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Soit, en effet, <math>\mathrm{P}</math> un ensemble fermé partout non dense et de mesure non nulle ; numérotons les intervalles contigus à <math>\mathrm{P}</math> de façon quelconque. |
Soit, en effet, <math>\mathrm{P}</math> un ensemble fermé partout non dense et de mesure non nulle ; numérotons les intervalles contigus à <math>\mathrm{P}</math> de façon quelconque. |
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Plaçons successivement sur <math>{(a, b)}</math> ces intervalles <math>u_1</math>, <math>u_2</math>, |
Plaçons successivement sur <math>{(a, b)}</math> ces intervalles <math>u_1</math>, {{nobr|<math>u_2</math>, ….}} Chaque intervalle <math>u_i</math> sera ainsi placé dans un intervalle <math>u^i</math> qui est l’un de ceux que l’on obtiendrait en retranchant <math>u_1</math>, {{nobr|<math>u_2</math>, …,}} <math>u_{i-1}</math> de <math>{(a, b)}</math> ; soit <math>\rho_i</math> la longueur de <math>u^i</math>. Le nombre <math>\rho_i</math> sera infiniment petit avec <math>\frac{1}{i}</math>. |
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Prenons <math>{\mathrm{F}(x)}</math> nulle aux points de <math>\mathrm{P}</math> et égale dans chaque <math>u_i</math> à une fonction continue dont la dérivée est continue, s’annule aux extrémités de <math>u_i</math> et est de valeur absolue maximum égale à <math>\sqrt{\rho_i}</math>. |
Prenons <math>{\mathrm{F}(x)}</math> nulle aux points de <math>\mathrm{P}</math> et égale dans chaque <math>u_i</math> à une fonction continue dont la dérivée est continue, s’annule aux extrémités de <math>u_i</math> et est de valeur absolue maximum égale à <math>\sqrt{\rho_i}</math>. |
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Il est clair que <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est continue, puisque <math>\sqrt{\rho_i}</math> tend vers zéro avec <math>\frac{1}{i}</math> ; <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est la totale indéfinie de la fonction nulle sur <math>\mathrm{P}</math> et égale à <math>{\mathrm{F}'(x)}</math> en dehors de <math>\mathrm{P}</math>. |
Il est clair que <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est continue, puisque <math>\sqrt{\rho_i}</math> tend vers zéro avec <math>\frac{1}{i}</math> ; <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est la totale indéfinie de la fonction nulle sur <math>\mathrm{P}</math> et égale à <math>{\mathrm{F}'(x)}</math> en dehors de <math>\mathrm{P}</math>. |
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Soit <math>\xi</math> un point de <math>\mathrm{P}</math> qui ne soit ni origine, ni extrémité d’un intervalle contigu à <math>\mathrm{P}</math>. <math>\xi</math> se trouve dans une suite d’intervalles <math>u^{i_1}</math>, <math>u^{i_2}</math>, |
Soit <math>\xi</math> un point de <math>\mathrm{P}</math> qui ne soit ni origine, ni extrémité d’un intervalle contigu à <math>\mathrm{P}</math>. <math>\xi</math> se trouve dans une suite d’intervalles <math>u^{i_1}</math>, {{nobr|<math>u^{i_2}</math>, ….}} En tant que point de <math>u^{i_j}</math> on peut affirmer que, pour <math>x</math> convenablement choisi dans <math>u_{i_j}</math>, on a |
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{{c|<math>|r[\mathrm{F}(x), \xi, x]| = \frac{\sqrt{\rho_{i_j}}}{|\xi - x|} > \frac{1}{\sqrt{\rho_{i_j}}}</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>|r[\mathrm{F}(x), \xi, x]| = \frac{\sqrt{\rho_{i_j}}}{|\xi - x|} > \frac{1}{\sqrt{\rho_{i_j}}}</math>.|m=1em}} |
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Donc en <math>\xi</math> l’un au moins des quatre nombres dérivés de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est infini et puisque l’ensemble des <math>\xi</math> est de même mesure que <math>\mathrm{P}</math>, donc de mesure non nulle, il y a l’un déterminé des quatre nombres dérivés de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> qui est infini en un ensemble de points de mesure non nulle. Et cependant <math>{\mathrm{F}(x)}</math>, ayant zéro pour dérivée prise sur <math>\mathrm{E}</math> en tout point de <math>\mathrm{E}</math>, a une dérivée approximative nulle presque partout sur <math>\mathrm{E}</math>. |
{{SA|Donc en <math>\xi</math> l’un au moins des quatre nombres dérivés de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> est infini et puisque l’ensemble des <math>\xi</math> est de même mesure que <math>\mathrm{P}</math>, donc de mesure non nulle, il y a l’un déterminé des quatre nombres dérivés de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> qui est infini en un ensemble de points de mesure non nulle. Et cependant <math>{\mathrm{F}(x)}</math>, ayant zéro pour dérivée prise sur <math>\mathrm{E}</math> en tout point de <math>\mathrm{E}</math>, a une dérivée approximative nulle presque partout sur <math>\mathrm{E}</math>.}} |
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