Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XXIV

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 48-51).

XXIV.

Les équations de l’art. XXII donnent, dans le cas dont nous nous occupons,

$n\sin \psi ={\frac {dr}{dp}},\quad \cos \psi ={\frac {dr}{dq}},\quad -n\cos \psi =m.{\frac {d\varphi }{dp}},\quad \sin \psi =m.{\frac {d\varphi }{dq}},$

$n^{2}=n^{2}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dp}}\right)^{2},\qquad n^{2}.{\frac {dr}{dq}}.{\frac {d\varphi }{ds}}+{\frac {dr}{dp}}.{\frac {d\varphi }{dp}}=0.$

À l’aide de ces équations, dont la cinquième et la sixième sont déjà comprises dans les autres, on pourra développer les séries pour $r,\ \varphi ,\ \psi ,\ m,$ ou pour des fonctions quelconques de ces quantités ; nous allons traiter ici celles qui sont les plus dignes d’attention.

Comme, pour des valeurs infiniment petites de $p,\ q,$ on doit avoir $r^{2}=p^{2}+q^{2}$ la série pour $r^{2}$ commencera par les termes $p^{2}+q^{2};$ nous obtiendrons les termes d’un ordre plus élevé par la méthode des coefficients indéterminés^[1], à l’aide de l’équation

$\left({\frac {1}{n}}.{\frac {d.r^{2}}{dp}}\right)^{2}+\left({\frac {d.r^{2}}{dq}}\right)=4r^{2},$

savoir :

[1] $\quad r^{2}=p^{2}+{\frac {3}{2}}f^{0}p^{2}q^{2}+{\frac {1}{2}}f'p^{3}q^{2}+\left({\frac {2}{5}}f''-{\frac {4}{45}}f'''\right)p^{4}q^{2}+{\text{ etc.}}$

$\qquad +\ q^{2}+{\frac {1}{2}}g^{0}p^{2}q^{3}+{\frac {2}{5}}g'p^{3}q^{3}$

$+\left({\frac {2}{5}}h^{0}-{\frac {7}{45}}f^{0}f'\right)p^{2}q^{4}.$

Nous avons ensuite, au moyen de la formule $r\sin \psi ={\frac {1}{2n}}.{\frac {d.r^{2}}{dp}},$

[2]

$\left\{{\begin{alignedat}{3}r\sin \psi =p-{\frac {1}{3}}f^{0}pq^{2}&-{\frac {1}{4}}f'p^{2}q^{2}&&-\left({\frac {1}{5}}f''+{\frac {8}{45}}f^{0}f^{0}\right)p^{3}q^{2}+\dots \\&-{\frac {1}{2}}g^{0}pq^{3}&&-{\frac {2}{5}}g'p^{2}q^{3}\\&&&-\left({\frac {3}{5}}h^{0}-{\frac {8}{45}}f^{0}f^{0}\right)pq^{4},\end{alignedat}}\right.$

et, par la formule $r\cos \psi ={\frac {1}{2}}.{\frac {d.r^{2}}{dq}},$

[3]

$\left\{{\begin{alignedat}{3}r\cos \psi =q+{\frac {2}{3}}f^{0}p^{2}q&+{\frac {1}{2}}f'p^{3}q&&+\left({\frac {2}{5}}f''-{\frac {4}{45}}f^{0}f^{0}\right)p^{4}q+\dots \\&+{\frac {3}{4}}g^{0}p^{2}q^{2}&&+{\frac {3}{5}}g'p^{3}q^{2}\\&&&+\left({\frac {4}{5}}h^{0}-{\frac {14}{45}}f^{0}f^{0}\right)p^{2}q^{3}.\end{alignedat}}\right.$

L’une et l’autre formule font connaître l’angle $\psi .$ Ensuite, quant au calcul de l’angle $\varphi ,$ les séries pour $r\cos \varphi ,\ r\sin \varphi$ se développent très-élégamment au moyen des équations aux différentielles partielles,

${\begin{alignedat}{5}{\frac {d.r\cos \varphi }{dp}}&\ =\ &n\ \cos \varphi .\sin \psi &\ -\ r\sin \varphi .{\frac {d\varphi }{dp}},\\{\frac {d.r\cos \varphi }{dq}}&\ =\ &\ \ \cos \varphi .\cos \psi &\ -\ r\sin \varphi .{\frac {d\varphi }{dq}},\\{\frac {d.r\sin \varphi }{dp}}&\ =\ &\ n\ \sin \varphi .\sin \psi &\ +\ r\cos \varphi .{\frac {d\varphi }{dp}},\\{\frac {d.r\sin \varphi }{dp}}&\ =\ &\ \ \sin \varphi .\cos \psi &\ +\ r\cos \varphi .{\frac {d\varphi }{dq}},\end{alignedat}}$

$n\ \cos \psi .{\frac {d\varphi }{dq}}\ +\ \sin \psi .{\frac {d\varphi }{dp}}\ =\ 0,$

dont la combinaison donne

${\begin{alignedat}{5}{\frac {r\sin \psi }{n}}.{\frac {d.r\cos \varphi }{dp}}&\ +\ r\cos \psi .{\frac {d.r\cos \varphi }{dq}}&\ =\ r\cos \varphi ,\\{\frac {r\sin \psi }{n}}.{\frac {d.r\sin \varphi }{dp}}&\ +\ r\cos \psi .{\frac {d.r\sin \varphi }{dq}}&\ =\ r\sin \varphi ,\end{alignedat}}$

