Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XXV

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XXV.


Des formules de l’article précédent, qui se rapportent au triangle rectangle formé par des lignes de plus courte distance, passons à quelque chose de plus général. Soit sur la même ligne de plus courte distance , un autre point pour lequel ne change pas, et les lettres désignent pour le point les mêmes choses que pour le point On forme ainsi, entre les points un triangle dont nous désignons les angles par les côtés opposés par l’aire par nous exprimerons la mesure de la courbure aux points respectivement par Supposant donc (ce qui est permis) que les quantités sont positives, nous avons

Avant tout, exprimons l’aire en série. En changeant dans la série [7] chacune des quantités relatives à dans celles qui se rapportent à il vient cette série pour développée jusqu’aux quantités du sixième ordre,



Cette formule, à l’aide de la série [2], savoir,


se change dans la suivante :

La mesure de la courbure pour un point quelconque de la surface devient, par l’art. XIX (où étaient ce que sont ici )

De là, quand se rapportent au point ,

et aussi

En introduisant ces mesures de courbure dans la série pour nous obtenons l’expression suivante, exacte jusqu’aux quantités du sixième ordre (exclusivement),

La précision restera la même, si pour nous substituons cela fait, il vient

[8]


Comme tout ce qui se rapporte à la ligne menée normalement à a disparu de cette équation, on pourra permuter aussi entre eux les points avec leurs corrélatifs ; c’est pourquoi on aura, avec la même précision,

[9]
[10]