaisant avec toute la
précision désirable à l’équation 12 ou 12∗. Au reste, toutes les fois
que deux lieux héliocentriques donnés embrassent plus d’une révolution entière, il importe de se rappeler que pour l’anomalie excentrique tout autant de révolutions complètes auront été achevées, de
telle sorte que les angles tomberont tous les deux entre
0 et 360° ou entre les mêmes multiples de la circonférence entière,
et par suite et entre 0 et 180° ou entre les mêmes multiples de la
demi-circonférence. Si enfin, l’orbite était entièrement inconnue, et
qu’on ne pût même établir si le corps céleste, en allant du premier
rayon vecteur au second, a décrit une partie seulement de la révolution, ou, en outre, une ou plusieurs révolutions, notre problème
pourrait admettre quelquefois plusieurs solutions différentes ; toutefois nous ne nous arrêterons pas à ce cas qui ne se rencontre presque jamais dans la pratique.
95
Nous passons à une seconde question, à savoir la détermination
des éléments d’après l’angle trouvé. Le demi-grand axe est ici obtenu immédiatement par les formules 10, 10∗, à la place desquelles
peuvent aussi être employées les suivantes :
[17]
|
|
|
[17∗]
|
i
|
|
Le demi-petit axe est déterminé au moyen de l’équation 1 qui, étant combinée avec les précédentes, donne
[18]
|
|
|
[18∗]
|
|
|
Maintenant, le secteur elliptique compris entre deux rayons vecteurs et un arc d’ellipse est mais le triangle compris entre
les mêmes rayons vecteurs et la corde c’est pourquoi
le rapport du secteur au triangle est comme ou comme
Cette remarque est d’une très-grande importance et éclaire en même
temps très-bien les équations 12 et 12∗ ; de là, il est en effet évident
que dans l’équation 12 les parties et dans
l’équation 12∗ les parties sont respectivement proportionnelles à l’aire du secteur (compris entre les rayons
vecteurs et l’arc d’ellipse), à l’aire du triangle (entre les rayons
vecteurs et la corde), à l’aire du segment (entre l’arc et la corde),
puisque la première aire est évidemment égale à la somme ou à la
différence des deux autres, selon que tombe entre 0 et 180°
ou entre 180° et 360°. Dans le cas où est plus grand que 360°,
il faut concevoir l’aire de l’ellipse entière ajoutée à l’aire du secteur
et aussi à l’aire du segment autant de fois que le mouvement contient de révolutions entières.
Puisque on trouve ensuite, par la combinaison des
équations 1, 10, 10∗,
[19]
|
|
|
[19∗]
|
|
|
d’où, en substituant à la place de et leurs valeurs de l’art. 89, il
vient
[20]
|
|
|
Cette formule n’est pas propre au calcul exact de l’excentricité
toutes les fois que celle-ci a une petite valeur ; mais de cette relation on déduit facilement la formule suivante, qui est plus convenable,
[21]
|
|
|
à laquelle on peut aussi donner la forme suivante (en multipliant le
numérateur et le dénominateur par ),
[22]
|
|
|
On pourra toujours déterminer l’angle avec toute précision, au
moyen de l’une ou l’autre formule (en employant si cela convient,
les angles auxiliaires dont les tangentes sont
pour la première, ou pour la dernière).
Pour la détermination de l’angle on peut employer la formule
suivante qui se déduit naturellement de la combinaison des équations
5, 7 et de celle qui suit non numérotée,
[23]
|
|
|
de laquelle, en introduisant on trouve facilement
[24]
|
|
|
L’ambiguïté qui se présente ici est facilement éludée par le secours
de l’équation 7 qui apprend que l’on doit prendre entre 0 et 180°,
ou entre 180° et 360°, selon que le numérateur dans ces deux formules est positif ou négatif.
En combinant l’équation 3 avec celles-ci, qui découlent immédiatement de l’équation II art. 8,
la formule suivante se déduira sans peine,
[25]
|
|
|
de laquelle, en introduisant l’angle il vient
[26]
|
|
|
L’ambiguïté est ici écartée comme précédemment. Aussitôt que les
angles et auront été trouvés, on aura
d’où la position du périhélie sera connue ; et aussi
Enfin, le mouvement moyen pendant le temps sera
l’accord de ces expressions servira à confirmer le calcul ; l’époque de
l’anomalie moyenne correspondant à l’instant compris entre les deux
époques proposées sera laquelle pourra à volonté,
être transportée à tout autre instant.
