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Si l’on veut maintenant que, dans tout intervalle, il y ait un ensemble non dénombrable de points de discontinuité, il suffira d’appliquer le principe de condensation des singularités. On pourra considérer, par exemple, la fonction |
Si l’on veut maintenant que, dans tout intervalle, il y ait un ensemble non dénombrable de points de discontinuité, il suffira d’appliquer le principe de condensation des singularités. On pourra considérer, par exemple, la fonction |
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{{c|<math>\varphi(x) = \frac{f(x)}{1} + \frac{f\big(\frac{x}{2}\big)}{2^2} + \frac{f\big(\frac{x}{3}\big)}{3^2} + \ldots</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>\varphi(x) = \frac{f(x)}{\scriptstyle 1} + \frac{f\big(\frac{x}{2}\big)}{\scriptstyle 2^2} + \frac{f\big(\frac{x}{3}\big)}{\scriptstyle 3^2} + \ldots</math>.|m=1em}} |
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{{SA|Ses seuls points de discontinuité sont, d’après les propriétés des séries uniformément convergentes, ceux ou certains de ceux des fonctions <math>f(x)</math>, <math>f\!\left(\frac{x}{2}\right)</math>, |
{{SA|Ses seuls points de discontinuité sont, d’après les propriétés des séries uniformément convergentes, ceux ou certains de ceux des fonctions <math>f(x)</math>, {{nobr|<math>f\!\left(\frac{x}{2}\right)</math>, … ;}} donc ils forment un ensemble de mesure nulle et <math>\varphi</math> est intégrable.}} |
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| Ligne 13 : | Ligne 13 : | ||
Le raisonnement qui précède est général, il permet de démontrer que : |
Le raisonnement qui précède est général, il permet de démontrer que : |
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{{p début|100|m= |
{{p début|100|m=1em}} |
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''Une série uniformément convergente de fonctions intégrables est une fonction intégrable.'' |
''Une série uniformément convergente de fonctions intégrables est une fonction intégrable.'' |
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{{p fin}} |
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