Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XI

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 24-26).

XI.

À l’aide de la formule que nous venons de trouver, nous en établirons une autre, qui doit être rangée parmi les théorèmes les plus féconds dans la doctrine des surfaces courbes. Introduisons les notations suivantes :

$a^{2}$	$+\ b^{2}$	$+\ c^{2}$	$=\ \mathrm {E} ,$
$aa'$	$+\ bb'$	$+\ cc'$	$=\ \mathrm {F} ,$
$a'^{2}$	$+\ b'^{2}$	$+\ c'^{2}$	$=\ \mathrm {G} ,$

(4)	$a\alpha$	$+\ b\beta$	$+\ c\gamma$	$=m,$
(5)	$a\alpha '$	$+\ b\beta '$	$+\ c\gamma '$	$=m',$
(6)	$a\alpha ''$	$+\ b\beta ''$	$+\ c\gamma ''$	$=m'',$
(7)	$a'\alpha$	$+\ b'\beta$	$+\ c'\gamma$	$=n,$
(8)	$a'\alpha '$	$+\ b'\beta '$	$+\ c'\gamma '$	$=n',$
(9)	$a'\alpha ''$	$+\ b'\beta ''$	$+\ c'\gamma ''$	$=n'',$

$\mathrm {A^{2}\ +\ B^{2}\ +\ C^{2}\ =\ EG\ -\ F^{2}} \ =\ \Delta .$

Éliminons des équations (1), (4), (7) les quantités $\beta ,\ \gamma ,$ ce que nous ferons en les multipliant par $bc'-cb'$, $b'\mathrm {C} -c'\mathrm {B} ,$ $c\mathrm {B'} -b\mathrm {C} \ ;$ et les ajoutant, il viendra

$\qquad \left[A(bc'-cb')+a(b'\mathrm {C} -c'\mathrm {B} )+a'(c\mathrm {B} -b\mathrm {C} )\right]\alpha$

$=\mathrm {D} (bc'-cb')+m(b'\mathrm {C} -c'\mathrm {B} )+n(c\mathrm {B} -b\mathrm {C} ),$

équation que nous transformons facilement en celle-ci,

$\mathrm {AD} \ =\ \alpha \Delta \ +\ a(n\mathrm {F} \ -\ m\mathrm {G} )\ +\ \ a'(m\mathrm {F} \ -\ n\mathrm {E} ).$

De la même manière, l’élimination des quantités $\alpha ,\ \gamma$ ou $\alpha ,\ \beta ,$ des mêmes équations, donne

$\mathrm {BD} \ =\ \beta \Delta \ +\ b(n\mathrm {F} \ -\ m\mathrm {G} )\ +\ \ b'(m\mathrm {F} \ -\ n\mathrm {E} ),$

$\mathrm {CD} \ =\ \gamma \Delta \ +\ c(n\mathrm {F} \ -\ m\mathrm {G} )\ +\ \ c'(m\mathrm {F} \ -\ n\mathrm {E} ).$

En multipliant ces trois équations par $\alpha '',\ \beta '',\ \gamma '',$ et les ajoutant, on obtient

(10)	$\mathrm {DD''} =(\alpha \alpha ''+\beta \beta ''+\gamma \gamma '')\Delta +m''(n\mathrm {F} -m\mathrm {G} )+n''(m\mathrm {F} -n\mathrm {E} ).$

Si nous traitons de la même manière les équations (2), (5), (8), il vient

$\mathrm {AD'}$	$=$	$\alpha '\Delta$	$+a(n'\mathrm {F} -m'\mathrm {G} )+a'(m'\mathrm {F} -n'\mathrm {E} ),$
$\mathrm {BD'}$	$=$	$\beta '\Delta$	$+b(n'\mathrm {F} -m'\mathrm {G} )+b'(m'\mathrm {F} -n'\mathrm {E} ),$
$\mathrm {CD'}$	$=$	$\gamma '\Delta$	$+c(n'\mathrm {F} -m'\mathrm {G} )+c'(m'\mathrm {F} -n'\mathrm {E} )\ ;$

ces équations étant multipliées par $\alpha ',\ \beta ',\ \gamma ',$ leur addition donne

$\mathrm {D'^{2}} =(\alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2})\Delta +m'(n'\mathrm {F} -m'\mathrm {G} )+n'(m'\mathrm {F} -n'\mathrm {E} ).$

La combinaison de cette equation avec l’équation (10)

donne

$\mathrm {DD''-D'^{2}} =\left(\alpha \alpha ''+\beta \beta ''+\gamma \gamma ''-\alpha '^{2}-\beta '^{2}-\gamma '^{2}\right)\Delta$

$+\mathrm {E} \left(n'^{2}-nn''\right)+\mathrm {F} \left(nm''-2m'n'+mn''\right)+\mathrm {G} \left(m'^{2}-mm''\right).$

Il est évident qu’on a

${\frac {d\mathrm {E} }{dp}}=2m,$	$\;{\frac {d\mathrm {E} }{dq}}=2m',$	$\;{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}=m'+n,$	$\;{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}=m''+n',$
	$\;{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}=2n',$	$\;{\frac {d\mathrm {G} }{dq}}=2n'',\;$

ou

$m$	$={\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {E} }{dp}},$	$\quad m'$	$={\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {E} }{dq}},$	$m''$	$={\frac {d\mathrm {F} }{dq}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {G} }{dp}},$
$n$	$={\frac {d\mathrm {F} }{dp}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {E} }{dq}},$	$\quad n'$	$={\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {G} }{dp}},\quad$	$n''$	$={\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {G} }{dq}},$

D’ailleurs on peut facilement s’assurer qu’on a

$\alpha \alpha ''+\beta \beta ''+\gamma \gamma ''-\alpha '^{2}-\beta '^{2}-\gamma '^{2}={\frac {dn}{dq}}-{\frac {dn'}{dp}}={\frac {dm''}{dp}}-{\frac {dm'}{dq}}$

$=-{\frac {1}{2}}.{\frac {d^{2}\mathrm {E} }{dq^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dp.dq}}-{\frac {1}{2}}.{\frac {d^{2}\mathrm {G} }{dp^{2}}}.$

Si nous substituons ces diverses expressions dans la formule que nous avons trouvée à la fin de l’article précédent pour la mesure de la courbure, nous parvenons à la formule suivante, qui ne contient que les seules quantités $\mathrm {E,\ F,\ G} ,$ et leurs quotients différentiels du premier et du second ordre,

$4(\mathrm {EG-F^{2})} ^{2}k=E\left[{\frac {d\mathrm {C} }{dq}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dq}}-2{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dq}}+\left({\frac {d\mathrm {G} }{dp}}\right)^{2}\right]$

$+\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {E} }{dp}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dq}}+{\frac {d\mathrm {E} }{dq}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}-2{\frac {d\mathrm {E} }{dq}}.{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}+4{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}.{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}-2{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}\right)$

$+G\left[{\frac {d\mathrm {E} }{dp}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}-2{\frac {d\mathrm {E} }{dp}}.{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}+\left({\frac {d\mathrm {E} }{dq}}\right)^{2}\right]$

$-2(\mathrm {EG-F^{2}} )\left({\frac {d^{2}\mathrm {E} }{dq^{2}}}-2{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dp.dq}}+{\frac {d^{2}\mathrm {G} }{dp^{2}}}\right).$