« Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/254 » : différence entre les versions
Aucun résumé des modifications |
|||
| Contenu (par transclusion) : | Contenu (par transclusion) : | ||
| Ligne 18 : | Ligne 18 : | ||
À l’occasion de notre premier criterium nous avons vu comment, une totale indéfinie <math>{\mathrm{F}(x)}</math> étant donnée, on pourrait déterminer une fonction <math>f(x)</math> dont <math>{\mathrm{F}(x)}</math> soit la totale indéfinie. Nous avons fait cela à l’aide de certains ensembles <math>\mathrm{H}_1</math>, <math>\mathcal{H}_2</math>, …, définis par la considération des points de non absolue continuité de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> et de certaines fonctions <math>{\mathrm{G}(x)}</math> ; montrons que ces ensembles <math>\mathrm{H}</math> se définissent tout aussi bien à partir de toute fonction <math>{\varphi(x)}</math> qui admet <math>{\mathrm{F}(x)}</math> pour totale indéfinie. |
À l’occasion de notre premier criterium nous avons vu comment, une totale indéfinie <math>{\mathrm{F}(x)}</math> étant donnée, on pourrait déterminer une fonction <math>f(x)</math> dont <math>{\mathrm{F}(x)}</math> soit la totale indéfinie. Nous avons fait cela à l’aide de certains ensembles <math>\mathrm{H}_1</math>, <math>\mathcal{H}_2</math>, …, définis par la considération des points de non absolue continuité de <math>{\mathrm{F}(x)}</math> et de certaines fonctions <math>{\mathrm{G}(x)}</math> ; montrons que ces ensembles <math>\mathrm{H}</math> se définissent tout aussi bien à partir de toute fonction <math>{\varphi(x)}</math> qui admet <math>{\mathrm{F}(x)}</math> pour totale indéfinie. |
||
En effet, la première opération de la totalisation de <math>{\varphi(x)}</math> fait apparaître l’ensemble exceptionnel <math>\mathrm{E}_1</math> formé des points en lesquels <math>{\varphi(x)}</math> n’est pas sommable. Je dis que <math>\mathrm{ |
En effet, la première opération de la totalisation de <math>{\varphi(x)}</math> fait apparaître l’ensemble exceptionnel <math>\mathrm{E}_1</math> formé des points en lesquels <math>{\varphi(x)}</math> n’est pas sommable. Je dis que <math>\mathrm{E}_1</math> est identique à <math>\mathrm{H}_1</math>. Tout d’abord la totale indéfinie de <math>{\varphi(x)}</math> étant absolument continue en tout point n’appartenant pas à <math>\mathrm{E}_1</math>, <math>\mathrm{H}_1</math> est contenu dans <math>\mathrm{E}_1</math> ; s’il ne lui était pas identique, il existerait un intervalle <math>{(\alpha, \beta)}</math> contigu à <math>\mathrm{H}_1</math> et contenant plusieurs points de <math>\mathrm{E}_1</math> donc aussi un intervalle <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math> contigu à <math>\mathrm{E}_1</math>. Dans tout intervalle ''entièrement intérieur'' à <math>{(\alpha_1, \beta_1)}</math>, <math>{\varphi(x)}</math> est sommable, par hypothèse, et l’on a presque partout |
||
{{c|<math>\varphi(x) = \mathrm{F}'(x)</math>.|m=1em}} |
{{c|<math>\varphi(x) = \mathrm{F}'(x)</math>.|m=1em}} |
||