Il est encore un peu plus commode de calculer les anomalies
moyennes pour les deux époques données par les formules
et d’employer leur différence, en la comparant à la quantité
à confirmer l’exactitude du calcul,
96
Les équations développées dans l’article précédent jouissent en
vérité de tant de justesse qu’il semble qu’on ne peut rien désirer de
plus. Néanmoins, on peut obtenir quelques autres formules au moyen
desquelles les éléments de l’orbite sont déterminés avec encore
beaucoup plus d’élégance et de facilités ; mais la démonstration de ces formules
est un peu plus détournée.
Nous reprenons, de l’art. 8, les équations suivantes que nous distinguons, pour plus de commodité, par des nombres nouveaux :
I.
|
|
|
II.
|
|
|
III.
|
|
|
IV.
|
|
|
Nous multiplions I par II par d’où
nous obtenons, les produits étant ajoutés,
ou, à cause de
Exactement de la même manière, en multipliant III par
IV par on trouve, en ajoutant les produits,
En retranchant de cette équation la précédente, il vient
ou, en introduisant l’angle auxiliaire
[27]
|
|
|
Par des transformations tout à fait semblables, dont nous laissons le
développement au savant lecteur, on trouve
[28]
|
|
|
[29]
|
|
|
[30]
|
|
|
Puisque les premiers membres, dans ces quatre équations, sont des
quantités connues, et
seront déterminées d’après les équations 27 et 28 ; et aussi de la
même manière, et
d’après les équations 29 et 30 ; l’incertitude dans la détermination
des angles est écartée par la considération que
et doivent avoir le même signe que
Ensuite, et se déduiront de et De
on pourra déduire
et aussi
à moins que nous ne préférions nous servir de cette dernière quantité,
qui doit être égale à
uniquement pour la confirmation du calcul, dans quel cas et seront plus convenablement déterminés par les formules
Plusieurs des équations des articles 88 et 95 peuvent, si l’on veut,
servir dans la pratique à la confirmation du calcul ; à ces équations
nous ajouterons encore les suivantes :
Enfin, le mouvement moyen et l’époque de l’anomalie moyenne seront
déterminés de la même manière que dans l’article précédent.
97
Pour éclaircir les méthodes exposées depuis l’art. 88, nous reprendrons les deux exemples de l’art. 87 ; il est à peine nécessaire d’avertir
que la signification appliquée jusqu’à présent à l’angle auxiliaire
ne doit pas être confondue avec celle suivant laquelle, dans les art. 86
et 87, le même symbole a été pris.
I. Dans le premier exemple nous ayons et ensuite
De là, par l’art. 89,
|
7,0389972 |
|
|
5,3832428
|
|
9,9990488 |
|
|
9,9990488
|
|
7,0399484 |
|
|
5,3841940
|
0,0011205691 |
|
0,0000242211
|
et par suite,
-
Nous avons ensuite, .
