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''a.'' Dans tout intervalle <math>{(l, m)}</math>, pour <math>{m(\mathrm{I})}</math> tendant vers zéro la plus grande limite de <math>{\mathcal{A}_{\mathrm{G}(x)}(\mathrm{I})}</math> est positive et la plus petite négative ; |
''a.'' Dans tout intervalle <math>{(l, m)}</math>, pour <math>{m(\mathrm{I})}</math> tendant vers zéro la plus grande limite de {{corr|A_{G(x)}(I)|<math>{\mathcal{A}_{\mathrm{G}(x)}(\mathrm{I})}</math>}} est positive et la plus petite négative ; |
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''b.'' Ou bien il existe un intervalle <math>{(l, m)}</math> pour lequel l’une de ces limites est nulle. |
''b.'' Ou bien il existe un intervalle <math>{(l, m)}</math> pour lequel l’une de ces limites est nulle. |
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{{p fin}} |
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''a.'' Dans ce cas, dans tout <math>{(l, m)}</math> on peut trouver des intervalles limités par des points <math>x_0</math> et <math>{x_0 + h}</math>, <math>{h > 0}</math>, de <math>\mathrm{E}</math> et pour lesquels <math>{r[\mathrm{F}(x), x_0, x_0+h]}</math> est aussi grand que l’on veut ou aussi petit que l’on veut. Car, par exemple, si ce rapport ne pouvait surpasser <math>k</math>, <math>{\mathcal{A}_{\mathrm{G}(x)}(\mathrm{I})}</math> serait au plus <math>{k\,m(\mathrm{I})}</math>. |
''a.'' Dans ce cas, dans tout <math>{(l, m)}</math> on peut trouver des intervalles limités par des points <math>x_0</math> et <math>{x_0 + h}</math>, <math>{h > 0}</math>, de <math>\mathrm{E}</math> et pour lesquels <math>{r[\mathrm{F}(x), x_0, x_0+h]}</math> est aussi grand que l’on veut ou aussi petit que l’on veut. Car, par exemple, si ce rapport ne pouvait surpasser <math>k</math>, {{corr|A_{G(x)}(I)|<math>{\mathcal{A}_{\mathrm{G}(x)}(\mathrm{I})}</math>}} serait au plus <math>{k\,m(\mathrm{I})}</math>. |
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<math>{r[\mathrm{F}(x), x_0, x_0+h]}</math> est donc, partout sur <math>\mathrm{E}</math>, non borné supérieurement, donc il y a sur <math>\mathrm{E}</math> des points où <math>{\Lambda_d \mathrm{F}(x) = +\infty}</math>. |
<math>{r[\mathrm{F}(x), x_0, x_0+h]}</math> est donc, partout sur <math>\mathrm{E}</math>, non borné supérieurement, donc il y a sur <math>\mathrm{E}</math> des points où <math>{\Lambda_d \mathrm{F}(x) = +\infty}</math>. |
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