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LA TOTALISATION.

si $f(x)$ est sommable sur $\mathrm {E}$, on a

$\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)=\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x+\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]$.

Or, nous allons voir que, dès que la première des trois conditions de l’énoncé précédent^[1] est remplie, il existe un intervalle partiel $i$, à l’intérieur duquel $\mathrm {E}$ a des points, et dans lequel les deux autres conditions de l’énoncé sont aussi remplies.

Supposons, en effet, ${\mathrm {F} (x)}$ connue dans tout intervalle contigu à un ensemble fermé $\mathrm {E}$ ; alors :

ou bien $\mathrm {E}$ n’est pas parfait ; prenons un intervalle $i$ contenant à son intérieur un seul point de $\mathrm {E}$, ce qui est possible puisque $\mathrm {E}$ a des points isolés ; dans $i$ les trois conditions de l’énoncé sont remplies ;

ou bien $\mathrm {E}$ est parfait. Nous avons appris, page 175, à choisir une suite de valeurs $h_{n}$ tendant vers zéro et telles que le rapport ${r[\mathrm {F} (x),x,x+h]}$ ait, pour $h$ compris entre $h_{n+1}$ et $h_{n}$, une oscillation au plus égale à ${\frac {1}{n}}$. Considérons $f(x)$ comme la limite des fonctions continues ${r[\mathrm {F} (x),x,x+h_{k}]=f_{k}}$ ; nous savons qu’on peut déterminer un intervalle $i$, contenant des points de $\mathrm {E}$, et dans lequel $f$ et les fonctions $f_{n+p}$ sont, sur $\mathrm {E}$, égales et constantes à $4\varepsilon$ près, pour toutes les valeurs positives de $p$, $n$ ayant été convenablement choisi, page 203. Je dis que cet intervalle $i$ répond à la question. En effet, pour $x$ situé dans $i$ et sur $\mathrm {E}$, ${r[\mathrm {F} (x),x,x+h]}$ est, pour ${h<h_{n}}$, différent de ${\frac {1}{n}}$ au plus de l’une des $f_{i}$ ; donc la valeur de ${r[\mathrm {F} (x),x,x+h]}$ est constante à ${4\varepsilon +{\frac {1}{n}}}$ près. Ainsi, sauf peut-être pour les intervalles contigus à $\mathrm {E}$ qui sont de longueur supérieure à $h_{n}$, lesquels sont en nombre fini, tout intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ contigu à $\mathrm {E}$ et compris dans $i$ donne pour ${r[\mathrm {F} (x),\alpha ,\beta ]}$ une valeur constante à ${4\varepsilon +{\frac {1}{n}}}$ près, on a donc, pour tout intervalle contigu à $\mathrm {E}$ et compris dans $i$,

$\left\vert r\left[\mathrm {F} (x),\alpha ,\beta \right]\right\vert <\mathrm {M}$,

1. J’ai indiqué cet énoncé dans ma Thèse en note de la page 42. Il marque le point extrême que j’avais atteint dans la recherche des fonctions primitives.