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CHAPITRE IV.

tout intervalle. Dans un intervalle quelconque ${(l,m)}$, en effet, pourvu que $n$ soit assez grand, il y a plus de deux points de $\mathrm {E} _{n}$. Supposons qu’il y ait les trois points consécutifs $r$, $s$, $t$ de $\mathrm {E} _{n}$, $f$ étant égale à la somme ${s_{n}=f_{1}+{\frac {1}{2^{2}}}f_{2}+\ldots +{\frac {1}{n^{2}}}f_{n}}$ pour ces trois points, $f$ aura un maximum ou un minimum, au moins, entre $r$ et $t$, suivant que $s$ correspond à un maximum ou à un minimum.

La fonction $f$ admet tous les maxima et minima de $s_{n}$, donc $f$ est à variation non bornée dans tout intervalle si ${f_{1}=a}$. Au contraire si ${f_{1}=b}$, la variation totale de $s_{n}$ étant finie et inférieure à ${\mathrm {V} \left(1+{\frac {1}{2^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$, $f$ est à variation bornée dans tout intervalle (voir p. 51).

Occupons-nous maintenant des fonctions discontinues à variation bornée.

Voici une propriété des points singuliers, qu’il était facile d’ailleurs de mettre directement en évidence, et qui résulte immédiatement de la construction de la fonction à variation bornée la plus générale à partir de deux fonctions croissantes : tous les points de discontinuité d’une fonction à variation bornée sont de première espèce.

Soit $x_{0}$ un point de discontinuité ; la quantité

$s_{g}(x_{0})=f(x_{0})-f(x_{0}-0)$

est le saut de la fonction à gauche de $x_{0}$ ;

$s_{d}(x_{0})=f(x_{0}+0)-f(x_{0})$

est le saut à droite de $x_{0}$ ; enfin

$s(x_{0})=f(x_{0}+0)-f(x_{0}-0)$

est le saut au point $x_{0}$.

Ceci posé, considérons la fonction des sauts de $f(x)$

$\varphi (x)=\sum _{a\leqq x_{i}<x}s_{d}(x_{i})+\sum _{a<x_{i}\leqq x}s_{g}(x_{i})$,

où chacune des séries contient tous les $x_{i}$ qui satisfont à l’inégalité placée au-dessous du signe $\textstyle \sum$ correspondant. On verra aisément que ces deux séries sont absolument convergentes et que, si l’on