Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XXV

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 52-54).

XXV.

Des formules de l’article précédent, qui se rapportent au triangle rectangle formé par des lignes de plus courte distance, passons à quelque chose de plus général. Soit sur la même ligne de plus courte distance $\mathrm {BD}$, un autre point $\mathrm {C}$ pour lequel $p$ ne change pas, et les lettres $q',\ x',$ $\varphi ',\ \psi ',\mathrm {S} '$ désignent pour le point $\mathrm {C}$ les mêmes choses que $q,\ r,\ \varphi ,\ \psi ,\ \mathrm {S}$ pour le point $\mathrm {B} .$ On forme ainsi, entre les points $\mathrm {A,\ B,\ C} ,$ un triangle dont nous désignons les angles par $\mathrm {A,\ B,\ C} ,$ les côtés opposés par $a,\ b,\ c,$ l’aire par $\sigma ;$ nous exprimerons la mesure de la courbure aux points $\mathrm {A,\ B,\ C}$ respectivement par $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma .$ Supposant donc (ce qui est permis) que les quantités $p,\ q,\ q-q'$ sont positives, nous avons

${\begin{alignedat}{4}\mathrm {A} =&\varphi -\varphi ',\quad &\mathrm {B} =&\psi ,\quad &\mathrm {C} =&\pi -\psi ',\\a=&q-q',&b=&r',&c=&r,&\sigma =&\mathrm {S-S'} .\end{alignedat}}$

Avant tout, exprimons l’aire $\sigma$ en série. En changeant dans la série [7] chacune des quantités relatives à $\mathrm {B}$ dans celles qui se rapportent à $\mathrm {C} ,$ il vient cette série pour $\mathrm {S'} ,$ développée jusqu’aux quantités du sixième ordre,

$\sigma ={\frac {1}{2}}p(q-q')\left\{{\begin{alignedat}{3}1&-{\frac {1}{6}}f^{0}\left(p^{2}+q^{2}+qq'+q'^{2}\right)\\&-{\frac {1}{60}}f'p\left(6p^{2}+7q^{2}+7qq'+7q'q'\right)\\&-{\frac {1}{20}}g^{0}(q+q')\left(3p^{2}+4q^{2}+4qq'+4q'^{2}\right)\end{alignedat}}\right\}.$

Cette formule, à l’aide de la série [2], savoir,

$c\sin \mathrm {B} =p\left(1-{\frac {1}{3}}f^{0}q^{2}-{\frac {1}{4}}f'pq^{2}-{\frac {1}{2}}g^{0}q^{3}-\dots \right),$

se change dans la suivante :

$\sigma ={\frac {1}{2}}ac\sin \mathrm {B} \left\{{\begin{aligned}1&-{\frac {1}{6}}f^{0}\left(p^{2}-q^{2}+qq'+q'^{2}\right)\\&-{\frac {1}{60}}f'p\left(6p^{2}-8q^{2}+7qq'+7q'^{2}\right)\\&-{\frac {1}{20}}g^{0}\left(3p^{2}q+3p^{2}q'-6q^{3}+4q^{2}q'+4qq'^{2}+4q'^{3}\right)\end{aligned}}\right\}.$

La mesure de la courbure pour un point quelconque de la surface devient, par l’art. XIX (où $m,\ p,\ q$ étaient ce que sont ici $n,\ q,\ p,$)

${\begin{alignedat}{3}-{\frac {1}{n}}.{\frac {d^{2}n}{dq^{2}}}&={\frac {2f+6gq+12hq^{2}+\dots }{1+fq^{2}+\dots }}\\&=-2f-6gq-(12h-2f^{2})q^{2}\dots \end{alignedat}}$

De là, quand $p,\ q$ se rapportent au point $\mathrm {B}$,

${\begin{alignedat}{3}\beta =-2f^{0}&-2f'p-6g^{0}q-2f''p^{2}-6g'pq\\&-(12h^{0}-2f^{0}f^{0})q^{2}-\dots \end{alignedat}}$

et aussi

${\begin{aligned}\gamma =-2f^{0}&-2f'p-6g^{0}q'-2f''p^{2}-6g'pq'\\&-(12h^{0}-2f^{0}f^{0})q'^{2}-\dots \\\alpha =-2f^{0}\end{aligned}}$

En introduisant ces mesures de courbure dans la série pour $\sigma ,$ nous obtenons l’expression suivante, exacte jusqu’aux quantités du sixième ordre (exclusivement),

$\sigma ={\frac {1}{5}}ac\sin \mathrm {B} \left\{{\begin{aligned}1&-{\frac {1}{120}}\alpha \left(4p^{2}-2q^{2}+3qq'+3q'^{2}\right)\\&+{\frac {1}{120}}\beta \left(3p^{2}-6q^{2}+6qq'+6q'^{2}\right)\\&-{\frac {1}{120}}\gamma \left(3p^{2}-2q^{2}+qq'^{2}+4q'^{2}\right)\end{aligned}}\right\}.$

La précision restera la même, si pour $p,\ q,\ q'$ nous substituons $c\sin \mathrm {B} ,\ c\cos \mathrm {B} ,\ c\cos \mathrm {B} -a\ ;$ cela fait, il vient

[8]

$\sigma ={\frac {1}{2}}ac\sin \mathrm {B} \left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {1}{120}}\ \alpha \ \left(3a^{2}+4c^{2}-9ac\cos \mathrm {B} \right)\\&+{\frac {1}{120}}\ \beta \ \left(3a^{2}+3c^{2}-12ac\cos \mathrm {B} \right)\\&+{\frac {1}{120}}\ \gamma \ \left(4a^{2}+3c^{2}-9ac\cos \mathrm {B} \right)\end{aligned}}\right\}.$

Comme tout ce qui se rapporte à la ligne $\mathrm {AD}$ menée normalement à $\mathrm {BC}$ a disparu de cette équation, on pourra permuter aussi entre eux les points $\mathrm {A,\ B,\ C}$ avec leurs corrélatifs ; c’est pourquoi on aura, avec la même précision,

[9]

$\sigma ={\frac {1}{2}}bc\sin \mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {1}{120}}\ \alpha \ \left(3b^{2}+3c^{2}-12bc\cos \mathrm {A} \right)\\&+{\frac {1}{120}}\ \beta \ \left(3b^{2}+4c^{2}-9bc\cos \mathrm {A} \right)\\&+{\frac {1}{120}}\ \gamma \ \left(4b^{2}+3c^{2}-9bc\cos \mathrm {A} \right)\end{aligned}}\right\},$

[10]

$\sigma ={\frac {1}{2}}ab\sin \mathrm {C} \left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {1}{120}}\ \alpha \ \left(3a^{2}+4b^{2}-9ac\cos \mathrm {C} \right)\\&+{\frac {1}{120}}\ \beta \ \left(4a^{2}+3b^{2}-9ab\cos \mathrm {C} \right)\\&+{\frac {1}{120}}\ \gamma \ \left(3a^{2}+3b^{2}-12ab\cos \mathrm {C} \right)\end{aligned}}\right\}.$