La valeur approchée de est donc , à laquelle répond,
dans notre table II, . On a donc
,
ou
;
d’où, par la formule 16, on a : c’est pourquoi,
puisque se trouve, par la table III, entièrement insensible, les valeurs trouvées pour , , n’exigent aucune correction. Maintenant,
la détermination des éléments se fait de la manière suivante :
C’est pourquoi, d’après les formules 27, 28, 29, 30, on a
|
|
7,6916214 |
|
|
|
|
0,0000052
|
|
9,9992065 |
|
|
|
8,7810188
|
|
9,9999929 |
|
|
|
7,7579709
|
|
7,6908279 |
|
|
|
7,6916143
|
|
8,7810240 |
|
|
|
7,7579761
|
|
— 4° 38′ 41,54″ |
|
|
|
8,7824527
|
|
319° 21′ 38,05″ |
|
|
|
7,8778355
|
|
314° 42′ 56,51″ |
|
|
De là |
07° 06′ 0,935″
|
|
310° 55′ 29,64″ |
|
|
|
14° 12′ 1,87″0
|
|
318° 30′ 23,37″ |
|
|
|
8,7857960
|
|
324° 00′ 19,59″ |
|
|
Pour confirmer le calcul :
|
|
320° 52′ 15,53″ |
|
|
|
0,1500394
|
|
327° 08′ 23,65″ |
|
|
|
8,6357566
|
|
8,7857960
|
|
|
0,3264939 |
|
|
|
9,3897262
|
|
|
8,8202909 |
|
|
5,3144251
|
|
|
1,2621765 |
|
|
4,7041513
|
|
|
0,4089613 |
|
|
9,8000767
|
|
|
9,9865224 |
|
|
9,7344714
|
|
|
0,3954837 |
|
|
4,5042280
|
|
|
0,4224389 |
|
|
4,4386227
|
|
|
3,5500066
|
−31932,14″−8° 52′ 12,14″
|
|
|
0,6336584
|
−27455,08″−7° 37′ 35,08″
|
|
|
2,9163482 |
|
De là l’anomalie moyenne :
|
|
|
1,3411160 |
|
Pour le 1er lieu |
329° 44′ 27,67″
|
|
|
4,2574642 |
|
Pour le 2er lieu |
334° 45′ 58,73″
|
Le mouvement moyen diurne est donc =824″,7989. Le mouvement moyen dans le temps =18091″,07 =5° 1′ 31,07″. |
|
Différence |
5° 01′ 31,06″
|
II. Dans l’autre exemple, on a
ou la valeur approchée
de à laquelle, dans la table II, correspond
d’où l’on déduit
de là par la table III, on trouve En employant cette
valeur, les valeurs corrigées deviennent
Si, avec cette valeur de qui ne diffère de la précédente que
d’une seule unité du septième ordre, on recommence encore le calcul, et n’éprouveront pas de changements sensibles ; c’est
pourquoi la valeur trouvée pour est déjà exacte et permet dès lors
de procéder de là à la détermination des éléments. Comme cette détermination ne diffère en rien de celle faite dans l’exemple précédent, nous ne nous y arrêterons pas.
III. Il ne sera pas hors de propos d’éclaircir aussi par un exemple
l’autre cas dans lequel est négatif. Soient ou
jours. On trouve ici la première valeur approchée de d’où
par la résolution de l’équation 15∗, on obtient et ensuite
à laquelle répond, dans la table III,
De là se déduisent les valeurs corrigées Le calcul étant recommencé de nouveau avec cette valeur de il vient
valeur qui n’exige plus de correction, puisque déduit de là n’éprouve pas de changement. On trouve ensuite
et de là, de même que dans l’exemple I
|
|
|
3° 33′ 53,59″ |
|
|
9,9700508
|
|
|
|
8° 26′ 06,38″ |
|
|
9,8580552
|
|
|
|
11° 59′ 59,97″ |
|
37° 41′ 34,27″
|
|
|
|
− 100° 00′ 00,03″ |
|
75° 23′ 08,54″
|
|
|
|
+ 123° 59′ 59,97″ |
|
|
0,0717096
|
|
|
|
4° 52′ 12,79″ |
|
Comme preuve du calcul, on a :
|
|
|
|
− 017° 22′ 38,01″ |
|
|
|
|
+ 027° 07′ 03,59″ |
|
|
0,0717097
|
Dans les orbites si excentriques, l’angle est calculé un peu plus
exactement par la formule 19∗ qui donne, dans notre exemple,
l’excentricité est aussi déterminée avec une plus
grande précision par la formule que par
d’après la première relation, on a
Par la formule 1, on trouve ensuite d’où et le logarithme de la distance périhélie
Dans les orbites qui se rapprochent autant de la forme parabolique,
on a coutume d’assigner, à la place de l’époque de l’anomalie
moyenne, l’instant du passage par le périhélie ; les intervalles compris
entre ce moment et les deux époques qui correspondent aux deux positions de l’astre pourront être déterminés, au moyen des éléments
connus, par la méthode développée dans l’art. 41, intervalles
dont la différence ou la somme (selon que le périhélie est situé en
dehors ou en dedans des deux lieux proposés), devant s’accorder
avec l’intervalle servira à confirmer l’exactitude du calcul. Les
nombres de ce troisième exemple avaient été déduits des éléments
supposés dans l’exemple des art. 38 et 43, de même que cet
exemple nous avait fourni notre premier lieu ; les légères différences
des éléments obtenus ici proviennent uniquement de la précision
limitée des tables logarithmiques et trigonométriques.
