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sera le produit de $\mathrm {U}$ et de ${{\tfrac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-v_{\prime }^{2}}dv_{\prime }}$ que je représenterai par $\varepsilon$ et qui aura pour valeur

$\varepsilon ={\frac {1}{\pi {\sqrt {2\mu \,(r-\rho )}}}}e^{-v^{2}-v_{\prime }^{2}}dv_{\prime }$,

en mettant ${r-\rho }$ au lieu de ${p-q}$ dans l’expression de $\mathrm {U}$. Je fais

$v_{\prime }=\theta {\sqrt {\frac {r-r^{2}}{\rho -r^{2}}}}+v{\sqrt {\frac {r-\rho }{\rho -r^{2}}}}$,$dv_{\prime }={\sqrt {\frac {r-r^{2}}{\rho -r^{2}}}}d\theta$ ;

il en résulte

${\frac {m}{\mu }}=r+{\frac {\theta {\sqrt {2r-2r^{2}}}}{\sqrt {\mu }}}$ ;

d’où l’on tire

$r={\frac {m}{\mu }}-{\frac {\theta {\sqrt {2m(\mu -m)}}}{\mu {\sqrt {\mu }}}}$,

en négligeant les termes de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{\mu }}$. On aura, en même temps,

$\varepsilon ={\frac {\delta d\theta }{\pi }}{\sqrt {\frac {r-r^{2}}{\rho -r^{2}}}}\,e^{-{\frac {\left[v^{2}(r-r^{2})+2v\theta {\sqrt {(r-r^{2})(r-\rho )}}+\theta ^{2}(r-r^{2})\right]}{\rho -r^{2}}}}$,

en ayant égard à ce que $\delta$ représente. Mais l’expression de $r$ ne renfermant pas $v$, sa probabilité en est aussi indépendante ; elle est égale à la somme des valeurs de $\varepsilon$ correspondantes à toutes celles que l’on peut donner à $v$, et qui doivent croître par des différences égales à $\delta$, dont $v$ est un multiple ; à cause de la petitesse de $\delta$, on obtiendra une valeur approchée de cette somme en mettant $dv$ au lieu de $\delta$ dans $\varepsilon$, et remplaçant la somme par une intégrale : cette valeur sera exacte aux quantités près de l’ordre de $\delta$ ou de ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$. Quoique la variable $v$ doive être une très petite quantité par rapport à ${\sqrt {\mu }}$, on pourra, à raison de l’exponentielle contenue dans $\varepsilon$, étendre l’intégrale, sans en altérer sensiblement la valeur, depuis ${v=-\infty }$ jusqu’à ${v=\infty }$. Alors, si