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Quand on fait décroître <math>\alpha</math>, l’ensemble linéaire <math>{\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)}</math> ne perd aucun point, de là on déduit que les mesures linéaires inférieure et supérieure <math>{m_{l,i}[\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)]}</math> et <math>{m_{l,e}[\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)]}</math> sont des fonctions non croissantes. De plus, <math>{\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)}</math> est l’ensemble des points qui appartiennent à tous les <math>{\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha - h)}</math> ; de là on déduit que <math>{m_{l,i}[\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)]}</math> et <math>{m_{l,e}[\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)]}</math> sont des fonctions de <math>\alpha</math> continues à gauche. Ceci posé, supposons que l’on ait |
Quand on fait décroître <math>\alpha</math>, l’ensemble linéaire <math>{\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)}</math> ne perd aucun point, de là on déduit que les mesures linéaires inférieure et supérieure <math>{m_{l,i}[\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)]}</math> et <math>{m_{l,e}[\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)]}</math> sont des fonctions non croissantes. De plus, <math>{\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)}</math> est l’ensemble des points qui appartiennent à tous les <math>{\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha - h)}</math> ; de là on déduit que <math>{m_{l,i}[\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)]}</math> et <math>{m_{l,e}[\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)]}</math> sont des fonctions de <math>\alpha</math> continues à gauche. Ceci posé, supposons que l’on ait |
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{{c|<math>{m_{l,e}[\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)]} > {m_{l,i}[\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)]} + \varepsilon</math>,|m=1em}} |
{{c|<math>{m_{l,e}[\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)]} > {m_{l,i}[\mathrm{E}(\varphi \geqq \alpha)]} + \varepsilon</math>,|m=1em}} |
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{{SA|alors il |
{{SA|alors il en sera encore de même dans tout un certain intervalle <math>{(\alpha-h, \alpha)}</math>. Considérons la partie <math>\mathrm{E}</math> de <math>\mathrm{E}_1(\varphi)</math> comprise entre <math>{y = \alpha - h}</math> et <math>{y = \alpha}</math>. Enfermons les points de <math>\mathrm{E}</math> dans des carrés <math>\mathrm{A}</math>, les points de <math>\mathrm{C(E)}</math> dans des carrés <math>\mathrm{B}</math> ; on peut supposer les <math>\mathrm{A}</math> et <math>\mathrm{B}</math> de côtés parallèles à <math>ox</math> et <math>oy</math>. Ils ont en commun des rectangles <math>\mathrm{C}</math> dont la somme des aires est au moins <math>{m_{s,e}(\mathrm{E}) - m_{s,i}(\mathrm{E})}</math> et en diffère aussi peu que l’on veut. La section des carrés <math>\mathrm{A}</math> par la droite <math>{y = \mathrm{K}}</math> est composée d’intervalles <math>a</math> qui enferment <math>{\mathrm{E}[\varphi(x) \geqq \mathrm{K}]}</math>, celle des carrés <math>\mathrm{B}</math> est composée d’intervalles <math>b</math> qui enferment <math>{\mathrm{C} \left\lbrace \mathrm{E}[\varphi(x) \geqq \mathrm{K}] \right\rbrace}</math>, celle des {{corr|retangles|rectangles}} <math>\mathrm{C}</math> est formée des parties <math>e</math> communes aux <math>a</math> et <math>b</math> ; on a donc}} |
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{{c|<math>{m_l(c) \geqq m_{l,e}\lbrace\mathrm{E}[\varphi(x) \geqq \mathrm{K}]\rbrace} - {m_{l,i}\lbrace\mathrm{E}[\varphi(x) \geqq \mathrm{K}]\rbrace}</math> ;|m=1em}} |
{{c|<math>{m_l(c) \geqq m_{l,e}\lbrace\mathrm{E}[\varphi(x) \geqq \mathrm{K}]\rbrace} - {m_{l,i}\lbrace\mathrm{E}[\varphi(x) \geqq \mathrm{K}]\rbrace}</math> ;|m=1em}} |
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{{SA|<math>m_l(c)</math> est donc supérieure à <math>\varepsilon</math> quand <math>\mathrm{K}</math> varie de <math>{\alpha - h}</math> à <math>\alpha</math>, et <math>{m_{s,e}(\mathrm{E}) - m_{s,i}(\mathrm{E})}</math> est au moins égale à <math>{\varepsilon h}</math>. <math>\mathrm{E}</math> et par suite <math>\mathrm{E}_1(\varphi)</math> n’est donc mesurable que si <math>\varphi</math> est mesurable.}} |
{{SA|<math>m_l(c)</math> est donc supérieure à <math>\varepsilon</math> quand <math>\mathrm{K}</math> varie de <math>{\alpha - h}</math> à <math>\alpha</math>, et <math>{m_{s,e}(\mathrm{E}) - m_{s,i}(\mathrm{E})}</math> est au moins égale à <math>{\varepsilon h}</math>. <math>\mathrm{E}</math> et par suite <math>\mathrm{E}_1(\varphi)</math> n’est donc mesurable que si <math>\varphi</math> est mesurable.}} |
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