Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XXVII

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 57).

XXVII.

Si la surface courbe est une sphère dont le rayon égale 1, on aura

$\alpha =\beta =\gamma =-2f^{0}={\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}},\quad f''=0,\quad g'=0,\quad 6h^{0}-f^{0}f^{0}=0,$

ou

$h^{0}\ =\ {\frac {1}{24\mathrm {R} ^{4}}}.$

Par là, la formule [14] devient

$\mathrm {A+B+C} \ =\ \pi +{\frac {\sigma }{\mathrm {R} ^{2}}},$

et jouit d’une précision absolue ; mais les formules [11], [12], [13] donnent

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} ^{*}&=\mathrm {A} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}-{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}\left(2p^{2}-q^{2}+4qq'-q'^{2}\right),\\\mathrm {B} ^{*}&=\mathrm {B} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}+{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}\left(p^{2}-q^{2}+2qq'+q'^{2}\right),\\\mathrm {C} ^{*}&=\mathrm {C} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}+{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}\left(p^{2}+q^{2}+2qq'-2q'^{2}\right),\end{alignedat}}$

ou, avec la même exactitude,

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} ^{*}&=\mathrm {A} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}-{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}\left(b^{2}+c^{2}-2a^{2}\right),\\\mathrm {B} ^{*}&=\mathrm {B} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}+{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}\left(a^{2}+c^{2}-2b^{2}\right),\\\mathrm {C} ^{*}&=\mathrm {C} &&-{\frac {\sigma }{3\mathrm {R} ^{2}}}+{\frac {\sigma }{180\mathrm {R} ^{4}}}\left(a^{2}+b^{2}-2c^{2}\right).\end{alignedat}}$

En négligeant les quantités du quatrième ordre, on tire de là le théorème connu proposé, pour la première fois, par l’illustre Legendre.