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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
on définit la mesure extérieure de par la limite inférieure des sommes relatives aux ensembles d’intervalles enfermant . La mesure de diminuée de la mesure extérieure du complémentaire de donne la mesure intérieure de . On voit de suite que la première de ces mesures est au moins égale à la seconde ; ces deux mesures sont égales pour les ensembles mesurables par rapport à et seulement pour eux. Bref pour non décroissante, la théorie de la mesure par rapport à se construit identiquement comme celle de la mesure ordinaire, c’est-à-dire de la mesure pour .
Mais si est seulement à variation bornée, la condition 1o ne peut être conservée puisqu’elle n’est même plus vérifiée pour tous les intervalles. Nous la remplacerons par la suivante :
1′ La mesure d’un ensemble par rapport à une fonction non décroissante est positive ou nulle.
La mesure d’un ensemble par rapport à est au plus égale en valeur absolue à la mesure du même ensemble par rapport à la variation totale de .
Si est un ensemble, enfermons-le dans des suites , , … d’ensembles d’intervalles ouverts tels que les sommes , , … correspondantes tendent vers la plus petite valeur possible. Soit l’ensemble commun à et ; comme enferme il fournit une somme telle que , tendent vers zéro quand et augmentent indéfiniment tous deux. Or les trois ensembles , , fournissent des sommes d’accroissements de telles que l’on ait
Donc les nombres convergent quand augmente indéfiniment ; leur limite est ce qu’on appelle la mesure extérieure, par rapport à de . La mesure intérieure de est la mesure de diminuée de celle du complémentaire de .
Or supposons mesurable par rapport à et enfermons dans une suite d’ensembles d’intervalles — les ensembles , fournissant des sommes et — tels que les parties communes à et fournissent une somme tendant vers zéro quand croît. Alors la somme fournie par ces parties communes tend