XVIII.
Nous chercherons maintenant quelle est la condition pour que cette ligne soit la plus courte. Puisque la longueur de 
est exprimée par l’intégrale
la condition du minimum exige que la variation de cette intégrale, venant d’un changement infiniment petit dans la situation de cette ligne, devienne zéro. Le calcul, pour cette recherche, se fait plus commodément dans ce cas, si nous considérons 
comme fonction de 
Cela fait, si la variation est désignée par la caractéristique 
, nous avons
et l’on sait que l’expression sous le signe intégral doit s’évanouir indépendamment de 
On a ainsi
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De là nous tirons, pour la ligue la plus courte, l’équation de condition suivante :
qu’on peut aussi écrire ainsi :
Du reste, à l’aide de l’équation
on peut éliminer, de la précédente équation, l’angle 
et développer ainsi l’équation différentielle du second ordre entre et 
qui se trouverait cependant plus compliquée et moins utile pour les applications que la précédente.
