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tout intervalle. Dans un intervalle quelconque <math>{(l, m)}</math>, en effet, pourvu que <math>n</math> soit assez grand, il y a plus de deux points de <math>\mathrm{E}_n</math>. Supposons qu’il y ait les trois points consécutifs <math>r</math>, <math>s</math>, <math>t</math> de <math>\mathrm{E}_n</math>, <math>f</math> étant égale à la somme <math>{s_n = f_1 + \frac{1}{2^2}f_2 + \ldots + \frac{1}{n^2} f_n}</math> pour ces trois points, <math>f</math> aura un maximum ou un minimum, au moins, entre <math>r</math> et <math>t</math>, suivant que <math>s</math> correspond à un maximum ou à un minimum. |
tout intervalle. Dans un intervalle quelconque <math>{(l, m)}</math>, en effet, pourvu que <math>n</math> soit assez grand, il y a plus de deux points de <math>\mathrm{E}_n</math>. Supposons qu’il y ait les trois points consécutifs <math>r</math>, <math>s</math>, <math>t</math> de <math>\mathrm{E}_n</math>, <math>f</math> étant égale à la somme <math>{s_n = f_1 + \frac{1}{2^2}f_2 + \ldots + \frac{1}{n^2} f_n}</math> pour ces trois points, <math>f</math> aura un maximum ou un minimum, au moins, entre <math>r</math> et <math>t</math>, suivant que <math>s</math> correspond à un maximum ou à un minimum. |
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La fonction <math>f</math> admet tous les maxima et minima de <math>s_n</math>, donc <math>f</math> est à variation non bornée dans tout intervalle si <math>{f_1 = a}</math>. Au contraire si <math>{f_1 = b}</math>, la variation totale de <math>s_n</math> étant finie et inférieure à <math>{\mathrm{V} \left( 1 + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{n^2} \right)}</math>, <math>f</math> est à variation bornée dans tout intervalle (voir {{pg|51}}). |
La fonction <math>f</math> admet tous les maxima et minima de <math>s_n</math>, donc <math>f</math> est à variation non bornée dans tout intervalle si <math>{f_1 = a}</math>. Au contraire si <math>{f_1 = b}</math>, la variation totale de <math>s_n</math> étant finie et inférieure à <math>{\mathrm{V} \left( 1 + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{n^2} \right)}</math>, <math>f</math> est à variation bornée dans tout intervalle (voir [[Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre IV#théorème-51|{{pg|51}}]]). |
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Occupons-nous maintenant des fonctions discontinues à variation bornée. |
Occupons-nous maintenant des fonctions discontinues à variation bornée. |
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