XI.
À l’aide de la formule que nous venons de trouver, nous
en établirons une autre, qui doit être rangée parmi les
théorèmes les plus féconds dans la doctrine des surfaces
courbes. Introduisons les notations suivantes :
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(4) |
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(5) |
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(6) |
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(7) |
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(8) |
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(9) |
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Éliminons des équations (1), (4), (7) les quantités
ce que nous ferons en les multipliant par ,
et les ajoutant, il viendra
équation que nous transformons facilement en celle-ci,
De la même manière, l’élimination des quantités ou
des mêmes équations, donne
En multipliant ces trois équations par et les
ajoutant, on obtient
(10)
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Si nous traitons de la même manière les équations (2), (5), (8), il vient
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ces équations étant multipliées par leur addition donne
La combinaison de cette equation avec l’équation (10)
donne
Il est évident qu’on a
ou
D’ailleurs on peut facilement s’assurer qu’on a
Si nous substituons ces diverses expressions dans la formule que nous avons trouvée à la fin de l’article précédent pour la mesure de la courbure, nous parvenons à la formule suivante, qui ne contient que les seules quantités et leurs quotients différentiels du premier et du second ordre,