Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XVII
(p. 34-35).
XVII.
Revenons à la formule qui exprime généralement la grandeur de l’élément linéaire sur une surface courbe, et, avant tout, examinons la signification géométrique des coefficients Déjà, dans l’art. V, nous avons averti qu’on peut concevoir, sur la surface courbe, deux systèmes de lignes : l’un, pour lequel seul est variable, constant ; l’autre, dans lequel seul est variable, constant. Un point quelconque de la surface peut donc être considéré comme l’intersection d’une ligne du premier système avec une ligne du second ; et alors l’élément de la première ligne adjacente à ce point, et répondant à la variation sera égal à et l’élément de la seconde ligne répondant à la variation sera égal à enfin, en désignant par l’angle compris entre ces éléments, on voit facilement que Et l’aire de l’élément du parallélogramme compris sur la surface courbe entre deux lignes du premier système, auxquelles répondent et deux lignes du second système, auxquelles répondent sera
Une ligne quelconque sur la surface courbe, n’appartenant à aucun de ces systèmes, prend naissance quand et sont regardés comme fonctions d’une variable nouvelle, ou l’une comme fonction de l’autre. Soit la longueur d’une telle courbe comptée d’une origine arbitraire, et vers une direction quelconque regardée comme positive. Désignons par l’angle fait par l’élément avec une ligne du premier système menée par l’origine de l’élément, et, pour ne laisser aucune ambiguïté, nous supposerons que cet angle part toujours de cette branche de la ligne pour laquelle les valeurs de augmentent, et qu’on le prend positivement du côté vers lequel les valeurs de augmentent. Cela ainsi compris, on voit facilement qu’on a