98
La solution de notre problème pour l’ellipse, développée dans les
articles précédents, pourrait aussi s’appliquer à la parabole et à l’hyperbole,
en considérant la parabole comme une ellipse dans laquelle
et seraient des quantités infinies, et enfin et
et de même, l’hyperbole comme une ellipse dans laquelle serait
négatif et imaginaires ; nous préférons cependant, nous
abstenir de ces suppositions, et traiter le problème séparément pour
chaque genre de sections coniques. Une analogie remarquable se
manifestera ainsi de soi-même entre les trois genres.
En conservant dans la PARABOLE, aux lettres
la même signification avec laquelle nous les avons prises ci-dessus,
nous avons, d’après la théorie du mouvement parabolique ;
[1]
|
|
|
[2]
|
|
|
d’où
[3]
|
|
|
On déduit ensuite par la multiplication des équations 1, 2
[4]
|
|
|
et aussi par l’addition des carrés,
[5]
|
|
|
De là, étant éliminé,
[6]
|
|
|
C’est pourquoi, si nous adoptons ici les équations 9, 9∗ de l’art. 88,
la première étant relative à positif et la seconde à négatif,
nous aurons
[7]
|
|
|
[7∗]
|
|
|
Ces valeurs étant substituées dans l’équation 3, il viendra, en conservant aux lettres la signification établie par les équations 11,
11∗, art. 88,
[8]
|
|
|
[8∗]
|
|
|
Ces équations s’accordent avec les équations 12, 12∗ art. 88, si
on fait dans celles-ci On en conclut que si deux lieux héliocentriques, auxquels on satisfait par une parabole, sont traités comme
si l’orbite était elliptique, il doit en résulter immédiatement, par
application des formules de l’art. 91, réciproquement, on
voit facilement que si au moyen de ces formules on obtient
l’orbite se trouve parabolique au lieu d’elliptique, puisque d’après les équations 1, 16, 17, 19, 20, on a La détermination des éléments s’achève ensuite très-facilement. Pour on
pourra en effet, employer l’équation 7 du présent article ou l’équation 18 de l’art. 95[5] : mais pour on a, d’après les équations 1, 2
de cet article
si l’angle auxiliaire est pris avec la même signification que dans
l’art. 89.
À cette occasion nous observons encore, que si dans l’équation 3
nous substituons à la place de sa valeur de l’équation 6, on retrouve
la relation assez connue
99
Dans l’HYPERBOLE, nous conservons aussi aux lettres la même signification ; mais à la place du demi-grand axe
qui est ici négatif, nous écrivons nous poserons ensuite
comme ci-dessus, art. 21, l’excentricité Nous ferons la
quantité auxiliaire exprimée par dans cet article, égale à pour le
premier lieu et à pour le second, d’où l’on conclut facilement que
est toujours plus grand que 1, mais toutes choses égales, diffère
d’autant moins de l’unité que les deux lieux proposés sont moins
distants l’un de l’autre. Des équations développées dans l’art. 21,
nous transportons ici, en modifiant un peu leur forme, la sixième et
la septième :
[1]
|
|
|
[2]
|
|
|
[3]
|
|
|
[4]
|
|
|
De là aussitôt découlent les suivantes :
[5]
|
|
|
[6]
|
|
|
[7]
|
|
|
[8]
|
|
|
On a ensuite par l’équation X de l’art. 21,
et de là
[9]
|
|
|
[10]
|
|
|
Cette équation 10 combinée avec l’équation 8 donne
[11]
|
|
|
En posant donc, de même que dans l’ellipse,
ou
selon que est positif ou négatif, on a
[12]
|
|
|
[12∗]
|
|
|
Le calcul de la quantité ou est effectué ici, comme dans l’ellipse, avec le secours de l’angle auxiliaire On a enfin, d’après l’équation XI de l’art. 22 (en considérant les logarithmes hyperboliques),
ou, en éliminant au moyen de l’équation 8,
Nous substituons, dans cette équation, à la place de sa valeur
d’après 12, 12∗ ; nous introduisons ensuite la lettre ou avec la
même signification que leur assignent les formules 11, 11∗, art. 88 ;
et enfin, nous écrivons pour abréger,
De cette manière, on obtient les équations
[13]
|
|
|
[13∗]
|
|
|
qui ne contiennent qu’une seule inconnue, puisqu’il est évident que
est une fonction de exprimée par la formule suivante,
100
En résolvant l’équation 13 ou 13∗, nous considérerons d’abord séparément, le cas où n’atteint pas une valeur trop grande, de telle
sorte que puisse être exprimé en série développée suivant les puissances croissantes de et convergeant rapidement.
