Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XVI
(p. 34).
XVI.
Au théorème de l’article précédent, nous associons un autre théorème, que nous énonçons ainsi : Si, sur une surface courbe, on conçoit une ligne quelconque, de chacun des points de laquelle partent, sous des angles droits et vers la même région, une quantité innombrable de lignes de plus courte distance de même longueur, la courbe qui joindra leurs autres extrémités, les coupera toutes sous des angles droits. Pour le démontrer, on n’a rien à changer à l’analyse précédente, si ce n’est que doit désigner la longueur de la courbe donnée comptée d’un point arbitraire, ou, si l’on aime mieux, une fonction de cette longueur. Ainsi, tous les raisonnements auront également lieu, avec cette modification, que la vérité de l’équation pour est maintenant comprise dans l’hypothèse même. Du reste, cet autre théorème est plus général que le précédent, qu’il peut aussi être censé comprendre, si pour ligne donnée nous adoptons un cercle infiniment petit décrit autour de comme centre. Enfin, nous avertissons qu’ici encore des considérations géométriques peuvent tenir lieu de l’analyse. Comme elles se présentent assez naturellement, nous ne nous y arrêterons pas.
