XXIII.
Nous considérerons le cas où toutes les lignes pour lesquelles
est constant sont des lignes de plus courte lance, coupant orthogonalement la ligne pour laquelle
et que nous pourrons regarder comme ligne des abscisses. Soient 
le point pour lequel 
un point quelconque sur la ligne des abscisses, 
un point quelconque sur la ligne de plus courte distance normale à 
en , et 
de façon qu’on puisse considérer comme l’abscisse, 
comme l’ordonnée du point 
nous prenons les abscisses positives sur la branche de la ligne des abscisses à laquelle répond 
tandis que nous regardons 
toujours comme une quantité positive ; nous prenons les ordonnées positives dans la région où 
est compris entre 
et 180 degrés.
Par le théorème de l’art. XVI, nous aurons 
et 
nous poserons de plus 
sera ainsi fonction de et 
et telle que pour 
elle doit être égale à 
L’application à notre cas de la formule rapportée dans l’art. XVIII montre que, dans une ligne quelconque de plus courte distance, on doit avoir 
désignant l’angle compris entre l’élément de cette ligne et l’élément de la ligne pour laquelle est constant. Comme déjà la ligne des abscisses est une
ligne de plus courte distance, et que, pour elle, partout
, on voit que, pour 
on doit avoir partout
. De là donc nous concluons que, si 
est développée
en série suivant les puissances croissantes de elle
doit avoir la forme suivante :
où 
seront fonctions de 
et nous poserons
ou