Maintenant on a
et par suite le numérateur de et le dénominateur d’où
Pour découvrir la loi de la progression, différentions l’équation
d’où l’on trouve, toutes réductions faites,
ou
d’où l’on déduit, de la même manière que dans l’art. 90,
Il est donc évident, que dépend de entièrement de la même manière que, ci-dessus, dépend de c’est pourquoi, si nous
posons
sera aussi déterminé d’après de la même manière que ci-dessus, par de sorte que l’on aura
[14]
|
|
|
ou
C’est de cette manière qu’ont été calculées, de millième en millième, et depuis jusqu’à les valeurs de que donne
la troisième colonne de la table III.
101
En introduisant la quantité et en posant
ou
et aussi,
[15]
|
|
|
ou
[15∗]
|
|
|
les équations 13 et 13∗ prennent la forme suivante,
[16]
|
|
|
[16∗]
|
|
|
et deviennent par suite, entièrement identiques avec celles (15, 15∗, art. 91)
auxquelles on est parvenu dans l’ellipse. De là, en tant que
ou peut être considéré comme connu, on pourra donc déduire
ou et l’on aura ensuite
[17]
|
|
|
[17∗]
|
|
|
De ces dernières équations on conclut que toutes les opérations
prescrites ci-dessus pour l’ellipse conviennent aussi à l’hyperbole
jusqu’à cet endroit où, d’une valeur approchée de ou la quantité ou aura été déterminée ; mais après cela, la quantité
ou
qui doit être positive dans l’ellipse et égale à zéro dans la parabole,
doit être négative dans l’hyperbole ; c’est pourquoi, par ce critérium, le genre de la section conique sera défini. Une fois trouvé,
notre table donnera de là on déduira la valeur corrigée de ou
avec laquelle le calcul devra être refait jusqu’à ce que toutes les
quantités s’accordent exactement.
Après que la véritable valeur de aura été trouvée, on pourra en
déduire par la formule
mais il est préférable, aussi pour les usages suivants, d’introduire
un angle auxiliaire déterminé par l’équation
on aura d’après cela,
102
Puisque dans l’hyperbole comme dans l’ellipse doit nécessairement être positif, la résolution de l’équation 16 ne peut aussi être
ici sujette à ambiguïté[6] ; mais, en ce qui concerne l’équation 16∗,
on doit raisonner ici un peu autrement que dans l’ellipse. De la
théorie des équations on établit facilement que pour une valeur positive de [7], cette équation (si à la vérité elle a quelque racine
réelle positive) a, avec une racine négative, deux racines positives,
qui seront ou toutes deux égales, c’est-à-dire égales à
ou l’une plus grande que cette limite, et l’autre plus petite. Nous démontrons maintenant, de la manière suivante, que dans notre problème (puisque par la supposition faite ci-dessus, est une quantité
assez petite, au moins inférieure à afin de pouvoir se servir de
la troisième table), on doit nécessairement prendre toujours la racine
la plus grande.
Si nous substituons, dans l’équation 13∗, à la place de sa valeur
il vient
ou
d’où l’on conclut facilement, que pour les valeurs de aussi petites
que celles que nous supposons ici, on doit toujours avoir
Nous trouvons, en effet, en faisant le calcul, que pour que
devienne égal à cette limite, on doit avoir mais il s’en
faut de beaucoup que nous voulions étendre notre méthode à des
voleurs si grandes de
103
Toutes les fois que atteint une grande valeur dépassant les limites
de la table III, les équations 13 et 13∗ sont toujours complètement
et commodément résolues, sans modifier leur forme, à l’aide de tâtonnements, et, de fait, par des raisons semblables à celles que
nous avons données pour l’ellipse, dans l’art. 94. Dans un tel cas,
on pourra supposer les éléments de l’orbite au moins approximativement connus ; et alors, on aura aussitôt une valeur approchée de
par la formule
qui découle immédiatement de l’équation 6, .
