« Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/295 » : différence entre les versions

Mais si <math>{\alpha(x)}</math> est seulement à variation bornée, la condition{{lié}}{{1o}} ne peut être conservée puisqu’elle n’est même plus vérifiée pour tous les intervalles. Nous la remplacerons par la suivante :

1′ ''La mesure d’un ensemble par rapport à une fonction non décroissante est positive ou nulle.''

''La mesure d’un ensemble par rapport à <math>{\alpha(x)}</math> est au plus égale en valeur absolue à la mesure du même ensemble par rapport à la variation totale <math>{v(x)}</math> de <math>{\alpha(x)}</math>.''

Si <math>\mathrm{E}_x</math> est un ensemble, enfermons-le dans des suites <math>\mathcal{E}_x^1</math>, <math>\mathcal{E}_x^2</math>,&nbsp;… d’ensembles d’intervalles ouverts tels que les sommes <math>{{\textstyle\sum}^1 \delta v}</math>, <math>{{\textstyle\sum}^2 \delta v}</math>,&nbsp;… correspondantes tendent vers la plus petite valeur possible. Soit <math>\mathcal{E}_x^{ij}</math> l’ensemble commun à <math>\mathcal{E}_x^i</math> et <math>\mathcal{E}_x^j</math> ; comme <math>\mathcal{E}_x^{ij}</math> enferme <math>\mathrm{E}_x</math> il fournit une somme <math>{{\textstyle\sum}^{ij} \delta v}</math> telle que <math>{{\textstyle\sum}^i \delta v - {\textstyle\sum}^{ij} \delta v}</math>, <math>{{\textstyle\sum}^j \delta v - {\textstyle\sum}^{ij} \delta v}</math> tendent vers zéro quand <math>i</math> et <math>j</math> augmentent indéfiniment tous deux. Or les trois ensembles <math>\mathcal{E}_x^i</math>, <math>\mathcal{E}_x^j</math>, <math>\mathcal{E}_x^{ij}</math> fournissent des sommes d’accroissements de <math>{\alpha(x)}</math> telles que l’on ait