« Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/263 » : différence entre les versions

{{SA|''ou''}}

{{c|<math>\begin{align}

\end{align}</math>|m=0.5em}}

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|style="width:3em; vertical-align:top;"|<p style="margin:0;">{{3o}}</p>

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Les deux fonctions <math>{\mathrm{F}_1(x)}</math> et <math>{\mathrm{F}_2(x)}</math>, construites quelques pages plus haut, montrent d’ailleurs que les cas{{lié}}{{2o}} et{{lié}}{{3o}} se présentent effectivement en des ensembles de points de mesures non nulles.

Deux cas sont à distinguer :

''a.'' Dans tout intervalle <math>{(l, m)}</math>, pour <math>{m(\mathrm{I})}</math> tendant vers zéro la plus grande limite de <math>{\mathcal{A}_{\mathrm{G}(x)}(\mathrm{I})}</math> est positive et la plus petite négative ;

''b.'' Ou bien il existe un intervalle <math>{(l, m)}</math> pour lequel l’une de ces limites est nulle.

''a.'' Dans ce cas, dans tout <math>{(l, m)}</math> on peut trouver des intervalles limités par des points <math>x_0</math> et <math>{x_0 + h}</math>, <math>{h > 0}</math>, de <math>\mathrm{E}</math> et pour lesquels <math>{r[\mathrm{F}(x), x_0, x_0+h]}</math> est aussi grand que l’on veut ou aussi petit que l’on veut. Car, par exemple, si ce rapport ne pouvait surpasser <math>k</math>, <math>{\mathcal{A}_{\mathrm{G}(x)}(\mathrm{I})}</math> serait au plus <math>{k\,m(\mathrm{I})}</math>.