On tire de là facilement, pour calculer $r\cos \varphi ,\ r\sin \varphi ,$ des séries dont les premiers termes doivent être évidemment $p$ et $q$, savoir :

[4]

$\left\{{\begin{alignedat}{3}r\cos \varphi =p+{\frac {2}{3}}f^{0}pq^{2}&+{\frac {5}{12}}f'p^{2}q^{2}&&+\left({\frac {3}{10}}f''-{\frac {8}{45}}f^{0}f^{0}\right)p^{3}q^{2}+\dots \\&+{\frac {1}{2}}g^{0}pq^{3}&&+{\frac {7}{20}}g'p^{3}q^{2}\\&&&+\left({\frac {2}{5}}h^{0}-{\frac {7}{45}}f^{0}f^{0}\right)pq^{4},\end{alignedat}}\right.$

[5]

$\left\{{\begin{alignedat}{3}r\sin \varphi =q-{\frac {1}{3}}f^{0}p^{2}q&-{\frac {1}{6}}f'p^{3}q&&-\left({\frac {1}{10}}f''-{\frac {7}{90}}f^{0}f^{0}\right)p^{4}q+\dots \\&-{\frac {1}{2}}g^{0}pq^{3}&&-{\frac {2}{5}}g'p^{2}q^{3}\\&&&-\left({\frac {1}{5}}h^{0}+{\frac {14}{90}}f^{0}f^{0}\right)p^{2}q^{3}.\end{alignedat}}\right.$

En combinant les équations [2], [3], [4], [5], on peut obtenir une série pour calculer $r^{2}\cos \left(\psi +\varphi \right)\ ;$ divisant cette série par la série [1] qui donne $r^{2},$ on aura $\cos \left(\psi +\varphi \right),$ et, par conséquent, aussi $\psi +\varphi$ développé en série. On peut cependant obtenir cette même série plus élégamment de la manière suivante. En différentiant la première et la seconde des équations qui sont rapportées au commencement de cet article, nous obtenons

$\sin \psi .{\frac {dn}{dq}}\ +\ n\cos \psi .{\frac {d\psi }{dq}}\ +\ \sin \psi .{\frac {d\psi }{dp}}\ =\ 0\ ;$

combinant cette équation avec celle-ci,

$n\cos \psi .{\frac {d\varphi }{dq}}\ +\ \sin \psi .{\frac {d\varphi }{dp}}\ =\ 0\ ;$

il vient

${\frac {r\sin \psi }{n}}.{\frac {dn}{dq}}\ +\ {\frac {r\sin \psi }{n}}.{\frac {d(\psi \ +\ \varphi )}{dp}}\ +\ r\cos \psi .{\frac {\psi +\varphi }{dq}}\ =\ 0.$

De cette équation, à l’aide de la méthode des coefficients indéterminés, nous tirerons facilement la série suivante pour $\psi +\varphi ,$ si nous faisons attention que son premier terme doit être ${\tfrac {1}{2}}\pi ,$ le rayon étant pris pour unité, et $2\pi$ désignant la circonférence du cercle,

[6]

$\left\{{\begin{alignedat}{3}\psi +\varphi ={\frac {1}{2}}\pi -f^{0}pq&-{\frac {2}{3}}f'p^{2}q&&-\left({\frac {1}{2}}f''-{\frac {1}{6}}f^{0}f^{0}\right)p^{2}q-\dots \\&-g^{0}pq^{2}&&-{\frac {3}{4}}g'p^{2}q^{2}\\&&&-\left(h^{0}-{\frac {1}{3}}f^{0}f^{0}\right)pq^{3}.\end{alignedat}}\right.$

Il nous paraît utile de développer aussi en série l’aire du triangle $\mathrm {ABD}$. Nous nous servirons, pour ce développement, de l’équation de condition suivante, qui dérive facilement de considérations géométriques assez naturelles, et dans laquelle $\mathrm {S}$ désigne l’aire cherchée,

${\frac {r\sin \psi }{n}}.{\frac {d\mathrm {S} }{dp}}\ +\ r\cos \psi .{\frac {d\mathrm {S} }{dq}}\ =\ {\frac {r\sin \psi }{n}}\int ndq,$

l’intégration commençant à $q=0.$ De là, en effet, nous obtenons, par la méthode des coefficients indéterminés,

[7]

$\left\{{\begin{alignedat}{3}\mathrm {S} ={\frac {1}{2}}pq&-{\frac {1}{12}}f^{0}p^{3}q&&-{\frac {1}{20}}f'p^{4}q&&-\left({\frac {1}{30}}f''-{\frac {1}{60}}f^{0}f^{0}\right)p^{5}q-\dots \\&-{\frac {1}{12}}f^{0}pq^{3}&&-{\frac {3}{40}}g^{0}p^{3}q^{2}&&-{\frac {1}{20}}g'p^{4}q^{2}\\&&&-{\frac {7}{120}}f'p^{2}q^{3}&&-\left({\frac {1}{15}}h^{0}+{\frac {2}{45}}f''+{\frac {1}{60}}f^{0}f^{0}\right)p^{3}q^{3}\\&&&-{\frac {1}{10}}g^{0}pq^{4}&&-{\frac {3}{40}}g'p^{2}q^{4}\\&&&&&-\left({\frac {1}{10}}h^{0}-{\frac {1}{30}}f^{0}f^{0}\right)pq^{5}.\end{alignedat}}\right.$

1. Nous avons jugé superflu d’écrire ici le calcul, qui peut être un peu abrégé par quelques artifices.