299
L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.
et de manière analogue pour
. Alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {F} (x_{i+i}-0)-\mathrm {F} (x_{i}-0)\\&\quad =f(x_{i})\left[\alpha (x_{i+1}-0)-\alpha (x_{i}-0)\right]+\theta _{i}\varepsilon \left[\alpha (x_{i+1}-0)-\alpha (x_{i}-0)\right]{\text{,}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f767acd6c01bb9a92b223e65dcfd1383e59b01c4)
étant compris entre −1 et +1 ; ceci s’écrit encore
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {F} (x_{i+i}-0)-\mathrm {F} (x_{i}-0)\\&\quad =f(x_{i})\,m_{\alpha (x)}\![x_{i}\leqq x<x_{i+1}]+\theta _{i}\varepsilon \left[\mathrm {V} (x_{i+1}-0)-\mathrm {V} (x_{i}-0)\right]{\text{,}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323af188fb49bdeb0319f1d6bd43ddf8176973a1)
désignant comme toujours la variation totale de
de
à
. D’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(b-0)-f(a)&=f(a)\left[\alpha (x_{1}-0)-\alpha (a)\right]\\&\quad +\textstyle \sum f(x_{i})\left[\alpha (x_{i+1}-0)-\alpha (x_{i}-0)\right]+\theta \varepsilon \mathrm {V} {\text{.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364b6763d45d0fa2cf3141144d8388c541e7d9bf)
De cette formule et de celle analogue relative à
, on déduirait facilement que, toutes les fois que
a une intégrale de Stieltjès-Riemann,
est l’intégrale indéfinie de
prise par rapport à
. Contentons-nous d’en déduire que si
est identique à zéro,
est une constante, d’où il résulte que la fonction primitive, par rapport à une fonction donnée à variation bornée
, d’une fonction donnée
est déterminée à une constante additive près, puisque la différence de deux fonctions primitives de
a, par rapport à
, une dérivée identiquement nulle.
Reprenons la formule que nous venons de trouver
![{\displaystyle \mathrm {F} (b-0)-\mathrm {F} (a)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\sum _{i=0}f(x_{i})\,m_{\alpha (x)}\![x_{i}\leqq x<x_{i+1}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/137ed9318597b5fe6245caa014617ff28e2b96b3)
,
formule dans laquelle, pour simplifier, nous avons fait rentrer sous le signe
la contribution de
malgré sa forme spéciale. Et précisons, comme pages 176 et suivantes, le choix des intervalles de la chaîne. Supposons pour cela
sommable par rapport à
et soit
l’ensemble
; enfermons
dans un ensemble
d’intervalles non empiétants dont la mesure, par rapport à
, ne surpasse celle de
que de
au plus ; les nombres
étant choisis tels que les séries
et
soient convergentes et de sommes
et
très petites.
Assujettissons l’intervalle
dont l’origine
appartient