Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XXVI

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 54-56).

XXVI.

La considération du triangle plan rectiligne, dont l.es côtés sont égaux à $a,\ b,\ c,$ est d’une grande utilité ; les angles de ce triangle, que nous désignerons par $\mathrm {A^{*},\ B^{*},\ C^{*}} ,$ différent des angles du triangle sur la surface courbe, savoir, de $\mathrm {A,\ B,\ C}$ de quantités du second ordre, et il sera essentiel de développer avec soin ces différences. Mais il suffira d’avoir posé les premières bases de ces calculs plus prolixes que difficiles.

En changeant dans les formules [1], [4], [5] les quantités qui se rapportent à $\mathrm {B}$ en celles qui se rapportent à $\mathrm {C} ,$ nous trouverons des formules pour $r'^{2},\ r'\cos \varphi ',r'\ \sin \varphi '.$ Alors le développement de l’expression

$r^{2}+r'^{2}-(q-q')^{2}-2r\cos \varphi .r'\cos \varphi '-2r\sin \varphi .r'\sin \varphi ',$

qui devient

$=\ b^{2}+c^{2}-a^{2}-2\ bc\ \cos \mathrm {A} \ =\ 2bc\ (\cos \mathrm {A} ^{*}-\cos \mathrm {A} ),$

combinée avec le développement de l’expression

$r\sin \varphi .r'\cos \varphi '-r\cos \varphi .r'\sin \varphi ',$

qui devient $=bc\sin \mathrm {A} ,$ donne la formule suivante :

${\begin{alignedat}{3}&&\cos \mathrm {A} ^{*}-\cos \mathrm {A} \\=&&-(q-q')p\sin \mathrm {A} \end{alignedat}}\left\{{\begin{alignedat}{3}&\left({\frac {1}{3}}f^{0}+{\frac {1}{6}}f'\right)p+{\frac {1}{4}}g^{0}(q+q')\\+&\left({\frac {1}{10}}f''-{\frac {1}{45}}f^{0}f^{0}\right)p^{2}+{\frac {1}{30}}g'p(q+q')\\+&\left({\frac {1}{5}}h^{0}+{\frac {1}{90}}f^{0}f^{0}\right)(q^{2}+qq'+q'^{2})+\dots \end{alignedat}}\right\}.$

De là vient aussi, jusqu’aux quantités du cinquième ordre,

$\mathrm {A} ^{*}-\mathrm {A} =-(q-q')p\left\{{\begin{alignedat}{3}&{\frac {1}{3}}f^{0}+{\frac {1}{6}}f'p+{\frac {1}{4}}g^{0}(q+q')+{\frac {1}{10}}f''p^{2}\\+&{\frac {3}{20}}g'p(q+q')+{\frac {1}{5}}h^{0}(q^{2}+qq'+q'^{2})\\-&{\frac {1}{90}}f^{0}f^{0}(7p^{2}+7q^{2}+12qq'+7q'^{2})\end{alignedat}}\right\}.$

En combinant cette formule avec celle-ci,

$2\sigma =ap\left[1-{\frac {1}{6}}f^{0}(p^{2}+q^{2}+qq'+q'^{2}-\dots )\right],$

et avec les valeurs des quantités $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ rapportées dans l’article précédent, nous obtenons jusqu’aux quantités du cinquième ordre,

[11]

$\mathrm {A} ^{*}=\mathrm {A} -\sigma \left\{{\begin{alignedat}{3}{\frac {1}{6}}\alpha &+{\frac {1}{12}}\beta +{\frac {1}{12}}\gamma +{\frac {2}{15}}f''p^{2}+{\frac {1}{5}}g'p(q+q')\\&+{\frac {1}{5}}h^{0}(3q^{2}-2qq'+3q'^{2})\\&-{\frac {1}{90}}f^{0}f^{0}(4p^{2}-11q^{2}+14qq'-11q'^{2})\end{alignedat}}\right\}.$

Par des opérations tout à fait semblables, nous trouvons

[12]

$\mathrm {B} ^{*}=\mathrm {B} -\sigma \left\{{\begin{alignedat}{3}{\frac {1}{12}}\alpha &+{\frac {1}{6}}\beta +{\frac {1}{12}}\gamma +{\frac {1}{10}}f''p^{2}+{\frac {1}{10}}g'p(2q+q')\\&+{\frac {1}{5}}h^{0}(4q^{2}-4qq'+3q'^{2})\\&-{\frac {1}{90}}f^{0}f^{0}(2p^{2}+8q^{2}-8qq'+11q'^{2})\end{alignedat}}\right\},$

[13]

$\mathrm {C} ^{*}=\mathrm {C} -\sigma \left\{{\begin{alignedat}{3}{\frac {1}{12}}\alpha &+{\frac {1}{12}}\beta +{\frac {1}{6}}\gamma +{\frac {1}{10}}f''p^{2}+{\frac {1}{10}}g'p(q+2q')\\&+{\frac {1}{5}}h^{0}(3q^{2}-4qq'+4q'^{2})\\&-{\frac {1}{90}}f^{0}f^{0}(2p^{2}+11q^{2}-8qq'+8q'^{2})\end{alignedat}}\right\}.$

De là nous déduisons en même temps, puisque la somme $\mathrm {A^{*}+B^{*}+C^{*}}$ est égale à deux droits, l’excès de la somme $\mathrm {A+B+C}$ sur deux angles droits, savoir :

[14]

$\mathrm {A+B+C} =\pi -\sigma \left\{{\begin{alignedat}{3}{\frac {1}{3}}\alpha &+{\frac {1}{3}}\beta +{\frac {1}{3}}\gamma +{\frac {1}{3}}f''p^{2}+{\frac {1}{2}}g'p(q+q')\\&+\left(2h^{0}-{\frac {1}{3}}f^{0}f^{0}\right)(q^{2}-qq'+q'^{2})\end{alignedat}}\right\}.$

Cette dernière formule pourrait aussi se déduire de la formule [6],