On aura aussi au moyen de par la formule
et de la valeur approchée de on pourra déduire, à l’aide de quelques tâtonnements, celle qui satisfait exactement à l’équation 13 ou
13∗. Ces équations peuvent aussi être présentées sous cette forme :
Et ainsi, sans avoir égard à la valeur exacte de pourra aussitôt
être obtenue :
104
Il reste à déterminer les éléments eux-mêmes au moyen de ou
En posant on aura, d’après l’équation 6, art. 99,
[18]
|
|
|
En combinant cette formule avec 12, 12∗, art. 99, on trouve
[19]
|
|
|
[19∗]
|
|
|
d’où l’excentricité sera commodément et exactement calculée ; de
et on obtiendra par une division, et par une multiplication, de telle sorte que l’on a
La troisième et la sixième expressions de qui sont entièrement
identiques avec les formules 18, 18∗, art. 95, montrent que les remarques faites sur la signification des quantités et s’appliquent
aussi à l’hyperbole.
En combinant les équations 6, 9, article 99, on déduit
c’est pourquoi en introduisant et et en posant
on a
[20]
|
|
|
De là, étant déterminé, on aura, pour l’un et l’autre lieu, les
valeurs de la quantité exprimée par dans l’article 21 ; on a ensuite,
par l’équation III, article 21,
ou, en introduisant à la place de les angles
[21]
|
|
|
[22]
|
|
|
Par là seront déterminées les anomalies vraies dont la différence comparée à servira en même temps à confirmer le calcul.
Enfin, par la formule XI, art. 22, on déduira facilement que l’intervalle de temps compris entre le passage au périhélie et l’époque du
premier lieu,
et de même, l’intervalle de temps compris entre le passage au périhélie et l’époque du deuxième lieu,
Si donc, on pose l’époque du premier lieu et par suite,
l’époque du second on aura
[23]
|
|
|
d’où l’on connaîtra l’époque du passage au périhélie ; et enfin,
[24]
|
|
|
équation qui peut, si l’on veut, être employée comme une dernière
confirmation du calcul.
105
Pour éclaircir ces principes, nous composerons un exemple d’après
les deux lieux calculés dans les art. 23, 24, 25, 46, pour les mêmes
éléments hyperboliques. Soient donc
jours.
De là on trouve
ou la valeur approchée de de là, par la
table II,
à laquelle répond, dans la table III
De là, la valeur corrigée de devient
valeurs qui n’ont besoin d’aucune nouvelle correction, puisque n’en
éprouve aucun changement. Le calcul des éléments se fait maintenant de la manière suivante :
|
|
7,8742399 |
|
C |
|
|
9,6506199
|
|
0,0032389 |
|
|
|
8,9387394
|
|
8,9387394 |
|
|
|
1,2969275
|
|
0,3010300 |
|
|
|
9,8862868
|
|
9,2397694 |
|
|
37° 34′ 59,77″
|
C |
|
9° 51′ 11,816″ |
|
(Ce devrait être |
37° 35′ 00″)0..
|
|
4° 55′ 35,908″ |
|
|
|
0,6900182
|
|
|
9,6110118 |
|
|
|
8,9848318
|
|
|
0,1171063 |
|
|
|
0,0020156
|
|
|
0,7602306 |
|
|
|
9,7852685
|
|
|
0,4883487 |
|
|
|
9,4621341
|
|
|
9,8862868 |
|
|
16° 09′ 46,253″
|
|
|
0,6020619 |
|
|
8° 04′ 53,127″
|
|
|
0,3746355 |
|
|
3° 09′ 17,219″
|
(Ils devraient être |
0,6020600 |
|
|
13° 00′ 29,035″
|
|
et |
0,3746356 |
)
|
|
|
8,7406274 |
|
|
|
9,3523527
|
|
|
0,0112902 |
|
|
|
0,0006587
|
|
|
0,4681829 |
|
|
|
0,4681829 |
|
|
|
9,2201005 |
|
|
|
9,8211943
|
|
9° 25′ 29,97″ |
|
|
33° 31′ 29,93″
|
|
18° 50′ 59,94″ |
|
|
67° 02′ 59,86″
|
(Ce devrait être |
18° 51′ 00″)0.. |
|
(Ce devrait être |
67° 03′ 00″)0..
