Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/263

247

LA TOTALISATION.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

ou

${\begin{aligned}\lambda _{g}&=-\infty {\text{,}}\\\Lambda _{g}&=\lambda _{d}={\text{valeur finie,}}\\\Lambda _{d}&=+\infty {\text{.}}\end{aligned}}$

3o

$\Lambda _{g}=\Lambda _{d}=+\infty$,$\lambda _{g}=\lambda _{d}=-\infty$.

Les deux fonctions ${\mathrm {F} _{1}(x)}$ et ${\mathrm {F} _{2}(x)}$, construites quelques pages plus haut, montrent d’ailleurs que les cas 2^o  et 3^o  se présentent effectivement en des ensembles de points de mesures non nulles.

De ce théorème, M. Denjoy a déduit qu’une fonction continue qui n’a en aucun point ses quatre nombres dérivés infinis à la fois, est une totale indéfinie.

Montrons, en effet, que toute fonction continue ${\mathrm {F} (x)}$ qui n’est pas une totale indéfinie a ses quatre nombres dérivés infinis en certains points. Pour une telle fonction, il existe un ensemble parfait $\mathrm {E}$ tel que la fonction ${\mathrm {G} (x)}$ correspondante ne soit absolument continue dans aucun intervalle ${(l,m)}$ contenant des points de $\mathrm {E}$ à son intérieur. C’est dire que, dans ${(l,m)}$, la limite de la valeur absolue de l’accroissement ${{\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}(\mathrm {I} )}$ de ${\mathrm {G} (x)}$ dans un ensemble $\mathrm {I}$ d’intervalles non empiétants ne tend pas vers zéro quand ${m(\mathrm {I} )}$ tend vers zéro. Comme ${\mathrm {G} (x)}$ est linéaire dans les intervalles contigus à $\mathrm {E}$, nous supposerons même que les origines et extrémités des intervalles constituant $\mathrm {I}$ sont points de $\mathrm {E}$, ce qui ne changera rien à la plus grande limite de ${\left\vert {\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}(\mathrm {I} )\right\vert }$.

Deux cas sont à distinguer :

a. Dans tout intervalle ${(l,m)}$, pour ${m(\mathrm {I} )}$ tendant vers zéro la plus grande limite de ${{\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}(\mathrm {I} )}$ est positive et la plus petite négative ;

b. Ou bien il existe un intervalle ${(l,m)}$ pour lequel l’une de ces limites est nulle.

a. Dans ce cas, dans tout ${(l,m)}$ on peut trouver des intervalles limités par des points $x_{0}$ et ${x_{0}+h}$, ${h>0}$, de $\mathrm {E}$ et pour lesquels ${r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]}$ est aussi grand que l’on veut ou aussi petit que l’on veut. Car, par exemple, si ce rapport ne pouvait surpasser $k$, ${{\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}(\mathrm {I} )}$ serait au plus ${k\,m(\mathrm {I} )}$.

${r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]}$ est donc, partout sur $\mathrm {E}$, non borné supérieurement, donc il y a sur $\mathrm {E}$ des points où ${\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)=+\infty }$.