Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/254

238

CHAPITRE X.

les $\varepsilon _{k}$ étant des nombres tels que le produit ${\textstyle \prod (1-2\varepsilon _{k+1})}$ soit convergent et de valeur ${\frac {1}{2}}$.

Il est clair que l’ensemble ${\mathcal {E}}$ formé des points communs à la fois à tous ces $\mathrm {I} _{k}$ est parfait et de mesure nulle, que l’accroissement de ${\mathrm {F} (x)}$, c’est-à-dire de ${\mathrm {G} (x)}$, sur ${\mathcal {E}}$ est défini et que sa valeur est la limite de ${{\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}(\mathrm {I} _{k})}$. Or on a

${\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}(\mathrm {I} _{k})={\mathcal {A}}_{\mathrm {AC} (x)}(\mathrm {I} _{k})+{\mathcal {A}}_{\mathrm {P} _{s}(x)}(\mathrm {I} _{k})-{\mathcal {A}}_{\mathrm {N} _{s}(x)}(\mathrm {I} _{k})$,

et comme le premier de ces nombres tend vers zéro avec la mesure de $\mathrm {I} _{k}$, on a

${\begin{aligned}{\mathcal {A}}_{\mathrm {F} (x)}({\mathcal {E}})={\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}({\mathcal {E}})&=\lim {{\mathcal {A}}_{\mathrm {G} (x)}(\mathrm {I} _{k})}\\&\geqq {\textstyle \mathrm {P} _{s}(b)\prod (1-2\varepsilon _{k})}={\frac {\mathrm {P} _{s}(b)}{2}}>0{\text{.}}\end{aligned}}$

Ainsi l’accroissement de ${\mathrm {F} (x)}$ sur ${\mathcal {E}}$ n’est pas nul, et comme une conclusion analogue est exacte pour la partie de ${\mathcal {E}}$ contenue dans un intervalle quelconque qui contient des points de ${\mathcal {E}}$ à son intérieur, ${\mathrm {F} (x)}$ est non résoluble, le criterium de M. Denjoy est entièrement légitimé.

À l’occasion de notre premier criterium nous avons vu comment, une totale indéfinie ${\mathrm {F} (x)}$ étant donnée, on pourrait déterminer une fonction $f(x)$ dont ${\mathrm {F} (x)}$ soit la totale indéfinie. Nous avons fait cela à l’aide de certains ensembles $\mathrm {H} _{1}$, $\mathrm {H} _{2}$, …, définis par la considération des points de non absolue continuité de ${\mathrm {F} (x)}$ et de certaines fonctions ${\mathrm {G} (x)}$ ; montrons que ces ensembles $\mathrm {H}$ se définissent tout aussi bien à partir de toute fonction ${\varphi (x)}$ qui admet ${\mathrm {F} (x)}$ pour totale indéfinie.

En effet, la première opération de la totalisation de ${\varphi (x)}$ fait apparaître l’ensemble exceptionnel $\mathrm {E} _{1}$ formé des points en lesquels ${\varphi (x)}$ n’est pas sommable. Je dis que $\mathrm {E} _{1}$ est identique à $\mathrm {H} _{1}$. Tout d’abord la totale indéfinie de ${\varphi (x)}$ étant absolument continue en tout point n’appartenant pas à $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {H} _{1}$ est contenu dans $\mathrm {E} _{1}$ ; s’il ne lui était pas identique, il existerait un intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ contigu à $\mathrm {H} _{1}$ et contenant plusieurs points de $\mathrm {E} _{1}$ donc aussi un intervalle ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$ contigu à $\mathrm {E} _{1}$. Dans tout intervalle entièrement intérieur à ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$, ${\varphi (x)}$ est sommable, par hypothèse, et l’on a presque partout

$\varphi (x)=\mathrm {F} '(x)$.