|
|
|
0,1010184 |
|
|
|
0,1010184
|
|
|
9,4621341 |
|
|
|
9,2397694 |
|
|
|
0,0064539 |
|
|
|
0,0175142
|
|
9,5696064 |
|
|
9,3583020
|
Nombre |
0.37119863 |
|
Nombre |
0.22819284
|
|
0,28591251 |
|
|
0,17282621
|
Différence |
0,08528612 |
|
Différence |
0,05536663
|
|
|
8,9308783 |
|
|
|
8,7432480
|
|
|
0,9030928 |
|
|
|
0,9030928
|
|
|
1,7644186 |
|
|
|
1,7644186
|
|
|
1,5983897 |
|
|
|
0,3010300
|
|
39,66338 |
|
|
|
1,7117894
|
|
51,49788
|
C’est pourquoi, le passage par le périhélie est distant de l’époque
du premier lieu de jours, et du second lieu de jours. Enfin, la petite différence des éléments trouvés ici avec ceux
d’après lesquels ont été calculés les lieux proposés, doit être attribuée à la précision limitée des tables.
106
Dans un traité des relations les plus remarquables concernant le
mouvement d’un corps céleste dans les sections coniques, nous ne
pouvons passer sous silence l’expression élégante du temps en fonction du demi-grand axe, de la somme et de la corde qui
joint les deux lieux. Cette formule parait réellement avoir d’abord été
trouvée pour la parabole par l’illustre Euler (Miscell., Berolin, T. VII, p. 20), qui cependant la négligea dans la suite, et ne l’étendit
pas non plus à l’ellipse et à l’hyperbole ; ceux qui attribuent cette
formule au célèbre Lambert se trompent donc, quoiqu’on ne puisse
refuser à ce géomètre le mérite d’avoir indépendamment obtenu cette
expression enfouie dans l’oubli, et de l’avoir étendue aux autres
sections coniques. Quoique cette question soit déjà traitée par plusieurs géomètres, les lecteurs attentifs ne trouveront pas superflue
l’exposition suivante. Nous commençons d’abord par le mouvement
elliptique.
Nous observons avant tout, que l’angle (art. 88, d’où nous
prenons aussi les autres notations) décrit autour du Soleil, peut être
supposé inférieur à 360° ; il est en effet évident, que si cet angle est
augmenté de 360°, le temps est augmenté d’une révolution, ou
jours.
Si nous représentons maintenant la corde par on aura évidemment
et par suite, d’après les équations VIII et IX, art. 8
Nous introduisons l’angle auxiliaire tel que l’on ait
en même temps, pour éviter toute ambiguïté, nous supposons que
est compris entre 0° et 180°, d’où sera une quantité positive. C’est pourquoi, comme tombe aussi entre les mêmes limites (si
en effet, atteignait 360° ou le dépassait, le mouvement autour du
Soleil, atteindrait ou surpasserait une révolution entière), on déduit
spontanément de l’équation précédente que pourvu
que la corde soit considérée comme une quantité positive. Puisque,
ensuite, on a
il est évident que si l’on pose on trouve
[1]
|
|
|
[2]
|
|
|
On a enfin,
ou
[3]
|
|
|
D’après les équations 1 et 2, les angles et pourront donc être
déterminés au moyen de et c’est pourquoi, au moyen
des mêmes quantités, le temps pourra être déterminé à l’aide de
l’équation 3. On peut, si on le préfère, présenter ainsi cette formule :
Mais dans la détermination des angles et par leur cosinus, il
reste une incertitude qu’il convient d’examiner plus particulièrement.
Il est en vérité, évident de soi-même, que doit tomber entre
et et entre et mais alors, ces deux angles semblent admettre une double détermination, et par suite le temps qui
en résulte, une quadruple. Nous avons cependant, de l’équation 5,
art. 88,
maintenant, est nécessairement une quantité positive, d’où nous concluons que et doivent être affectés des mêmes
signes, et par suite que doit être pris entre et ou entre
et selon que sera positif ou négatif, c’est-à-dire selon
que le mouvement héliocentrique aura été plus petit ou plus grand
que 180°. Il est en outre évident, que pour doit nécessairement être nul. De cette manière est complètement déterminé.
