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''si <math>f(x)</math> est sommable sur <math>\mathrm{E}</math>, on a'' |
''si <math>f(x)</math> est sommable sur <math>\mathrm{E}</math>, on a'' |
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{{c|<math>\mathrm{F}(b) - \mathrm{F}(a) = \int_\mathrm{E} f(x)\,\mathrm{d}x + \textstyle\sum [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>\mathrm{F}(b) - \mathrm{F}(a) = \int_\mathrm{E} f(x)\,\mathrm{d}x + \textstyle\sum [\mathrm{F}(\beta) - \mathrm{F}(\alpha)]</math>.|m=1em}} |
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Or, nous allons voir que, dès que la première des trois conditions de l’énoncé précédent<ref>J’ai indiqué cet énoncé dans ma Thèse en note de la {{lié|page 42}}. Il marque le point extrême que j’avais atteint dans la recherche des fonctions primitives.</ref> est remplie, il existe un intervalle partiel <math>i</math>, à l’intérieur duquel <math>\mathrm{E}</math> a des points, et dans lequel les deux autres conditions de l’énoncé sont aussi remplies. |
Or, nous allons voir que, dès que la première des trois conditions de l’énoncé précédent<ref>J’ai indiqué cet énoncé dans ma Thèse en note de la {{lié|page 42}}. Il marque le point extrême que j’avais atteint dans la recherche des fonctions primitives.</ref> est remplie, il existe un intervalle partiel <math>i</math>, à l’intérieur duquel <math>\mathrm{E}</math> a des points, et dans lequel les deux autres conditions de l’énoncé sont aussi remplies. |
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ou bien <math>\mathrm{E}</math> n’est pas parfait ; prenons un intervalle <math>i</math> contenant à son intérieur un seul point de <math>\mathrm{E}</math>, ce qui est possible puisque <math>\mathrm{E}</math> a des points isolés ; dans <math>i</math> les trois conditions de l’énoncé sont remplies ; |
ou bien <math>\mathrm{E}</math> n’est pas parfait ; prenons un intervalle <math>i</math> contenant à son intérieur un seul point de <math>\mathrm{E}</math>, ce qui est possible puisque <math>\mathrm{E}</math> a des points isolés ; dans <math>i</math> les trois conditions de l’énoncé sont remplies ; |
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ou bien <math>\mathrm{E}</math> est parfait. Nous avons appris, {{lié|page 175}}, à choisir une suite de valeurs <math>h_n</math> tendant vers zéro et telles que le rapport <math>{r[\mathrm{F}(x), x, x+h]}</math> ait, pour <math>h</math> compris entre <math>h_{n+1}</math> et <math>h_n</math>, une oscillation au plus égale à <math>\frac{1}{n}</math>. Considérons <math>f(x)</math> comme la limite des fonctions continues <math>{r[\mathrm{F}(x), x, x+h_k] = f_k}</math> ; nous savons qu’on peut déterminer un intervalle <math>i</math>, contenant des points de <math>\mathrm{E}</math>, et dans lequel <math>f</math> et les fonctions <math>f_{n+p}</math> sont, sur <math>\mathrm{E}</math>, égales et constantes à <math>4\varepsilon</math> près, pour toutes les valeurs positives de <math>p</math>, <math>n</math> ayant été convenablement choisi, {{lié|page 203}}. Je dis que cet intervalle <math>i</math> répond à la question. En effet, pour <math>x</math> situé dans <math>i</math> et sur <math>\mathrm{E}</math>, <math>{r[\mathrm{F}(x), x, x+h]}</math> est, pour <math>{h < h_n}</math>, différent de <math>\frac{1}{n}</math> au plus de l’une des <math>f_i</math> ; donc la valeur de <math>{r[\mathrm{F}(x), x, x+h]}</math> est constante à <math>{4\varepsilon + \frac{1}{n}}</math> près. Ainsi, sauf peut-être pour les intervalles contigus à <math>\mathrm{E}</math> qui sont de longueur supérieure à <math>h_n</math>, lesquels sont en nombre fini, tout intervalle <math>{(\alpha, \beta)}</math> contigu à <math>\mathrm{E}</math> et compris dans <math>i</math> donne pour <math>{r[\mathrm{F}(x), \alpha, \beta]}</math> une valeur constante à <math>{4\varepsilon + \frac{1}{n}}</math> près, on a donc, pour ''tout'' intervalle contigu à <math>\mathrm{E}</math> et compris dans <math>i</math>, |
ou bien <math>\mathrm{E}</math> est parfait. Nous avons appris, [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IX#accroissement-175|{{lié|page 175}}]], à choisir une suite de valeurs <math>h_n</math> tendant vers zéro et telles que le rapport <math>{r[\mathrm{F}(x), x, x+h]}</math> ait, pour <math>h</math> compris entre <math>h_{n+1}</math> et <math>h_n</math>, une oscillation au plus égale à <math>\frac{1}{n}</math>. Considérons <math>f(x)</math> comme la limite des fonctions continues <math>{r[\mathrm{F}(x), x, x+h_k] = f_k}</math> ; nous savons qu’on peut déterminer un intervalle <math>i</math>, contenant des points de <math>\mathrm{E}</math>, et dans lequel <math>f</math> et les fonctions <math>f_{n+p}</math> sont, sur <math>\mathrm{E}</math>, égales et constantes à <math>4\varepsilon</math> près, pour toutes les valeurs positives de <math>p</math>, <math>n</math> ayant été convenablement choisi, {{lié|page 203}}. Je dis que cet intervalle <math>i</math> répond à la question. En effet, pour <math>x</math> situé dans <math>i</math> et sur <math>\mathrm{E}</math>, <math>{r[\mathrm{F}(x), x, x+h]}</math> est, pour <math>{h < h_n}</math>, différent de <math>\frac{1}{n}</math> au plus de l’une des <math>f_i</math> ; donc la valeur de <math>{r[\mathrm{F}(x), x, x+h]}</math> est constante à <math>{4\varepsilon + \frac{1}{n}}</math> près. Ainsi, sauf peut-être pour les intervalles contigus à <math>\mathrm{E}</math> qui sont de longueur supérieure à <math>h_n</math>, lesquels sont en nombre fini, tout intervalle <math>{(\alpha, \beta)}</math> contigu à <math>\mathrm{E}</math> et compris dans <math>i</math> donne pour <math>{r[\mathrm{F}(x), \alpha, \beta]}</math> une valeur constante à <math>{4\varepsilon + \frac{1}{n}}</math> près, on a donc, pour ''tout'' intervalle contigu à <math>\mathrm{E}</math> et compris dans <math>i</math>, |
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{{c|<math>\left\vert r[\mathrm{F}(x), \alpha, \beta] \right\vert < \mathrm{M}</math>,|m=1em}} |
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