« Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/315 » : différence entre les versions
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{{c|<math>\begin{align} |
{{c|<math>\begin{align} |
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&\mathrm{F}(x_{i+i}-0) - \mathrm{F}(x_i-0) \\ |
&\mathrm{F}(x_{i+i}-0) - \mathrm{F}(x_i-0) \\ |
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&\quad = f(x_i) \, m_{\alpha(x)}\![x_i \leqq x < x_{i+1} |
&\quad = f(x_i) \, m_{\alpha(x)}\![x_i \leqq x < x_{i+1}] + \theta_i\varepsilon[\mathrm{V}(x_{i+1}-0) - \mathrm{V}(x_i-0)]\text{,} |
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\end{align}</math>|m=1em}} |
\end{align}</math>|m=1em}} |
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{{SA|<math>{\mathrm{V}(x)}</math> désignant comme toujours la variation totale de <math>{\alpha(x)}</math> de <math>a</math> à <math>x</math>. D’où}} |
{{SA|<math>{\mathrm{V}(x)}</math> désignant comme toujours la variation totale de <math>{\alpha(x)}</math> de <math>a</math> à <math>x</math>. D’où}} |
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| Ligne 18 : | Ligne 18 : | ||
Reprenons la formule que nous venons de trouver |
Reprenons la formule que nous venons de trouver |
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{{c|<math>\mathrm{F}(b-0) - \mathrm{F}(a) = \lim_{\varepsilon \to 0}{\sum_{i=0} f(x_i) \, m_{\alpha(x)}\![x_i \leqq x < x_{i+1} |
{{c|<math>\mathrm{F}(b-0) - \mathrm{F}(a) = \lim_{\varepsilon \to 0}{\sum_{i=0} f(x_i) \, m_{\alpha(x)}\![x_i \leqq x < x_{i+1}]}</math>,|m=1em}} |
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{{SA|formule dans laquelle, pour simplifier, nous avons fait rentrer sous le signe <math>\textstyle\sum</math> la contribution de <math>{(a, x)}</math> malgré sa forme spéciale. Et précisons, comme {{lié|pages 176}} et suivantes, le choix des intervalles de la chaîne. Supposons pour cela <math>f(x)</math> sommable par rapport à <math>{\alpha(x)}</math> et soit <math>\mathrm{E}_l</math> l’ensemble <math>{\mathrm{E}[l\varepsilon \leqq f(x) (l+1)\varepsilon]}</math> ; enfermons <math>\mathrm{E}_l</math> dans un ensemble <math>\mathrm{A}_l</math> d’intervalles non empiétants dont la mesure, par rapport à <math>{\mathrm{V}(x)}</math>, ne surpasse celle de <math>\mathrm{E}_l</math> que de <math>\varepsilon_l</math> au plus ; les nombres <math>\varepsilon_l</math> étant choisis tels que les séries <math>{\textstyle\sum \varepsilon_l}</math> et <math>{\textstyle\sum |l|\varepsilon_l}</math> soient convergentes et de sommes <math>\eta</math> et <math>\zeta</math> très petites.}} |
{{SA|formule dans laquelle, pour simplifier, nous avons fait rentrer sous le signe <math>\textstyle\sum</math> la contribution de <math>{(a, x)}</math> malgré sa forme spéciale. Et précisons, comme {{lié|pages 176}} et suivantes, le choix des intervalles de la chaîne. Supposons pour cela <math>f(x)</math> sommable par rapport à <math>{\alpha(x)}</math> et soit <math>\mathrm{E}_l</math> l’ensemble <math>{\mathrm{E}[l\varepsilon \leqq f(x) (l+1)\varepsilon]}</math> ; enfermons <math>\mathrm{E}_l</math> dans un ensemble <math>\mathrm{A}_l</math> d’intervalles non empiétants dont la mesure, par rapport à <math>{\mathrm{V}(x)}</math>, ne surpasse celle de <math>\mathrm{E}_l</math> que de <math>\varepsilon_l</math> au plus ; les nombres <math>\varepsilon_l</math> étant choisis tels que les séries <math>{\textstyle\sum \varepsilon_l}</math> et <math>{\textstyle\sum |l|\varepsilon_l}</math> soient convergentes et de sommes <math>\eta</math> et <math>\zeta</math> très petites.}} |
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