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\mathrm{G}(b) - \mathrm{G}(a) |
\mathrm{G}(b) - \mathrm{G}(a) |
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&= \int_{\mathrm{H}_0 - \mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}} \Lambda_d\mathrm{G}(x)\,\mathrm{d}x - \mathrm{N}(\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}) \\ |
&= \int_{\mathrm{H}_0 - \mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}} \Lambda_d\mathrm{G}(x)\,\mathrm{d}x - \mathrm{N}(\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}) \\ |
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&= \int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}} \Lambda_d\mathrm{G}(x)\,\mathrm{d}x + {\textstyle\sum [\mathrm{G}(\beta) - \mathrm{G}(\alpha)]} - \mathrm{N}(\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}) \text{ ;} \\ |
&= \int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}} \Lambda_d\mathrm{G}(x)\,\mathrm{d}x + {\textstyle\sum \left[\mathrm{G}(\beta) - \mathrm{G}(\alpha)\right]} - \mathrm{N}(\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}) \text{ ;} \\ |
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\end{align}</math>|m=1em}} |
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{{SA|le symbole <math>{\mathrm{N}(\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G})}</math> ayant le sens indiqué [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IX#PN-181|{{lié|page 181}}]]. En tout point de <math>\mathrm{E}</math>, on a <math>{\Lambda_d\mathrm{F}(x) \geqq \Lambda_d\mathrm{G}(x)}</math> ; inégalité dont le second membre est borné sauf aux points de <math>\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}</math> ; donc l’ensemble <math>\mathrm{E}^{in}</math> est contenu dans <math>\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}</math> et par suite de mesure nulle.}} |
{{SA|le symbole <math>{\mathrm{N}(\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G})}</math> ayant le sens indiqué [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IX#PN-181|{{lié|page 181}}]]. En tout point de <math>\mathrm{E}</math>, on a <math>{\Lambda_d\mathrm{F}(x) \geqq \Lambda_d\mathrm{G}(x)}</math> ; inégalité dont le second membre est borné sauf aux points de <math>\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}</math> ; donc l’ensemble <math>\mathrm{E}^{in}</math> est contenu dans <math>\mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}</math> et par suite de mesure nulle.}} |
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De plus la série <math>{\textstyle\sum l\varepsilon\,m(\mathrm{E}_l)}</math> ne peut être inférieure à |
De plus la série <math>{\textstyle\sum l\varepsilon\,m(\mathrm{E}_l)}</math> ne peut être inférieure à |
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{{c|<math>\int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}} [\Lambda_d\mathrm{G}(x) - \varepsilon]\,\mathrm{d}x</math> ;|m=1em}} |
{{c|<math>\int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}} \left[\Lambda_d\mathrm{G}(x) - \varepsilon\right]\,\mathrm{d}x</math> ;|m=1em}} |
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{{SA|puisque, presque partout sur <math>\mathrm{E}</math>, <math>{\Lambda_d\mathrm{F}(x)}</math> est au moins égale à <math>{\Lambda_d\mathrm{G}(x)}</math> ; en |
{{SA|puisque, presque partout sur <math>\mathrm{E}</math>, <math>{\Lambda_d\mathrm{F}(x)}</math> est au moins égale à <math>{\Lambda_d\mathrm{G}(x)}</math> ; en termes plus précis, on peut dire que les valeurs de <math>l</math> négatives fournissent des ensembles <math>\mathrm{E}_l</math> qui donnent dans <math>{\textstyle\sum l\varepsilon\,m(\mathrm{E}_l)}</math> une contribution au moins égale à celle qu’ils donnent dans l’intégrale précédente, tandis que les <math>l</math> positifs donnent des <math>{l\varepsilon}</math> au plus égaux à <math>k</math>, donc <math>{\int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}} \Lambda_d\mathrm{F}(x)\,\mathrm{d}x}</math> existe et est au moins égale à <math>{\int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}} \Lambda_d\mathrm{G}(x)\,\mathrm{d}x}</math>. Les deux intégrales sont, il est vrai, étendues à des intervalles différents, <math>{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}}</math> et <math>{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}_\mathrm{G}}</math>, mais qui diffèrent seulement par un ensemble de mesure nulle.}} |
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Si enfin on remarque que |
Si enfin on remarque que |
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G(b) - G(a) &= \mathrm{F}(b) - \mathrm{F}(a)\text{,} \\ |
G(b) - G(a) &= \mathrm{F}(b) - \mathrm{F}(a)\text{,} \\ |
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G(\beta) - G(\alpha) &= \mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)\text{,} \\ |
G(\beta) - G(\alpha) &= \mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)\text{,} \\ |
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\end{align}</math>| |
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{{SA|on a l’inégalité du texte}} |
{{SA|on a l’inégalité du texte}} |
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{{c|<math>\mathrm{F}(b) - \mathrm{F}(a) \leqq \int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}} \Lambda_d\mathrm{F}(x)\,\mathrm{d}x + {\textstyle\sum [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]}</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>\mathrm{F}(b) - \mathrm{F}(a) \leqq \int_{\mathrm{E} - \mathrm{E}^{in}} \Lambda_d\mathrm{F}(x)\,\mathrm{d}x + {\textstyle\sum \left[\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)\right]}</math>.|m=1em}} |
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Dans le cas où <math>\mathrm{E}^{in}</math> n’existe pas, couvrons tout <math>{(a, b)}</math>, à partir de <math>a</math>, à l’aide d’une chaîne d’intervalles choisis comme il suit<ref>Il est clair qu’on pourrait remplacer dans ce qui précède l’emploi des résultats empruntés au [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IX|Chapitre{{lié}}{{rom-maj|IX|9}}]] par leur démonstration à l’aide de chaînes d’intervalles ; on aurait ainsi, au prix de quelques longueurs, un exposé plus homogène.</ref>. |
Dans le cas où <math>\mathrm{E}^{in}</math> n’existe pas, couvrons tout <math>{(a, b)}</math>, à partir de <math>a</math>, à l’aide d’une chaîne d’intervalles choisis comme il suit<ref>Il est clair qu’on pourrait remplacer dans ce qui précède l’emploi des résultats empruntés au [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IX|Chapitre{{lié}}{{rom-maj|IX|9}}]] par leur démonstration à l’aide de chaînes d’intervalles ; on aurait ainsi, au prix de quelques longueurs, un exposé plus homogène.</ref>. |
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