Mais la détermination de l’angle reste nécessairement douteuse, de
sorte que l’on obtient toujours pour le temps deux valeurs, dont on ne
peut décider laquelle est la vraie, à moins que ce ne soit indiqué
d’autre part. La raison de ce phénomène s’aperçoit facilement ; il est
constant, en effet, que par deux points donnés on peut décrire deux
ellipses différentes, ayant toutes deux leur foyer au même point
donné et, en même temps, le même demi-grand axe[8] ; mais le mouvement du premier lieu au second, dans ces ellipses, est évidemment effectué dans des temps inégaux.
107
En désignant par un arc quelconque compris entre et
et par le sinus de l’arc on sait qu’on a
On a ensuite
et par suite,
Nous substituons successivement, dans cette série, à la place de
et
et nous multiplions les résultats par on obtient ainsi respectivement, les séries
dont nous représenterons les sommes par
On voit maintenant, sans difficulté, que puisque l’on a
le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris selon que
est plus petit ou plus grand que 180° on obtient
le signe étant pareillement déterminé.
De la même manière, si pour on prend la plus petite valeur, inférieure à 180°, on a
mais en prenant l’autre valeur qui est complémentaire de celle-ci à
360°, on a évidemment
De là, on obtient donc les deux valeurs relatives au temps
et
108
Si l’on considère la parabole comme une ellipse, dont le grand axe est infiniment grand, l’expression du temps trouvé dans l’article précédent devient
mais comme peut-être la déduction de cette formule pourrait être
exposée à quelques doutes, nous en donnerons une autre indépendante de l’ellipse.
En posant pour simplifier
on a
De là il vient
et par suite
On voit maintenant facilement que est
une quantité positive ; en posant donc
on aura
On a ensuite,
c’est pourquoi l’on a
De la première équation, on déduit immédiatement,
puisque et sont des quantités positives ; mais comme
est plus petit ou plus grand que suivant que
est positif ou négatif, il est évident que de la seconde équation, on
devra conclure
où l’on devra adopter le signe supérieur ou le signe inférieur selon
que l’angle décrit autour du Soleil sera plus petit ou plus grand
que 180°.
De l’équation qui, dans l’art. 98, suit la seconde équation, nous
avons ensuite,
d’où il suit immédiatement,
le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris, selon que
est plus petit ou plus grand que 180°.
109
Si, dans l’hyperbole, nous conservons aux lettres la même
signification que dans l’art. 99, nous obtenons, d’après les équations VIII, IX de l’art. 21,
et par conséquent,
Supposons que soit une quantité déterminée par l’équation
comme deux valeurs réciproques de satisfont évidemment à cette
équation, nous devons adopter celle qui est plus grande que 1. On
a ainsi
On a, en outre,
et alors,
En posant donc,
on aura nécessairement
mais pour décider la question si doit être
ou il faut chercher si est plus grand ou plus petit que
mais il résulte facilement de l’équation 8, art. 99, que le premier
cas a lieu toutes les fois que est inférieur à 180°, et le second, toutes les fois que est supérieur à 180°. Enfin, du même article
nous avons
les signes inférieurs concernant toujours le cas où Maintenant, se développe facilement en la série suivante :
Ceci se déduit immédiatement de
C’est pourquoi l’on trouve
et de même, une formule entièrement semblable, si l’on change
en De là, enfin, si l’on pose
on obtient
expressions qui s’accordent entièrement avec celles développées dans
l’art. 107, si dans celles-là on change en
Au reste ces séries, soit pour l’ellipse, soit pour l’hyperbole, sont surtout commodes pour l’usage pratique, lorsque ou a une
très-grande valeur, c’est-à-dire quand la section conique ressemble
de très-près à une parabole. Dans un tel cas, on peut aussi employer pour la solution du problème les méthodes développées précédemment (art. 85-105) ; mais comme en vérité, d’après notre jugement, elles n’apportent pas alors de brièveté à la solution donnée
ci-dessus, nous ne nous arrêterons pas à exposer plus longuement
cette méthode.